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Theorem expnbnd 11985
Description: Exponentiation with a mantissa greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
expnbnd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^ k ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k

Proof of Theorem expnbnd
StepHypRef Expression
1 1nn 10325 . . 3  |-  1  e.  NN
2 1re 9377 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
3 lttr 9443 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A  <  1  /\  1  <  B )  ->  A  <  B
) )
42, 3mp3an2 1302 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <  1  /\  1  < 
B )  ->  A  <  B ) )
54exp4b 607 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( A  <  1  -> 
( 1  <  B  ->  A  <  B ) ) ) )
65com34 83 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 1  <  B  -> 
( A  <  1  ->  A  <  B ) ) ) )
763imp1 1200 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  A  <  1 )  ->  A  <  B )
8 recn 9364 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
9 exp1 11863 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
11103ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
1211adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  A  <  1 )  -> 
( B ^ 1 )  =  B )
137, 12breqtrrd 4313 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  A  <  1 )  ->  A  <  ( B ^
1 ) )
14 oveq2 6094 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ 1 ) )
1514breq2d 4299 . . . 4  |-  ( k  =  1  ->  ( A  <  ( B ^
k )  <->  A  <  ( B ^ 1 ) ) )
1615rspcev 3068 . . 3  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A  <  ( B ^
1 ) )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) )
171, 13, 16sylancr 663 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  A  <  1 )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) )
18 peano2rem 9667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
1918adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  1  <  B ) )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
20 peano2rem 9667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  -  1 )  e.  RR )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  <  B )  -> 
( B  -  1 )  e.  RR )
2221adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  1  <  B ) )  ->  ( B  -  1 )  e.  RR )
23 posdif 9824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  <  B  <->  0  <  ( B  - 
1 ) ) )
242, 23mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR  ->  (
1  <  B  <->  0  <  ( B  -  1 ) ) )
2524biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  <  B )  -> 
0  <  ( B  -  1 ) )
2625gt0ne0d 9896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  <  B )  -> 
( B  -  1 )  =/=  0 )
2726adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  1  <  B ) )  ->  ( B  -  1 )  =/=  0 )
2819, 22, 27redivcld 10151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  1  <  B ) )  ->  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) )  e.  RR )
2928adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) )  e.  RR )
3018adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
31 subge0 9844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  1 )  <->  1  <_  A )
)
322, 31mpan2 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( A  -  1 )  <->  1  <_  A ) )
3332biimparc 487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  ( A  -  1 ) )
3430, 33jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( A  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  -  1 ) ) )
3521, 25jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  <  B )  -> 
( ( B  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( B  -  1 ) ) )
36 divge0 10190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  -  1 ) )  /\  ( ( B  -  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( B  -  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )
3734, 35, 36syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )
38 flge0nn0 11658 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  -> 
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
3929, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
40 nn0p1nn 10611 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 )  e.  NN )
4139, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  NN )
42 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  ->  A  e.  RR )
4321adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  RR )
44 peano2nn0 10612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 )  e. 
NN0 )
4539, 44syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  NN0 )
4645nn0red 10629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
4743, 46remulcld 9406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( B  - 
1 )  x.  (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )
48 peano2re 9534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR  ->  (
( ( B  - 
1 )  x.  (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 )  e.  RR )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 )  e.  RR )
50 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  ->  B  e.  RR )
51 reexpcl 11874 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( B ^ (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )
5250, 45, 51syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( B ^ (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )
53 flltp1 11642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) )  e.  RR  ->  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )
5429, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )
5530adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( A  -  1 )  e.  RR )
5625adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
0  <  ( B  -  1 ) )
57 ltdivmul 10196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( B  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( B  -  1 ) ) )  ->  ( (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 )  <->  ( A  -  1 )  < 
( ( B  - 
1 )  x.  (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) ) )
5855, 46, 43, 56, 57syl112anc 1222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) )  <  (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  <-> 
( A  -  1 )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) ) )
5954, 58mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( A  -  1 )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )
60 ltsubadd 9801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( A  - 
1 )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  <-> 
A  <  ( (
( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 ) ) )
612, 60mp3an2 1302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( B  - 
1 )  x.  (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( A  -  1 )  < 
( ( B  - 
1 )  x.  (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  <->  A  <  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 ) ) )
6242, 47, 61syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( A  - 
1 )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  <-> 
A  <  ( (
( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 ) ) )
6359, 62mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  ->  A  <  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 ) )
64 0lt1 9854 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
65 0re 9378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
66 lttr 9443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  B )  ->  0  <  B
) )
6765, 2, 66mp3an12 1304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  B )  ->  0  <  B
) )
6864, 67mpani 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  (
1  <  B  ->  0  <  B ) )
69 ltle 9455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  B  ->  0  <_  B )
)
7065, 69mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  (
0  <  B  ->  0  <_  B ) )
7168, 70syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  (
1  <  B  ->  0  <_  B ) )
7271imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  <  B )  -> 
0  <_  B )
7372adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
0  <_  B )
74 bernneq2 11983 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  NN0  /\  0  <_  B )  -> 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 )  <_  ( B ^ ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )
7550, 45, 73, 74syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 )  <_  ( B ^ ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )
7642, 49, 52, 63, 75ltletrd 9523 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  ->  A  <  ( B ^
( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )
77 oveq2 6094 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 )  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )
7877breq2d 4299 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 )  ->  ( A  <  ( B ^
k )  <->  A  <  ( B ^ ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) ) ) )
7978rspcev 3068 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  A  <  ( B ^
( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) )
8041, 76, 79syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) )
8180exp43 612 . . . 4  |-  ( 1  <_  A  ->  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 1  <  B  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) ) ) ) )
8281com4l 84 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 1  <  B  -> 
( 1  <_  A  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) ) ) ) )
83823imp1 1200 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  1  <_  A )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) )
84 simp1 988 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  A  e.  RR )
85 1red 9393 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  e.  RR )
8617, 83, 84, 85ltlecasei 9474 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^ k ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   E.wrex 2711   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   NN0cn0 10571   |_cfl 11632   ^cexp 11857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858
This theorem is referenced by:  expnlbnd  11986  expmulnbnd  11988  bitsfzolem  13622  bitsfi  13625  pclem  13897  aaliou3lem8  21791  ostth2lem1  22847  ostth3  22867
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