MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnass Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem expnass 12373
Description: A counterexample showing that exponentiation is not associative. (Contributed by Stefan Allan and Gérard Lang, 21-Sep-2010.)
Assertion
Ref Expression
expnass  |-  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 )  < 
( 3 ^ (
3 ^ 3 ) )

Proof of Theorem expnass
StepHypRef Expression
1 3cn 10672 . . 3  |-  3  e.  CC
2 3nn0 10876 . . 3  |-  3  e.  NN0
3 expmul 12310 . . 3  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  3  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  ->  (
3 ^ ( 3  x.  3 ) )  =  ( ( 3 ^ 3 ) ^
3 ) )
41, 2, 2, 3mp3an 1368 . 2  |-  ( 3 ^ ( 3  x.  3 ) )  =  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 )
5 3re 10671 . . 3  |-  3  e.  RR
62, 2nn0mulcli 10897 . . . 4  |-  ( 3  x.  3 )  e. 
NN0
76nn0zi 10951 . . 3  |-  ( 3  x.  3 )  e.  ZZ
82, 2nn0expcli 12291 . . . 4  |-  ( 3 ^ 3 )  e. 
NN0
98nn0zi 10951 . . 3  |-  ( 3 ^ 3 )  e.  ZZ
10 1lt3 10767 . . . 4  |-  1  <  3
111sqvali 12347 . . . . 5  |-  ( 3 ^ 2 )  =  ( 3  x.  3 )
12 2z 10958 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
13 3z 10959 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
14 2lt3 10766 . . . . . . 7  |-  2  <  3
15 ltexp2a 12317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  /\  ( 1  <  3  /\  2  <  3
) )  ->  (
3 ^ 2 )  <  ( 3 ^ 3 ) )
1610, 14, 15mpanr12 696 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
3 ^ 2 )  <  ( 3 ^ 3 ) )
175, 12, 13, 16mp3an 1368 . . . . 5  |-  ( 3 ^ 2 )  < 
( 3 ^ 3 )
1811, 17eqbrtrri 4395 . . . 4  |-  ( 3  x.  3 )  < 
( 3 ^ 3 )
19 ltexp2a 12317 . . . 4  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  ( 3  x.  3 )  e.  ZZ  /\  ( 3 ^ 3 )  e.  ZZ )  /\  ( 1  <  3  /\  ( 3  x.  3 )  < 
( 3 ^ 3 ) ) )  -> 
( 3 ^ (
3  x.  3 ) )  <  ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) ) )
2010, 18, 19mpanr12 696 . . 3  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( 3  x.  3 )  e.  ZZ  /\  ( 3 ^ 3 )  e.  ZZ )  ->  ( 3 ^ ( 3  x.  3 ) )  <  (
3 ^ ( 3 ^ 3 ) ) )
215, 7, 9, 20mp3an 1368 . 2  |-  ( 3 ^ ( 3  x.  3 ) )  < 
( 3 ^ (
3 ^ 3 ) )
224, 21eqbrtrri 4395 1  |-  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 )  < 
( 3 ^ (
3 ^ 3 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 986    = wceq 1447    e. wcel 1890   class class class wbr 4373  (class class class)co 6275   CCcc 9523   RRcr 9524   1c1 9526    x. cmul 9530    < clt 9661   2c2 10647   3c3 10648   NN0cn0 10858   ZZcz 10926   ^cexp 12265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1672  ax-4 1685  ax-5 1761  ax-6 1808  ax-7 1854  ax-8 1892  ax-9 1899  ax-10 1918  ax-11 1923  ax-12 1936  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4496  ax-nul 4505  ax-pow 4553  ax-pr 4611  ax-un 6570  ax-cnex 9581  ax-resscn 9582  ax-1cn 9583  ax-icn 9584  ax-addcl 9585  ax-addrcl 9586  ax-mulcl 9587  ax-mulrcl 9588  ax-mulcom 9589  ax-addass 9590  ax-mulass 9591  ax-distr 9592  ax-i2m1 9593  ax-1ne0 9594  ax-1rid 9595  ax-rnegex 9596  ax-rrecex 9597  ax-cnre 9598  ax-pre-lttri 9599  ax-pre-lttrn 9600  ax-pre-ltadd 9601  ax-pre-mulgt0 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1450  df-ex 1667  df-nf 1671  df-sb 1801  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3014  df-sbc 3235  df-csb 3331  df-dif 3374  df-un 3376  df-in 3378  df-ss 3385  df-pss 3387  df-nul 3699  df-if 3849  df-pw 3920  df-sn 3936  df-pr 3938  df-tp 3940  df-op 3942  df-uni 4168  df-iun 4249  df-br 4374  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-tr 4469  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4732  df-so 4733  df-fr 4770  df-we 4772  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-pred 5358  df-ord 5404  df-on 5405  df-lim 5406  df-suc 5407  df-iota 5524  df-fun 5562  df-fn 5563  df-f 5564  df-f1 5565  df-fo 5566  df-f1o 5567  df-fv 5568  df-riota 6237  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6680  df-2nd 6781  df-wrecs 7014  df-recs 7076  df-rdg 7114  df-er 7349  df-en 7556  df-dom 7557  df-sdom 7558  df-pnf 9663  df-mnf 9664  df-xr 9665  df-ltxr 9666  df-le 9667  df-sub 9848  df-neg 9849  df-div 10258  df-nn 10598  df-2 10656  df-3 10657  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-rp 11292  df-seq 12207  df-exp 12266
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator