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Theorem expmulnbnd 11992
Description: Exponentiation with a mantissa greater than 1 is not bounded by any linear function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
expmulnbnd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k

Proof of Theorem expmulnbnd
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10387 . . . . 5  |-  2  e.  RR
2 simp1 983 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  A  e.  RR )
3 remulcl 9363 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
41, 2, 3sylancr 658 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
2  x.  A )  e.  RR )
5 simp3 985 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  1  <  B )
6 1re 9381 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
7 simp2 984 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  B  e.  RR )
8 difrp 11020 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  <  B  <->  ( B  -  1 )  e.  RR+ ) )
96, 7, 8sylancr 658 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
1  <  B  <->  ( B  -  1 )  e.  RR+ ) )
105, 9mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  ( B  -  1 )  e.  RR+ )
114, 10rerpdivcld 11050 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  (
( 2  x.  A
)  /  ( B  -  1 ) )  e.  RR )
12 expnbnd 11989 . . 3  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 2  x.  A )  / 
( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) )
1311, 7, 5, 12syl3anc 1213 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 2  x.  A )  / 
( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) )
14 2nn0 10592 . . . 4  |-  2  e.  NN0
15 nnnn0 10582 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
1615ad2antrl 722 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
17 nn0mulcl 10612 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
1814, 16, 17sylancr 658 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  e. 
NN0 )
192ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  A  e.  RR )
20 2nn 10475 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
21 simprl 750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  n  e.  NN )
22 nnmulcl 10341 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  NN )
2320, 21, 22sylancr 658 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  NN )
24 eluznn 10921 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n
) ) )  -> 
k  e.  NN )
2523, 24sylan 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  NN )
2625nnred 10333 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  RR )
2719, 26remulcld 9410 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  e.  RR )
28 0re 9382 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
29 ifcl 3828 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  A ,  A , 
0 )  e.  RR )
3019, 28, 29sylancl 657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  e.  RR )
31 remulcl 9363 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  e.  RR )
321, 30, 31sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A , 
0 ) )  e.  RR )
33 simplrl 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  NN )
3433nnred 10333 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  RR )
3526, 34resubcld 9772 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  RR )
3632, 35remulcld 9410 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  e.  RR )
377ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  B  e.  RR )
3825nnnn0d 10632 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
39 reexpcl 11878 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ k
)  e.  RR )
4037, 38, 39syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
k )  e.  RR )
41 remulcl 9363 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( k  -  n
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( k  -  n
) )  e.  RR )
421, 35, 41sylancr 658 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  ( k  -  n
) )  e.  RR )
4338nn0ge0d 10635 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <_  k
)
44 max1 11153 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  A ,  A ,  0 ) )
4528, 19, 44sylancr 658 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <_  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )
46 remulcl 9363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  RR )
471, 34, 46sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  RR )
48 eluzle 10869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
2  x.  n ) )  ->  ( 2  x.  n )  <_ 
k )
4948adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  <_  k
)
5047, 26, 26, 49leadd2dd 9950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  +  ( 2  x.  n
) )  <_  (
k  +  k ) )
5126recnd 9408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  CC )
52512timesd 10563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  k )  =  ( k  +  k ) )
5350, 52breqtrrd 4315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  +  ( 2  x.  n
) )  <_  (
2  x.  k ) )
54 remulcl 9363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  RR )
551, 26, 54sylancr 658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  k )  e.  RR )
56 leaddsub 9811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( 2  x.  n
)  e.  RR  /\  ( 2  x.  k
)  e.  RR )  ->  ( ( k  +  ( 2  x.  n ) )  <_ 
( 2  x.  k
)  <->  k  <_  (
( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) ) )
5726, 47, 55, 56syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( k  +  ( 2  x.  n ) )  <_ 
( 2  x.  k
)  <->  k  <_  (
( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) ) )
5853, 57mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  <_  (
( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) )
59 2cnd 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  2  e.  CC )
6034recnd 9408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  CC )
6159, 51, 60subdid 9796 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  ( k  -  n
) )  =  ( ( 2  x.  k
)  -  ( 2  x.  n ) ) )
6258, 61breqtrrd 4315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  <_  (
2  x.  ( k  -  n ) ) )
63 max2 11155 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  A  <_  if (
0  <_  A ,  A ,  0 ) )
6428, 19, 63sylancr 658 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  A  <_  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )
6526, 42, 19, 30, 43, 45, 62, 64lemul12bd 10272 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  x.  A )  <_  (
( 2  x.  (
k  -  n ) )  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
6619recnd 9408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  A  e.  CC )
6766, 51mulcomd 9403 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  =  ( k  x.  A ) )
6830recnd 9408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  e.  CC )
6935recnd 9408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  CC )
7059, 68, 69mul32d 9575 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  =  ( ( 2  x.  ( k  -  n
) )  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
7165, 67, 703brtr4d 4319 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  <_  (
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) ) )
7210ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B  - 
1 )  e.  RR+ )
7372rpred 11023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B  - 
1 )  e.  RR )
7473, 35remulcld 9410 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  e.  RR )
7533nnnn0d 10632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
76 reexpcl 11878 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( B ^ n
)  e.  RR )
7737, 75, 76syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
n )  e.  RR )
7874, 77remulcld 9410 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^ n
) )  e.  RR )
79 simplrr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  A )  / 
( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) )
801, 19, 3sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  A )  e.  RR )
8180, 77, 72ltdivmuld 11070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  /  ( B  - 
1 ) )  < 
( B ^ n
)  <->  ( 2  x.  A )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) ) ) )
8279, 81mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  A )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) ) )
835ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  1  <  B
)
84 posdif 9828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  <  B  <->  0  <  ( B  - 
1 ) ) )
856, 37, 84sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 1  < 
B  <->  0  <  ( B  -  1 ) ) )
8683, 85mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  ( B  -  1 ) )
8733nnzd 10742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
8828a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  e.  RR )
896a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  1  e.  RR )
90 0lt1 9858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  1
)
9288, 89, 37, 91, 83lttrd 9528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  B
)
93 expgt0 11893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  n  e.  ZZ  /\  0  <  B )  ->  0  <  ( B ^ n
) )
9437, 87, 92, 93syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  ( B ^ n ) )
9573, 77, 86, 94mulgt0d 9522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) ) )
96 oveq2 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( 2  x.  A
)  =  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
9796breq1d 4299 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( ( 2  x.  A )  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) )  <-> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) ) ) )
98 2t0e0 10473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
99 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( 2  x.  0 )  =  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
10098, 99syl5eqr 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
0  =  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) ) )
101100breq1d 4299 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -> 
( 0  <  (
( B  -  1 )  x.  ( B ^ n ) )  <-> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) ) ) )
10297, 101ifboth 3822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  /\  0  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) ) )  -> 
( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) ) )
10382, 95, 102syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A , 
0 ) )  < 
( ( B  - 
1 )  x.  ( B ^ n ) ) )
10473, 77remulcld 9410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  e.  RR )
105 simpr 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )
106602timesd 10563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( 2  x.  n )  =  ( n  +  n ) )
107106fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ZZ>= `  (
2  x.  n ) )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  n
) ) )
108105, 107eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  +  n ) ) )
109 eluzsub 10886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  (
ZZ>= `  n ) )
11087, 87, 108, 109syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  (
ZZ>= `  n ) )
111 eluznn 10921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( k  -  n
)  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
( k  -  n
)  e.  NN )
