Theorem expmwordi 7851

Description: Weak mantissa ordering relationship for exponentiation.

Assertion

Ref	Expression
expmwordi	|- (((A e. RR /\ B e. RR /\ N e. NN0) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A^N) <_ (B^N))

Proof of Theorem expmwordi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reexpcl 7823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (A^k) e. RR)
2	1	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ k e. NN0) -> (A^k) e. RR)
3	2	adantlr 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> (A^k) e. RR)
4	3	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) /\ (A^k) <_ (B^k)) -> (A^k) e. RR)
5		reexpcl 7823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B e. RR /\ k e. NN0) -> (B^k) e. RR)
6	5	adantll 428	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ k e. NN0) -> (B^k) e. RR)
7	6	adantlr 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> (B^k) e. RR)
8	7	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) /\ (A^k) <_ (B^k)) -> (B^k) e. RR)
9		expge0 7833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> 0 <_ (A^k))
10	9	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A e. RR /\ k e. NN0) /\ 0 <_ A) -> 0 <_ (A^k))
11	10	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ k e. NN0) -> 0 <_ (A^k))
12	11	adantllr 433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ 0 <_ A) /\ k e. NN0) -> 0 <_ (A^k))
13	12	adantlrr 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> 0 <_ (A^k))
14	13	anim1i 361	. . . . . . . . . . 11 |- (((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) /\ (A^k) <_ (B^k)) -> (0 <_ (A^k) /\ (A^k) <_ (B^k)))
15	4, 8, 14	jca31 311	. . . . . . . . . 10 |- (((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) /\ (A^k) <_ (B^k)) -> (((A^k) e. RR /\ (B^k) e. RR) /\ (0 <_ (A^k) /\ (A^k) <_ (B^k))))
16		simpll 448	. . . . . . . . . 10 |- (((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) /\ (A^k) <_ (B^k)) -> ((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)))
17		lemul12aOLD 7025	. . . . . . . . . 10 |- (((((A^k) e. RR /\ (B^k) e. RR) /\ (0 <_ (A^k) /\ (A^k) <_ (B^k))) /\ ((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B))) -> ((A^k) x. A) <_ ((B^k) x. B))
18	15, 16, 17	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- (((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) /\ (A^k) <_ (B^k)) -> ((A^k) x. A) <_ ((B^k) x. B))
19		expp1 7817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> (A^(k + 1)) = ((A^k) x. A))
20		recn 6466	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. RR -> A e. CC)
21	19, 20	sylan 497	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (A^(k + 1)) = ((A^k) x. A))
22	21	adantlr 429	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ k e. NN0) -> (A^(k + 1)) = ((A^k) x. A))
23	22	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> (A^(k + 1)) = ((A^k) x. A))
24	23	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- (((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) /\ (A^k) <_ (B^k)) -> (A^(k + 1)) = ((A^k) x. A))
25		expp1 7817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B e. CC /\ k e. NN0) -> (B^(k + 1)) = ((B^k) x. B))
26		recn 6466	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B e. RR -> B e. CC)
27	25, 26	sylan 497	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. RR /\ k e. NN0) -> (B^(k + 1)) = ((B^k) x. B))
28	27	adantll 428	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ k e. NN0) -> (B^(k + 1)) = ((B^k) x. B))
29	28	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> (B^(k + 1)) = ((B^k) x. B))
30	29	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- (((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) /\ (A^k) <_ (B^k)) -> (B^(k + 1)) = ((B^k) x. B))
31	18, 24, 30	3brtr4d 3367	. . . . . . . 8 |- (((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) /\ (A^k) <_ (B^k)) -> (A^(k + 1)) <_ (B^(k + 1)))
32	31	ex 402	. . . . . . 7 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ k e. NN0) -> ((A^k) <_ (B^k) -> (A^(k + 1)) <_ (B^(k + 1))))
33	32	expcom 403	. . . . . 6 |- (k e. NN0 -> (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) -> ((A^k) <_ (B^k) -> (A^(k + 1)) <_ (B^(k + 1)))))
34	33	a2d 16	. . . . 5 |- (k e. NN0 -> ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A^k) <_ (B^k)) -> (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A^(k + 1)) <_ (B^(k + 1)))))
35		exp0 7814	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (A^0) = 1)
36	35	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A^0) = 1)
37		1re 6598	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
38	37	leidi 6790	. . . . . . . . 9 |- 1 <_ 1
39	36, 38	syl6eqbr 3374	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A^0) <_ 1)
40		exp0 7814	. . . . . . . . 9 |- (B e. CC -> (B^0) = 1)
41	40	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (B^0) = 1)
42	39, 41	breqtrrd 3363	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A^0) <_ (B^0))
43	42, 20, 26	syl2an 503	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A^0) <_ (B^0))
44	43	adantr 425	. . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A^0) <_ (B^0))
45		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (j = 0 -> (A^j) = (A^0))
46		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (j = 0 -> (B^j) = (B^0))
47	45, 46	breq12d 3351	. . . . . 6 |- (j = 0 -> ((A^j) <_ (B^j) <-> (A^0) <_ (B^0)))
48	47	imbi2d 674	. . . . 5 |- (j = 0 -> ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A^j) <_ (B^j)) <-> (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A^0) <_ (B^0))))
49		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (j = k -> (A^j) = (A^k))
50		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (j = k -> (B^j) = (B^k))
51	49, 50	breq12d 3351	. . . . . 6 |- (j = k -> ((A^j) <_ (B^j) <-> (A^k) <_ (B^k)))
52	51	imbi2d 674	. . . . 5 |- (j = k -> ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A^j) <_ (B^j)) <-> (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A^k) <_ (B^k))))
53		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (j = (k + 1) -> (A^j) = (A^(k + 1)))
54		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (j = (k + 1) -> (B^j) = (B^(k + 1)))
55	53, 54	breq12d 3351	. . . . . 6 |- (j = (k + 1) -> ((A^j) <_ (B^j) <-> (A^(k + 1)) <_ (B^(k + 1))))
56	55	imbi2d 674	. . . . 5 |- (j = (k + 1) -> ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A^j) <_ (B^j)) <-> (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A^(k + 1)) <_ (B^(k + 1)))))
57		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (j = N -> (A^j) = (A^N))
58		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (j = N -> (B^j) = (B^N))
59	57, 58	breq12d 3351	. . . . . 6 |- (j = N -> ((A^j) <_ (B^j) <-> (A^N) <_ (B^N)))
60	59	imbi2d 674	. . . . 5 |- (j = N -> ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A^j) <_ (B^j)) <-> (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A^N) <_ (B^N))))
61	34, 44, 48, 52, 56, 60	nn0indALT 7425	. . . 4 |- (N e. NN0 -> (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A^N) <_ (B^N)))
62	61	exp4c 411	. . 3 |- (N e. NN0 -> (A e. RR -> (B e. RR -> ((0 <_ A /\ A <_ B) -> (A^N) <_ (B^N)))))
63	62	com3l 38	. 2 |- (A e. RR -> (B e. RR -> (N e. NN0 -> ((0 <_ A /\ A <_ B) -> (A^N) <_ (B^N)))))
64	63	3imp1 1081	1 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ N e. NN0) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) -> (A^N) <_ (B^N))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   <_ cle 6448  NN0cn0 6450  ^cexp 7811

This theorem is referenced by:  expubnd 7853  efaddlem10 8609

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812

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