MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnass Structured version   Unicode version

Theorem expnass 12089
Description: A counterexample showing that exponentiation is not associative. (Contributed by Stefan Allan and Gérard Lang, 21-Sep-2010.)
Assertion
Ref Expression
expnass  |-  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 )  < 
( 3 ^ (
3 ^ 3 ) )

Proof of Theorem expnass
StepHypRef Expression
1 3cn 10508 . . 3  |-  3  e.  CC
2 3nn0 10709 . . 3  |-  3  e.  NN0
3 expmul 12027 . . 3  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  3  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  ->  (
3 ^ ( 3  x.  3 ) )  =  ( ( 3 ^ 3 ) ^
3 ) )
41, 2, 2, 3mp3an 1315 . 2  |-  ( 3 ^ ( 3  x.  3 ) )  =  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 )
5 3re 10507 . . 3  |-  3  e.  RR
62, 2nn0mulcli 10730 . . . 4  |-  ( 3  x.  3 )  e. 
NN0
76nn0zi 10783 . . 3  |-  ( 3  x.  3 )  e.  ZZ
82, 2nn0expcli 12009 . . . 4  |-  ( 3 ^ 3 )  e. 
NN0
98nn0zi 10783 . . 3  |-  ( 3 ^ 3 )  e.  ZZ
10 1lt3 10602 . . . 4  |-  1  <  3
111sqvali 12063 . . . . 5  |-  ( 3 ^ 2 )  =  ( 3  x.  3 )
12 2z 10790 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
13 3z 10791 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
14 2lt3 10601 . . . . . . 7  |-  2  <  3
15 ltexp2a 12033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  /\  ( 1  <  3  /\  2  <  3
) )  ->  (
3 ^ 2 )  <  ( 3 ^ 3 ) )
1610, 14, 15mpanr12 685 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
3 ^ 2 )  <  ( 3 ^ 3 ) )
175, 12, 13, 16mp3an 1315 . . . . 5  |-  ( 3 ^ 2 )  < 
( 3 ^ 3 )
1811, 17eqbrtrri 4422 . . . 4  |-  ( 3  x.  3 )  < 
( 3 ^ 3 )
19 ltexp2a 12033 . . . 4  |-  ( ( ( 3  e.  RR  /\  ( 3  x.  3 )  e.  ZZ  /\  ( 3 ^ 3 )  e.  ZZ )  /\  ( 1  <  3  /\  ( 3  x.  3 )  < 
( 3 ^ 3 ) ) )  -> 
( 3 ^ (
3  x.  3 ) )  <  ( 3 ^ ( 3 ^ 3 ) ) )
2010, 18, 19mpanr12 685 . . 3  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( 3  x.  3 )  e.  ZZ  /\  ( 3 ^ 3 )  e.  ZZ )  ->  ( 3 ^ ( 3  x.  3 ) )  <  (
3 ^ ( 3 ^ 3 ) ) )
215, 7, 9, 20mp3an 1315 . 2  |-  ( 3 ^ ( 3  x.  3 ) )  < 
( 3 ^ (
3 ^ 3 ) )
224, 21eqbrtrri 4422 1  |-  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 3 )  < 
( 3 ^ (
3 ^ 3 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4401  (class class class)co 6201   CCcc 9392   RRcr 9393   1c1 9395    x. cmul 9399    < clt 9530   2c2 10483   3c3 10484   NN0cn0 10691   ZZcz 10758   ^cexp 11983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-seq 11925  df-exp 11984
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator