MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmulnbnd Unicode version

Theorem expmulnbnd 11466
Description: Exponentiation with a mantissa greater than 1 is not bounded by any linear function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
expmulnbnd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k

Proof of Theorem expmulnbnd
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10025 . . . . 5  |-  2  e.  RR
2 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  A  e.  RR )
3 remulcl 9031 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
41, 2, 3sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
2  x.  A )  e.  RR )
5 simp3 959 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <  B )
6 1re 9046 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
7 simp2 958 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  B  e.  RR )
8 difrp 10601 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  <  B  <->  ( B  -  1 )  e.  RR+ ) )
96, 7, 8sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  <  B  <->  ( B  -  1 )  e.  RR+ ) )
105, 9mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B  -  1 )  e.  RR+ )
114, 10rerpdivcld 10631 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
( 2  x.  A
)  /  ( B  -  1 ) )  e.  RR )
12 expnbnd 11463 . . 3  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 2  x.  A )  / 
( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) )
1311, 7, 5, 12syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 2  x.  A )  / 
( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) )
14 2nn0 10194 . . . 4  |-  2  e.  NN0
15 nnnn0 10184 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
1615ad2antrl 709 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
17 nn0mulcl 10212 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
1814, 16, 17sylancr 645 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  e. 
NN0 )
192ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  A  e.  RR )
20 2nn 10089 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
21 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  n  e.  NN )
22 nnmulcl 9979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  NN )
2320, 21, 22sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  NN )
24 nnuz 10477 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2524uztrn2 10459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n
) ) )  -> 
k  e.  NN )
2623, 25sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  NN )
2726nnred 9971 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  RR )
2819, 27remulcld 9072 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  e.  RR )
29 0re 9047 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
30 ifcl 3735 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  A ,  A , 
0 )  e.  RR )
3119, 29, 30sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  e.  RR )
32 remulcl 9031 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  e.  RR )
331, 31, 32sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A , 
0 ) )  e.  RR )
34 simplrl 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  NN )
3534nnred 9971 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  RR )
3627, 35resubcld 9421 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  RR )
3733, 36remulcld 9072 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  e.  RR )
387ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  B  e.  RR )
3926nnnn0d 10230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
40 reexpcl 11353 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ k
)  e.  RR )
4138, 39, 40syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
k )  e.  RR )
42 remulcl 9031 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( k  -  n
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( k  -  n
) )  e.  RR )
431, 36, 42sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  ( k  -  n
) )  e.  RR )
4439nn0ge0d 10233 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <_  k
)
45 max1 10729 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  A ,  A ,  0 ) )
4629, 19, 45sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <_  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )
47 remulcl 9031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  RR )
481, 35, 47sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  RR )
49 eluzle 10454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
2  x.  n ) )  ->  ( 2  x.  n )  <_ 
k )
5049adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  <_  k
)
5148, 27, 27, 50leadd2dd 9597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  +  ( 2  x.  n
) )  <_  (
k  +  k ) )
5227recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  CC )
53522timesd 10166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( k  +  k ) )
5451, 53breqtrrd 4198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  +  ( 2  x.  n
) )  <_  (
2  x.  k ) )
55 remulcl 9031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  RR )
561, 27, 55sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  k )  e.  RR )
57 leaddsub 9460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( 2  x.  n
)  e.  RR  /\  ( 2  x.  k
)  e.  RR )  ->  ( ( k  +  ( 2  x.  n ) )  <_ 
( 2  x.  k
)  <->  k  <_  (
( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) ) )
5827, 48, 56, 57syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( k  +  ( 2  x.  n ) )  <_ 
( 2  x.  k
)  <->  k  <_  (
( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) ) )
5954, 58mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  <_  (
( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) )
60 2cn 10026 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
6160a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  2  e.  CC )
6235recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  CC )
6361, 52, 62subdid 9445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  ( k  -  n
) )  =  ( ( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) )
6459, 63breqtrrd 4198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  <_  (
2  x.  ( k  -  n ) ) )
65 max2 10731 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  A  <_  if (
0  <_  A ,  A ,  0 ) )
6629, 19, 65sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  A  <_  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )
6727, 43, 19, 31, 44, 46, 64, 66lemul12bd 9910 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  x.  A )  <_  (
( 2  x.  (
k  -  n ) )  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
6819recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  A  e.  CC )
6968, 52mulcomd 9065 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  =  ( k  x.  A ) )
7031recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  e.  CC )
7136recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  CC )
7261, 70, 71mul32d 9232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  =  ( ( 2  x.  ( k  -  n
) )  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
7367, 69, 723brtr4d 4202 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  <_  (
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) ) )
7410ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B  - 
1 )  e.  RR+ )
7574rpred 10604 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B  - 
1 )  e.  RR )
7675, 36remulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  e.  RR )
7734nnnn0d 10230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
78 reexpcl 11353 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( B ^ n
)  e.  RR )
7938, 77, 78syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
n )  e.  RR )
8076, 79remulcld 9072 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^ n
) )  e.  RR )
81 simplrr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  A )  / 
( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) )
821, 19, 3sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  A )  e.  RR )
8382, 79, 74ltdivmuld 10651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  /  ( B  - 
1 ) )  < 
( B ^ n
)  <->  ( 2  x.  A )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) ) ) )
