Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmulnbnd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem expmulnbnd 12442
 Description: Exponentiation with a mantissa greater than 1 is not bounded by any linear function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
expmulnbnd
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem expmulnbnd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10701 . . . . 5
2 simp1 1030 . . . . 5
3 remulcl 9642 . . . . 5
41, 2, 3sylancr 676 . . . 4
5 simp3 1032 . . . . 5
6 1re 9660 . . . . . 6
7 simp2 1031 . . . . . 6
8 difrp 11360 . . . . . 6
96, 7, 8sylancr 676 . . . . 5
105, 9mpbid 215 . . . 4
114, 10rerpdivcld 11392 . . 3
12 expnbnd 12439 . . 3
1311, 7, 5, 12syl3anc 1292 . 2
14 2nn0 10910 . . . 4
15 nnnn0 10900 . . . . 5
1615ad2antrl 742 . . . 4
17 nn0mulcl 10930 . . . 4
1814, 16, 17sylancr 676 . . 3
192ad2antrr 740 . . . . . 6
20 2nn 10790 . . . . . . . . 9
21 simprl 772 . . . . . . . . 9
22 nnmulcl 10654 . . . . . . . . 9
2320, 21, 22sylancr 676 . . . . . . . 8
24 eluznn 11252 . . . . . . . 8
2523, 24sylan 479 . . . . . . 7
2625nnred 10646 . . . . . 6
2719, 26remulcld 9689 . . . . 5
28 0re 9661 . . . . . . . 8
29 ifcl 3914 . . . . . . . 8
3019, 28, 29sylancl 675 . . . . . . 7
31 remulcl 9642 . . . . . . 7
321, 30, 31sylancr 676 . . . . . 6
33 simplrl 778 . . . . . . . 8
3433nnred 10646 . . . . . . 7
3526, 34resubcld 10068 . . . . . 6
3632, 35remulcld 9689 . . . . 5
377ad2antrr 740 . . . . . 6
3825nnnn0d 10949 . . . . . 6
39 reexpcl 12327 . . . . . 6
4037, 38, 39syl2anc 673 . . . . 5
41 remulcl 9642 . . . . . . . 8
421, 35, 41sylancr 676 . . . . . . 7
4338nn0ge0d 10952 . . . . . . 7
44 max1 11503 . . . . . . . 8
4528, 19, 44sylancr 676 . . . . . . 7
46 remulcl 9642 . . . . . . . . . . . 12
471, 34, 46sylancr 676 . . . . . . . . . . 11
48 eluzle 11195 . . . . . . . . . . . 12
4948adantl 473 . . . . . . . . . . 11
5047, 26, 26, 49leadd2dd 10249 . . . . . . . . . 10
5126recnd 9687 . . . . . . . . . . 11
52512timesd 10878 . . . . . . . . . 10
5350, 52breqtrrd 4422 . . . . . . . . 9
54 remulcl 9642 . . . . . . . . . . 11
551, 26, 54sylancr 676 . . . . . . . . . 10
56 leaddsub 10111 . . . . . . . . . 10
5726, 47, 55, 56syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
5853, 57mpbid 215 . . . . . . . 8
59 2cnd 10704 . . . . . . . . 9
6034recnd 9687 . . . . . . . . 9
6159, 51, 60subdid 10095 . . . . . . . 8
6258, 61breqtrrd 4422 . . . . . . 7
63 max2 11505 . . . . . . . 8
6428, 19, 63sylancr 676 . . . . . . 7
6526, 42, 19, 30, 43, 45, 62, 64lemul12bd 10572 . . . . . 6
6619recnd 9687 . . . . . . 7
6766, 51mulcomd 9682 . . . . . 6
6830recnd 9687 . . . . . . 7
6935recnd 9687 . . . . . . 7
7059, 68, 69mul32d 9861 . . . . . 6
7165, 67, 703brtr4d 4426 . . . . 5
7210ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
7372rpred 11364 . . . . . . . 8
7473, 35remulcld 9689 . . . . . . 7
7533nnnn0d 10949 . . . . . . . 8
76 reexpcl 12327 . . . . . . . 8
7737, 75, 76syl2anc 673 . . . . . . 7
7874, 77remulcld 9689 . . . . . 6
79 simplrr 779 . . . . . . . . . 10
801, 19, 3sylancr 676 . . . . . . . . . . 11
8180, 77, 72ltdivmuld 11412 . . . . . . . . . 10
8279, 81mpbid 215 . . . . . . . . 9
835ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
84 posdif 10128 . . . . . . . . . . . 12
856, 37, 84sylancr 676 . . . . . . . . . . 11
8683, 85mpbid 215 . . . . . . . . . 10
8733nnzd 11062 . . . . . . . . . . 11
8828a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
896a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
90 0lt1 10157 . . . . . . . . . . . . 13
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
9288, 89, 37, 91, 83lttrd 9813 . . . . . . . . . . 11
93 expgt0 12343 . . . . . . . . . . 11
9437, 87, 92, 93syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
9573, 77, 86, 94mulgt0d 9807 . . . . . . . . 9
96 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11
9796breq1d 4405 . . . . . . . . . 10
98 2t0e0 10788 . . . . . . . . . . . 12
99 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12
10098, 99syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . 11
101100breq1d 4405 . . . . . . . . . 10
10297, 101ifboth 3908 . . . . . . . . 9
10382, 95, 102syl2anc 673 . . . . . . . 8
10473, 77remulcld 9689 . . . . . . . . 9
105 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
106602timesd 10878 . . . . . . . . . . . . . 14
107106fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
108105, 107eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12
109 eluzsub 11212 . . . . . . . . . . . 12
11087, 87, 108, 109syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
111 eluznn 11252 . . . . . . . . . . 11
11233, 110, 111syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
113112nngt0d 10675 . . . . . . . . 9
114 ltmul1 10477 . . . . . . . . 9
11532, 104, 35, 113, 114syl112anc 1296 . . . . . . . 8
116103, 115mpbid 215 . . . . . . 7
11773recnd 9687 . . . . . . . 8
11877recnd 9687 . . . . . . . 8
119117, 118, 69mul32d 9861 . . . . . . 7
120116, 119breqtrd 4420 . . . . . 6
121 peano2re 9824 . . . . . . . . . 10
12274, 121syl 17 . . . . . . . . 9
123112nnnn0d 10949 . . . . . . . . . 10
124 reexpcl 12327 . . . . . . . . . 10
12537, 123, 124syl2anc 673 . . . . . . . . 9
12674ltp1d 10559 . . . . . . . . 9
12788, 37, 92ltled 9800 . . . . . . . . . 10
128 bernneq2 12437 . . . . . . . . . 10
12937, 123, 127, 128syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
13074, 122, 125, 126, 129ltletrd 9812 . . . . . . . 8
13137recnd 9687 . . . . . . . . 9
13292gt0ne0d 10199 . . . . . . . . 9
133 eluzelz 11192 . . . . . . . . . 10
134133adantl 473 . . . . . . . . 9
135 expsub 12358 . . . . . . . . 9
136131, 132, 134, 87, 135syl22anc 1293 . . . . . . . 8
137130, 136breqtrd 4420 . . . . . . 7
138 ltmuldiv 10500 . . . . . . . 8
13974, 40, 77, 94, 138syl112anc 1296 . . . . . . 7
140137, 139mpbird 240 . . . . . 6
14136, 78, 40, 120, 140lttrd 9813 . . . . 5
14227, 36, 40, 71, 141lelttrd 9810 . . . 4
143142ralrimiva 2809 . . 3
144 fveq2 5879 . . . . 5
145144raleqdv 2979 . . . 4
146145rspcev 3136 . . 3
14718, 143, 146syl2anc 673 . 2
14813, 147rexlimddv 2875 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cif 3872   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cexp 12310 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311 This theorem is referenced by:  geomulcvg  14009
 Copyright terms: Public domain W3C validator