MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnass Structured version   Unicode version

Theorem expnass 12242
Description: A counterexample showing that exponentiation is not associative. (Contributed by Stefan Allan and Gérard Lang, 21-Sep-2010.)
Assertion
Ref Expression
expnass  |-  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 )  < 
( 3 ^ (
3 ^ 3 ) )

Proof of Theorem expnass
StepHypRef Expression
1 3cn 10611 . . 3  |-  3  e.  CC
2 3nn0 10814 . . 3  |-  3  e.  NN0
3 expmul 12180 . . 3  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  3  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  ->  (
3 ^ ( 3  x.  3 ) )  =  ( ( 3 ^ 3 ) ^
3 ) )
41, 2, 2, 3mp3an 1324 . 2  |-  ( 3 ^ ( 3  x.  3 ) )  =  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 )
5 3re 10610 . . 3  |-  3  e.  RR
62, 2nn0mulcli 10835 . . . 4  |-  ( 3  x.  3 )  e. 
NN0
76nn0zi 10890 . . 3  |-  ( 3  x.  3 )  e.  ZZ
82, 2nn0expcli 12161 . . . 4  |-  ( 3 ^ 3 )  e. 
NN0
98nn0zi 10890 . . 3  |-  ( 3 ^ 3 )  e.  ZZ
10 1lt3 10705 . . . 4  |-  1  <  3
111sqvali 12216 . . . . 5  |-  ( 3 ^ 2 )  =  ( 3  x.  3 )
12 2z 10897 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
13 3z 10898 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
14 2lt3 10704 . . . . . . 7  |-  2  <  3
15 ltexp2a 12186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  /\  ( 1  <  3  /\  2  <  3
) )  ->  (
3 ^ 2 )  <  ( 3 ^ 3 ) )
1610, 14, 15mpanr12 685 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
3 ^ 2 )  <  ( 3 ^ 3 ) )
175, 12, 13, 16mp3an 1324 . . . . 5  |-  ( 3 ^ 2 )  < 
( 3 ^ 3 )
1811, 17eqbrtrri 4468 . . . 4  |-  ( 3  x.  3 )  < 
( 3 ^ 3 )
19 ltexp2a 12186 . . . 4  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  ( 3  x.  3 )  e.  ZZ  /\  ( 3 ^ 3 )  e.  ZZ )  /\  ( 1  <  3  /\  ( 3  x.  3 )  < 
( 3 ^ 3 ) ) )  -> 
( 3 ^ (
3  x.  3 ) )  <  ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) ) )
2010, 18, 19mpanr12 685 . . 3  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( 3  x.  3 )  e.  ZZ  /\  ( 3 ^ 3 )  e.  ZZ )  ->  ( 3 ^ ( 3  x.  3 ) )  <  (
3 ^ ( 3 ^ 3 ) ) )
215, 7, 9, 20mp3an 1324 . 2  |-  ( 3 ^ ( 3  x.  3 ) )  < 
( 3 ^ (
3 ^ 3 ) )
224, 21eqbrtrri 4468 1  |-  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 )  < 
( 3 ^ (
3 ^ 3 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   1c1 9494    x. cmul 9498    < clt 9629   2c2 10586   3c3 10587   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ^cexp 12135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-seq 12077  df-exp 12136
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator