MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expne0d Structured version   Unicode version

Theorem expne0d 12419
Description: Nonnegative integer exponentiation is nonzero if its mantissa is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
sqrecd.1  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
expclzd.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
expne0d  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  =/=  0 )

Proof of Theorem expne0d
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 sqrecd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
3 expclzd.3 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4 expne0i 12301 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  =/=  0 )
51, 2, 3, 4syl3anc 1264 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1870    =/= wne 2625  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538   ZZcz 10937   ^cexp 12269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-seq 12211  df-exp 12270
This theorem is referenced by:  absexpz  13347  0.999...  13915  bitsfzo  14383  bitsmod  14384  bitsinv1lem  14389  bitsuz  14422  pcexp  14772  pcaddlem  14796  pcadd  14797  qexpz  14809  dvexp3  22807  plyeq0lem  23032  aareccl  23147  taylthlem2  23194  root1cj  23561  cxpeq  23562  dcubic1lem  23634  dcubic2  23635  cubic2  23639  cubic  23640  lgamgulmlem4  23822  basellem4  23873  basellem8  23877  lgseisenlem1  24140  lgseisenlem2  24141  lgsquadlem1  24145  znsqcld  28166  dya2icoseg  28938  dya2iocucvr  28945  omssubadd  28961  oddpwdc  29013  signsplypnf  29227  signsply0  29228  rmxyneg  35474  radcnvrat  36300  dvrecg  37354  dvdivbd  37367  iblsplit  37412  wallispi2lem1  37502  wallispi2lem2  37503  wallispi2  37504  stirlinglem3  37507  stirlinglem4  37508  stirlinglem7  37511  stirlinglem8  37512  stirlinglem10  37514  stirlinglem13  37517  stirlinglem14  37518  stirlinglem15  37519  fourierdlem56  37594  fourierdlem57  37595  elaa2lem  37665  fldivexpfllog2  39137  nn0digval  39172  dignnld  39175  dig2nn1st  39177  dig2bits  39186  dignn0flhalflem1  39187  dignn0flhalflem2  39188  dignn0ehalf  39189
  Copyright terms: Public domain W3C validator