8481, 83mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  A )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) ) )
855ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  1  <  B
)
86 posdif 9477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  <  B  <->  0  <  ( B  - 
1 ) ) )
876, 38, 86sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 1  < 
B  <->  0  <  ( B  -  1 ) ) )
8885, 87mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  ( B  -  1 ) )
8934nnzd 10330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
9029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  e.  RR )
916a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  1  e.  RR )
92 0lt1 9506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  1
)
9490, 91, 38, 93, 85lttrd 9187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  B
)
95 expgt0 11368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  ZZ  /\  0  <  B )  ->  0  <  ( B ^ n
) )
9638, 89, 94, 95syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  ( B ^ n ) )
9775, 79, 88, 96mulgt0d 9181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) ) )
98 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( 2  x.  A
)  =  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
9998breq1d 4182 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( ( 2  x.  A )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) )  <-> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) ) ) )
10060mul01i 9212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
101 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( 2  x.  0 )  =  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
102100, 101syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
0  =  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
103102breq1d 4182 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( 0  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) )  <-> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) ) ) )
10499, 103ifboth 3730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  /\  0  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) ) )  -> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) ) )
10584, 97, 104syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A , 
0 ) )  < 
( ( B  - 
1 )  x.  ( B ^ n ) ) )
10675, 79remulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  e.  RR )
107 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )
108622timesd 10166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( n  +  n ) )
109108fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ZZ>= `  (
2  x.  n ) )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  n
) ) )
110107, 109eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  +  n ) ) )
111 eluzsub 10471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  (
ZZ>= `  n ) )
11289, 89, 110, 111syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  (
ZZ>= `  n ) )
11324uztrn2 10459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( k  -  n
)  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
( k  -  n
)  e.  NN )
11434, 112, 113syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  NN )
115114nngt0d 9999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  (
k  -  n ) )
116 ltmul1 9816 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  e.  RR  /\  ( ( B  - 
1 )  x.  ( B ^ n ) )  e.  RR  /\  (
( k  -  n
)  e.  RR  /\  0  <  ( k  -  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  <->  ( (
2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  <  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  x.  ( k  -  n
) ) ) )
11733, 106, 36, 115, 116syl112anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  <->  ( (
2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  <  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  x.  ( k  -  n
) ) ) )
118105, 117mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  < 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  x.  (
k  -  n ) ) )
11975recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B  - 
1 )  e.  CC )
12079recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
n )  e.  CC )
121119, 120, 71mul32d 9232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  x.  ( k  -  n
) )  =  ( ( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  x.  ( B ^ n ) ) )
122118, 121breqtrd 4196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  < 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  x.  ( B ^ n ) ) )
123 peano2re 9195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  e.  RR  ->  (
( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  +  1 )  e.  RR )
12476, 123syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  +  1 )  e.  RR )
125114nnnn0d 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  NN0 )
126 reexpcl 11353 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( k  -  n
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ (
k  -  n ) )  e.  RR )
12738, 125, 126syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
( k  -  n
) )  e.  RR )
12876ltp1d 9897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  +  1 ) )
12990, 38, 94ltled 9177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <_  B
)
130 bernneq2 11461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( k  -  n
)  e.  NN0  /\  0  <_  B )  -> 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  +  1 )  <_  ( B ^ ( k  -  n ) ) )
13138, 125, 129, 130syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  +  1 )  <_  ( B ^ ( k  -  n ) ) )
13276, 124, 127, 128, 131ltletrd 9186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  ( B ^ ( k  -  n ) ) )
13338recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  B  e.  CC )
13494gt0ne0d 9547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  B  =/=  0
)
135 eluzelz 10452 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
2  x.  n ) )  ->  k  e.  ZZ )
136135adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
137 expsub 11382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( B ^ (
k  -  n ) )  =  ( ( B ^ k )  /  ( B ^
n ) ) )
138133, 134, 136, 89, 137syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
( k  -  n
) )  =  ( ( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) )
139132, 138breqtrd 4196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) )
140 ltmuldiv 9836 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  e.  RR  /\  ( B ^ k )  e.  RR  /\  (
( B ^ n
)  e.  RR  /\  0  <  ( B ^
n ) ) )  ->  ( ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^
n ) )  < 
( B ^ k
)  <->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) ) )
14176, 41, 79, 96, 140syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^
n ) )  < 
( B ^ k
)  <->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) ) )
142139, 141mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^ n
) )  <  ( B ^ k ) )
14337, 80, 41, 122, 142lttrd 9187 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  < 
( B ^ k
) )
14428, 37, 41, 73, 143lelttrd 9184 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  <  ( B ^ k ) )
145144ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) ( A  x.  k )  <  ( B ^
k ) )
146 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( j  =  ( 2  x.  n )  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )
147146raleqdv 2870 . . . 4  |-  ( j  =  ( 2  x.  n )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( A  x.  k )  <  ( B ^
k )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) ( A  x.  k )  <  ( B ^
k ) ) )
148147rspcev 3012 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n
) ) ( A  x.  k )  < 
( B ^ k
) )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
14918, 145, 148syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
15013, 149rexlimddv 2794 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   ifcif 3699   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ^cexp 11337
This theorem is referenced by:  geomulcvg  12608
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338
  Copyright terms: Public domain W3C validator