MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expne0d Structured version   Unicode version

Theorem expne0d 12284
Description: Nonnegative integer exponentiation is nonzero if its mantissa is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
sqrecd.1  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
expclzd.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
expne0d  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  =/=  0 )

Proof of Theorem expne0d
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 sqrecd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
3 expclzd.3 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4 expne0i 12166 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  =/=  0 )
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492   ZZcz 10864   ^cexp 12134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-seq 12076  df-exp 12135
This theorem is referenced by:  absexpz  13101  0.999...  13653  bitsfzo  13944  bitsmod  13945  bitsinv1lem  13950  bitsuz  13983  pcexp  14242  pcaddlem  14266  pcadd  14267  qexpz  14279  dvexp3  22142  plyeq0lem  22370  aareccl  22484  taylthlem2  22531  root1cj  22886  cxpeq  22887  dcubic1lem  22930  dcubic2  22931  cubic2  22935  cubic  22936  basellem4  23113  basellem8  23117  lgseisenlem1  23380  lgseisenlem2  23381  lgsquadlem1  23385  dya2icoseg  27916  dya2iocucvr  27923  oddpwdc  27961  signsplypnf  28175  signsply0  28176  lgamgulmlem4  28242  rmxyneg  30488  dvrecg  31268  dvdivbd  31281  iblsplit  31312  wallispi2lem1  31399  wallispi2lem2  31400  wallispi2  31401  stirlinglem3  31404  stirlinglem4  31405  stirlinglem7  31408  stirlinglem8  31409  stirlinglem10  31411  stirlinglem13  31414  stirlinglem14  31415  stirlinglem15  31416  fourierdlem56  31491  fourierdlem57  31492
  Copyright terms: Public domain W3C validator