11233, 110, 111syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  NN )
113112nngt0d 10361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <  (
k  -  n ) )
114 ltmul1 10175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  e.  RR  /\  ( ( B  - 
1 )  x.  ( B ^ n ) )  e.  RR  /\  (
( k  -  n
)  e.  RR  /\  0  <  ( k  -  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  <->  ( (
2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  <  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  x.  ( k  -  n
) ) ) )
11532, 104, 35, 113, 114syl112anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  <  ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  <->  ( (
2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  <  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  x.  ( k  -  n
) ) ) )
116103, 115mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  < 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^ n
) )  x.  (
k  -  n ) ) )
11773recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B  - 
1 )  e.  CC )
11877recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
n )  e.  CC )
119117, 118, 69mul32d 9575 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( B ^
n ) )  x.  ( k  -  n
) )  =  ( ( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  x.  ( B ^ n ) ) )
120116, 119breqtrd 4313 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  < 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  x.  ( B ^ n ) ) )
121 peano2re 9538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  e.  RR  ->  (
( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  +  1 )  e.  RR )
12274, 121syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  +  1 )  e.  RR )
123112nnnn0d 10632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( k  -  n )  e.  NN0 )
124 reexpcl 11878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( k  -  n
)  e.  NN0 )  ->  ( B ^ (
k  -  n ) )  e.  RR )
12537, 123, 124syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
( k  -  n
) )  e.  RR )
12674ltp1d 10259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  +  1 ) )
12788, 37, 92ltled 9518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  0  <_  B
)
128 bernneq2 11987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( k  -  n
)  e.  NN0  /\  0  <_  B )  -> 
( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  +  1 )  <_  ( B ^ ( k  -  n ) ) )
12937, 123, 127, 128syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  +  1 )  <_  ( B ^ ( k  -  n ) ) )
13074, 122, 125, 126, 129ltletrd 9527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  ( B ^ ( k  -  n ) ) )
13137recnd 9408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  B  e.  CC )
13292gt0ne0d 9900 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  B  =/=  0
)
133 eluzelz 10866 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
2  x.  n ) )  ->  k  e.  ZZ )
134133adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
135 expsub 11907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( B ^ (
k  -  n ) )  =  ( ( B ^ k )  /  ( B ^
n ) ) )
136131, 132, 134, 87, 135syl22anc 1214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( B ^
( k  -  n
) )  =  ( ( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) )
137130, 136breqtrd 4313 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) )
138 ltmuldiv 10198 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  - 
1 )  x.  (
k  -  n ) )  e.  RR  /\  ( B ^ k )  e.  RR  /\  (
( B ^ n
)  e.  RR  /\  0  <  ( B ^
n ) ) )  ->  ( ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^
n ) )  < 
( B ^ k
)  <->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) ) )
13974, 40, 77, 94, 138syl112anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^
n ) )  < 
( B ^ k
)  <->  ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n
) )  <  (
( B ^ k
)  /  ( B ^ n ) ) ) )
140137, 139mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( ( B  -  1 )  x.  ( k  -  n ) )  x.  ( B ^ n
) )  <  ( B ^ k ) )
14136, 78, 40, 120, 140lttrd 9528 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( ( 2  x.  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 ) )  x.  ( k  -  n ) )  < 
( B ^ k
) )
14227, 36, 40, 71, 141lelttrd 9525 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  < 
B )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )  ->  ( A  x.  k )  <  ( B ^ k ) )
143142ralrimiva 2797 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) ( A  x.  k )  <  ( B ^
k ) )
144 fveq2 5688 . . . . 5  |-  ( j  =  ( 2  x.  n )  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) )
145144raleqdv 2921 . . . 4  |-  ( j  =  ( 2  x.  n )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( A  x.  k )  <  ( B ^
k )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n ) ) ( A  x.  k )  <  ( B ^
k ) ) )
146145rspcev 3070 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( 2  x.  n
) ) ( A  x.  k )  < 
( B ^ k
) )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
14718, 143, 146syl2anc 656 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  A )  /  ( B  -  1 ) )  <  ( B ^ n ) ) )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
14813, 147rexlimddv 2843 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  1  <  B )  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( A  x.  k
)  <  ( B ^ k ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   ifcif 3788   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   ^cexp 11861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862
This theorem is referenced by:  geomulcvg  13332
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