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Theorem expmulnbnd 12278
Description: Exponentiation with a mantissa greater than 1 is not bounded by any linear function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
expmulnbnd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k

Proof of Theorem expmulnbnd
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10617 . . . . 5  |-  2  e.  RR
2 simp1 996 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  A  e.  RR )
3 remulcl 9589 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
41, 2, 3sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
2  x.  A )  e.  RR )
5 simp3 998 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <  B )
6 1re 9607 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
7 simp2 997 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  B  e.  RR )
8 difrp 11265 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  <  B  <->  ( B  -  1 )  e.  RR+ ) )
96, 7, 8sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  <  B  <->  ( B  -  1 )  e.  RR+ ) )
105, 9mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B  -  1 )  e.  RR+ )
114, 10rerpdivcld 11295 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
( 2  x.  A
)  /  ( B  -  1 ) )  e.  RR )
12 expnbnd 12275 . . 3  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 2  x.  A )  / 
( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) )
1311, 7, 5, 12syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 2  x.  A )  / 
( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) )
14 2nn0 10824 . . . 4  |-  2  e.  NN0
15 nnnn0 10814 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
1615ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
17 nn0mulcl 10844 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
1814, 16, 17sylancr 663 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  e. 
NN0 )
192ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  A  e.  RR )
20 2nn 10705 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
21 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  n  e.  NN )
22 nnmulcl 10571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  NN )
2320, 21, 22sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  NN )
24 eluznn 11164 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n
) ) )  -> 
k  e.  NN )
2523, 24sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  NN )
2625nnred 10563 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  RR )
2719, 26remulcld 9636 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  e.  RR )
28 0re 9608 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
29 ifcl 3987 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  A ,  A , 
0 )  e.  RR )
3019, 28, 29sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  e.  RR )
31 remulcl 9589 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  e.  RR )
321, 30, 31sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A , 
0 ) )  e.  RR )
33 simplrl 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  NN )
3433nnred 10563 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  RR )
3526, 34resubcld 9999 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  RR )
3632, 35remulcld 9636 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  e.  RR )
377ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  B  e.  RR )
3825nnnn0d 10864 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
39 reexpcl 12163 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ k
)  e.  RR )
4037, 38, 39syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
k )  e.  RR )
41 remulcl 9589 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( k  -  n
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( k  -  n
) )  e.  RR )
421, 35, 41sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  ( k  -  n
) )  e.  RR )
4338nn0ge0d 10867 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <_  k
)
44 max1 11398 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  A ,  A ,  0 ) )
4528, 19, 44sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <_  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )
46 remulcl 9589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  RR )
471, 34, 46sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  RR )
48 eluzle 11106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
2  x.  n ) )  ->  ( 2  x.  n )  <_ 
k )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  <_  k
)
5047, 26, 26, 49leadd2dd 10179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  +  ( 2  x.  n
) )  <_  (
k  +  k ) )
5126recnd 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  CC )
52512timesd 10793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( k  +  k ) )
5350, 52breqtrrd 4479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  +  ( 2  x.  n
) )  <_  (
2  x.  k ) )
54 remulcl 9589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  RR )
551, 26, 54sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  k )  e.  RR )
56 leaddsub 10040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( 2  x.  n
)  e.  RR  /\  ( 2  x.  k
)  e.  RR )  ->  ( ( k  +  ( 2  x.  n ) )  <_ 
( 2  x.  k
)  <->  k  <_  (
( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) ) )
5726, 47, 55, 56syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( k  +  ( 2  x.  n ) )  <_ 
( 2  x.  k
)  <->  k  <_  (
( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) ) )
5853, 57mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  <_  (
( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) )
59 2cnd 10620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  2  e.  CC )
6034recnd 9634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  CC )
6159, 51, 60subdid 10024 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  ( k  -  n
) )  =  ( ( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) )
6258, 61breqtrrd 4479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  <_  (
2  x.  ( k  -  n ) ) )
63 max2 11400 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  A  <_  if (
0  <_  A ,  A ,  0 ) )
6428, 19, 63sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  A  <_  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )
6526, 42, 19, 30, 43, 45, 62, 64lemul12bd 10501 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  x.  A )  <_  (
( 2  x.  (
k  -  n ) )  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
6619recnd 9634 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  A  e.  CC )
6766, 51mulcomd 9629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  =  ( k  x.  A ) )
6830recnd 9634 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  e.  CC )
6935recnd 9634 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  CC )
7059, 68, 69mul32d 9801 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  =  ( ( 2  x.  ( k  -  n
) )  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
7165, 67, 703brtr4d 4483 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  <_  (
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) ) )
7210ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B  - 
1 )  e.  RR+ )
7372rpred 11268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B  - 
1 )  e.  RR )
7473, 35remulcld 9636 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  e.  RR )
7533nnnn0d 10864 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
76 reexpcl 12163 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( B ^ n
)  e.  RR )
7737, 75, 76syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
n )  e.  RR )
7874, 77remulcld 9636 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^ n
) )  e.  RR )
79 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  A )  / 
( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) )
801, 19, 3sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  A )  e.  RR )
8180, 77, 72ltdivmuld 11315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  /  ( B  - 
1 ) )  < 
( B ^ n
)  <->  ( 2  x.  A )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) ) ) )
8279, 81mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  A )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) ) )
835ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  1  <  B
)
84 posdif 10057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  <  B  <->  0  <  ( B  - 
1 ) ) )
856, 37, 84sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 1  < 
B  <->  0  <  ( B  -  1 ) ) )
8683, 85mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  ( B  -  1 ) )
8733nnzd 10977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
8828a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  e.  RR )
896a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  1  e.  RR )
90 0lt1 10087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  1
)
9288, 89, 37, 91, 83lttrd 9754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  B
)
93 expgt0 12179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  ZZ  /\  0  <  B )  ->  0  <  ( B ^ n
) )
9437, 87, 92, 93syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  ( B ^ n ) )
9573, 77, 86, 94mulgt0d 9748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) ) )
96 oveq2 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( 2  x.  A
)  =  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
9796breq1d 4463 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( ( 2  x.  A )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) )  <-> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) ) ) )
98 2t0e0 10703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
99 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( 2  x.  0 )  =  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
10098, 99syl5eqr 2522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
0  =  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
101100breq1d 4463 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( 0  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) )  <-> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) ) ) )
10297, 101ifboth 3981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  /\  0  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) ) )  -> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) ) )
10382, 95, 102syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A , 
0 ) )  < 
( ( B  - 
1 )  x.  ( B ^ n ) ) )
10473, 77remulcld 9636 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  e.  RR )
105 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )
106602timesd 10793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( n  +  n ) )
107106fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ZZ>= `  (
2  x.  n ) )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  n
) ) )
108105, 107eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  +  n ) ) )
109 eluzsub 11123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  (
ZZ>= `  n ) )
11087, 87, 108, 109syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  (
ZZ>= `  n ) )
111 eluznn 11164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( k  -  n
)  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
( k  -  n
)  e.  NN )
11233, 110, 111syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  NN )
113112nngt0d 10591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  (
k  -  n ) )
114 ltmul1 10404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  e.  RR  /\  ( ( B  - 
1 )  x.  ( B ^ n ) )  e.  RR  /\  (
( k  -  n
)  e.  RR  /\  0  <  ( k  -  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  <->  ( (
2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  <  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  x.  ( k  -  n
) ) ) )
11532, 104, 35, 113, 114syl112anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  <->  ( (
2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  <  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  x.  ( k  -  n
) ) ) )
116103, 115mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  < 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  x.  (
k  -  n ) ) )
11773recnd 9634 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B  - 
1 )  e.  CC )
11877recnd 9634 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
n )  e.  CC )
119117, 118, 69mul32d 9801 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  x.  ( k  -  n
) )  =  ( ( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  x.  ( B ^ n ) ) )
120116, 119breqtrd 4477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  < 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  x.  ( B ^ n ) ) )
121 peano2re 9764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  e.  RR  ->  (
( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  +  1 )  e.  RR )
12274, 121syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  +  1 )  e.  RR )
123112nnnn0d 10864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  NN0 )
124 reexpcl 12163 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( k  -  n
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ (
k  -  n ) )  e.  RR )
12537, 123, 124syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
( k  -  n
) )  e.  RR )
12674ltp1d 10488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  +  1 ) )
12788, 37, 92ltled 9744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <_  B
)
128 bernneq2 12273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( k  -  n
)  e.  NN0  /\  0  <_  B )  -> 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  +  1 )  <_  ( B ^ ( k  -  n ) ) )
12937, 123, 127, 128syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  +  1 )  <_  ( B ^ ( k  -  n ) ) )
13074, 122, 125, 126, 129ltletrd 9753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  ( B ^ ( k  -  n ) ) )
13137recnd 9634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  B  e.  CC )
13292gt0ne0d 10129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  B  =/=  0
)
133 eluzelz 11103 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
2  x.  n ) )  ->  k  e.  ZZ )
134133adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
135 expsub 12193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( B ^ (
k  -  n ) )  =  ( ( B ^ k )  /  ( B ^
n ) ) )
136131, 132, 134, 87, 135syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
( k  -  n
) )  =  ( ( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) )
137130, 136breqtrd 4477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) )
138 ltmuldiv 10427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  e.  RR  /\  ( B ^ k )  e.  RR  /\  (
( B ^ n
)  e.  RR  /\  0  <  ( B ^
n ) ) )  ->  ( ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^
n ) )  < 
( B ^ k
)  <->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) ) )
13974, 40, 77, 94, 138syl112anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^
n ) )  < 
( B ^ k
)  <->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) ) )
140137, 139mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^ n
) )  <  ( B ^ k ) )
14136, 78, 40, 120, 140lttrd 9754 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  < 
( B ^ k
) )
14227, 36, 40, 71, 141lelttrd 9751 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  <  ( B ^ k ) )
143142ralrimiva 2881 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) ( A  x.  k )  <  ( B ^
k ) )
144 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( j  =  ( 2  x.  n )  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )
145144raleqdv 3069 . . . 4  |-  ( j  =  ( 2  x.  n )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( A  x.  k )  <  ( B ^
k )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) ( A  x.  k )  <  ( B ^
k ) ) )
146145rspcev 3219 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n
) ) ( A  x.  k )  < 
( B ^ k
) )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
14718, 143, 146syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
14813, 147rexlimddv 2963 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   ifcif 3945   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   RR+crp 11232   ^cexp 12146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147
This theorem is referenced by:  geomulcvg  13665
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