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Theorem expnbnd 12197
Description: Exponentiation with a mantissa greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
expnbnd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^ k ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k

Proof of Theorem expnbnd
StepHypRef Expression
1 1nn 10463 . . 3  |-  1  e.  NN
2 1re 9506 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
3 lttr 9572 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A  <  1  /\  1  <  B )  ->  A  <  B
) )
42, 3mp3an2 1310 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <  1  /\  1  < 
B )  ->  A  <  B ) )
54exp4b 605 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( A  <  1  -> 
( 1  <  B  ->  A  <  B ) ) ) )
65com34 83 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 1  <  B  -> 
( A  <  1  ->  A  <  B ) ) ) )
763imp1 1207 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  A  <  1 )  ->  A  <  B )
8 recn 9493 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
9 exp1 12075 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
11103ad2ant2 1016 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B ^ 1 )  =  B )
1211adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  A  <  1 )  -> 
( B ^ 1 )  =  B )
137, 12breqtrrd 4393 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  A  <  1 )  ->  A  <  ( B ^
1 ) )
14 oveq2 6204 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ 1 ) )
1514breq2d 4379 . . . 4  |-  ( k  =  1  ->  ( A  <  ( B ^
k )  <->  A  <  ( B ^ 1 ) ) )
1615rspcev 3135 . . 3  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A  <  ( B ^
1 ) )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) )
171, 13, 16sylancr 661 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  A  <  1 )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) )
18 peano2rem 9799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
1918adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  1  <  B ) )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
20 peano2rem 9799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  -  1 )  e.  RR )
2120adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  <  B )  -> 
( B  -  1 )  e.  RR )
2221adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  1  <  B ) )  ->  ( B  -  1 )  e.  RR )
23 posdif 9963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  <  B  <->  0  <  ( B  - 
1 ) ) )
242, 23mpan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR  ->  (
1  <  B  <->  0  <  ( B  -  1 ) ) )
2524biimpa 482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  <  B )  -> 
0  <  ( B  -  1 ) )
2625gt0ne0d 10034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  <  B )  -> 
( B  -  1 )  =/=  0 )
2726adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  1  <  B ) )  ->  ( B  -  1 )  =/=  0 )
2819, 22, 27redivcld 10289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  1  <  B ) )  ->  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) )  e.  RR )
2928adantll 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) )  e.  RR )
3018adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
31 subge0 9983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  1 )  <->  1  <_  A )
)
322, 31mpan2 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( A  -  1 )  <->  1  <_  A ) )
3332biimparc 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  ( A  -  1 ) )
3430, 33jca 530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( A  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  -  1 ) ) )
3521, 25jca 530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  <  B )  -> 
( ( B  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( B  -  1 ) ) )
36 divge0 10328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  -  1 ) )  /\  ( ( B  -  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( B  -  1 ) ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )
3734, 35, 36syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )
38 flge0nn0 11854 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  -> 
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
3929, 37, 38syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
40 nn0p1nn 10752 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 )  e.  NN )
4139, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  NN )
42 simplr 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  ->  A  e.  RR )
4321adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  RR )
44 peano2nn0 10753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 )  e. 
NN0 )
4539, 44syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  NN0 )
4645nn0red 10770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
4743, 46remulcld 9535 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( B  - 
1 )  x.  (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )
48 peano2re 9664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR  ->  (
( ( B  - 
1 )  x.  (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 )  e.  RR )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 )  e.  RR )
50 simprl 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  ->  B  e.  RR )
51 reexpcl 12086 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( B ^ (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )
5250, 45, 51syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( B ^ (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )
53 flltp1 11836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) )  e.  RR  ->  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )
5429, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )
5530adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( A  -  1 )  e.  RR )
5625adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
0  <  ( B  -  1 ) )
57 ltdivmul 10334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( B  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( B  -  1 ) ) )  ->  ( (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 )  <->  ( A  -  1 )  < 
( ( B  - 
1 )  x.  (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) ) )
5855, 46, 43, 56, 57syl112anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) )  <  (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  <-> 
( A  -  1 )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) ) )
5954, 58mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( A  -  1 )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )
60 ltsubadd 9940 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( A  - 
1 )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  <-> 
A  <  ( (
( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 ) ) )
612, 60mp3an2 1310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( B  - 
1 )  x.  (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( A  -  1 )  < 
( ( B  - 
1 )  x.  (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  <->  A  <  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 ) ) )
6242, 47, 61syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( A  - 
1 )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  <-> 
A  <  ( (
( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 ) ) )
6359, 62mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  ->  A  <  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 ) )
64 0lt1 9992 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
65 0re 9507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
66 lttr 9572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  B )  ->  0  <  B
) )
6765, 2, 66mp3an12 1312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  B )  ->  0  <  B
) )
6864, 67mpani 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  (
1  <  B  ->  0  <  B ) )
69 ltle 9584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  B  ->  0  <_  B )
)
7065, 69mpan 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  (
0  <  B  ->  0  <_  B ) )
7168, 70syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  (
1  <  B  ->  0  <_  B ) )
7271imp 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  <  B )  -> 
0  <_  B )
7372adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
0  <_  B )
74 bernneq2 12195 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  NN0  /\  0  <_  B )  -> 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 )  <_  ( B ^ ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )
7550, 45, 73, 74syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  -> 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) )  +  1 )  <_  ( B ^ ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )
7642, 49, 52, 63, 75ltletrd 9653 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  ->  A  <  ( B ^
( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )
77 oveq2 6204 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 )  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ (
( |_ `  (
( A  -  1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )
7877breq2d 4379 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( |_
`  ( ( A  -  1 )  / 
( B  -  1 ) ) )  +  1 )  ->  ( A  <  ( B ^
k )  <->  A  <  ( B ^ ( ( |_ `  ( ( A  -  1 )  /  ( B  - 
1 ) ) )  +  1 ) ) ) )
7978rspcev 3135 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  NN  /\  A  <  ( B ^
( ( |_ `  ( ( A  - 
1 )  /  ( B  -  1 ) ) )  +  1 ) ) )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) )
8041, 76, 79syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  <_  A  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  /\  1  < 
B ) )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) )
8180exp43 610 . . . 4  |-  ( 1  <_  A  ->  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 1  <  B  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) ) ) ) )
8281com4l 84 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 1  <  B  -> 
( 1  <_  A  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) ) ) ) )
83823imp1 1207 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  1  <_  A )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^
k ) )
84 simp1 994 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  A  e.  RR )
85 1red 9522 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  e.  RR )
8617, 83, 84, 85ltlecasei 9603 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. k  e.  NN  A  <  ( B ^ k ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   E.wrex 2733   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718    / cdiv 10123   NNcn 10452   NN0cn0 10712   |_cfl 11826   ^cexp 12069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070
This theorem is referenced by:  expnlbnd  12198  expmulnbnd  12200  bitsfzolem  14086  bitsfi  14089  pclem  14364  aaliou3lem8  22826  ostth2lem1  23920  ostth3  23940
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