MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmhm Structured version   Unicode version

Theorem expmhm 17860
Description: Exponentiation is a monoid homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expmhm.1  |-  N  =  (flds  NN0 )
expmhm.2  |-  M  =  (mulGrp ` fld )
Assertion
Ref Expression
expmhm  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) )  e.  ( N MndHom  M
) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    M( x)    N( x)

Proof of Theorem expmhm
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expcl 11875 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( A ^ x
)  e.  CC )
2 eqid 2438 . . 3  |-  ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) )  =  ( x  e. 
NN0  |->  ( A ^
x ) )
31, 2fmptd 5862 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) : NN0 --> CC )
4 expadd 11898 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  NN0  /\  z  e.  NN0 )  ->  ( A ^ ( y  +  z ) )  =  ( ( A ^
y )  x.  ( A ^ z ) ) )
543expb 1188 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  NN0 )
)  ->  ( A ^ ( y  +  z ) )  =  ( ( A ^
y )  x.  ( A ^ z ) ) )
6 nn0addcl 10607 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  z  e.  NN0 )  -> 
( y  +  z )  e.  NN0 )
76adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  NN0 )
)  ->  ( y  +  z )  e. 
NN0 )
8 oveq2 6094 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  ( A ^ x )  =  ( A ^ (
y  +  z ) ) )
9 ovex 6111 . . . . . 6  |-  ( A ^ ( y  +  z ) )  e. 
_V
108, 2, 9fvmpt 5769 . . . . 5  |-  ( ( y  +  z )  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 ( y  +  z ) )  =  ( A ^ (
y  +  z ) ) )
117, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  NN0 )
)  ->  ( (
x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 ( y  +  z ) )  =  ( A ^ (
y  +  z ) ) )
12 oveq2 6094 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A ^ x )  =  ( A ^ y
) )
13 ovex 6111 . . . . . . 7  |-  ( A ^ y )  e. 
_V
1412, 2, 13fvmpt 5769 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  =  ( A ^ y
) )
15 oveq2 6094 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( A ^ x )  =  ( A ^ z
) )
16 ovex 6111 . . . . . . 7  |-  ( A ^ z )  e. 
_V
1715, 2, 16fvmpt 5769 . . . . . 6  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 z )  =  ( A ^ z
) )
1814, 17oveqan12d 6105 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  z  e.  NN0 )  -> 
( ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  x.  ( ( x  e. 
NN0  |->  ( A ^
x ) ) `  z ) )  =  ( ( A ^
y )  x.  ( A ^ z ) ) )
1918adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  NN0 )
)  ->  ( (
( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `  y )  x.  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 z ) )  =  ( ( A ^ y )  x.  ( A ^ z
) ) )
205, 11, 193eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  NN0 )
)  ->  ( (
x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 ( y  +  z ) )  =  ( ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  x.  ( ( x  e. 
NN0  |->  ( A ^
x ) ) `  z ) ) )
2120ralrimivva 2803 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  A. y  e.  NN0  A. z  e. 
NN0  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 ( y  +  z ) )  =  ( ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  x.  ( ( x  e. 
NN0  |->  ( A ^
x ) ) `  z ) ) )
22 0nn0 10586 . . . 4  |-  0  e.  NN0
23 oveq2 6094 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( A ^ x )  =  ( A ^ 0 ) )
24 ovex 6111 . . . . 5  |-  ( A ^ 0 )  e. 
_V
2523, 2, 24fvmpt 5769 . . . 4  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 0 )  =  ( A ^ 0 ) )
2622, 25ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 0 )  =  ( A ^ 0 )
27 exp0 11861 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
2826, 27syl5eq 2482 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `  0 )  =  1 )
29 nn0subm 17848 . . . . 5  |-  NN0  e.  (SubMnd ` fld )
30 expmhm.1 . . . . . 6  |-  N  =  (flds  NN0 )
3130submmnd 15473 . . . . 5  |-  ( NN0 
e.  (SubMnd ` fld )  ->  N  e. 
Mnd )
3229, 31ax-mp 5 . . . 4  |-  N  e. 
Mnd
33 cnrng 17818 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
34 expmhm.2 . . . . . 6  |-  M  =  (mulGrp ` fld )
3534rngmgp 16641 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->  M  e.  Mnd )
3633, 35ax-mp 5 . . . 4  |-  M  e. 
Mnd
3732, 36pm3.2i 455 . . 3  |-  ( N  e.  Mnd  /\  M  e.  Mnd )
3830submbas 15474 . . . . 5  |-  ( NN0 
e.  (SubMnd ` fld )  ->  NN0  =  ( Base `  N )
)
3929, 38ax-mp 5 . . . 4  |-  NN0  =  ( Base `  N )
40 cnfldbas 17802 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
4134, 40mgpbas 16587 . . . 4  |-  CC  =  ( Base `  M )
42 cnfldadd 17803 . . . . . 6  |-  +  =  ( +g  ` fld )
4330, 42ressplusg 14272 . . . . 5  |-  ( NN0 
e.  (SubMnd ` fld )  ->  +  =  ( +g  `  N ) )
4429, 43ax-mp 5 . . . 4  |-  +  =  ( +g  `  N )
45 cnfldmul 17804 . . . . 5  |-  x.  =  ( .r ` fld )
4634, 45mgpplusg 16585 . . . 4  |-  x.  =  ( +g  `  M )
47 cnfld0 17820 . . . . . 6  |-  0  =  ( 0g ` fld )
4830, 47subm0 15475 . . . . 5  |-  ( NN0 
e.  (SubMnd ` fld )  ->  0  =  ( 0g `  N
) )
4929, 48ax-mp 5 . . . 4  |-  0  =  ( 0g `  N )
50 cnfld1 17821 . . . . 5  |-  1  =  ( 1r ` fld )
5134, 50rngidval 16595 . . . 4  |-  1  =  ( 0g `  M )
5239, 41, 44, 46, 49, 51ismhm 15458 . . 3  |-  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) )  e.  ( N MndHom  M
)  <->  ( ( N  e.  Mnd  /\  M  e.  Mnd )  /\  (
( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) : NN0 --> CC  /\  A. y  e.  NN0  A. z  e.  NN0  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 ( y  +  z ) )  =  ( ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  x.  ( ( x  e. 
NN0  |->  ( A ^
x ) ) `  z ) )  /\  ( ( x  e. 
NN0  |->  ( A ^
x ) ) ` 
0 )  =  1 ) ) )
5337, 52mpbiran 909 . 2  |-  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) )  e.  ( N MndHom  M
)  <->  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) : NN0 --> CC  /\  A. y  e.  NN0  A. z  e.  NN0  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 ( y  +  z ) )  =  ( ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  x.  ( ( x  e. 
NN0  |->  ( A ^
x ) ) `  z ) )  /\  ( ( x  e. 
NN0  |->  ( A ^
x ) ) ` 
0 )  =  1 ) )
543, 21, 28, 53syl3anbrc 1172 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) )  e.  ( N MndHom  M
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710    e. cmpt 4345   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279   NN0cn0 10571   ^cexp 11857   Basecbs 14166   ↾s cress 14167   +g cplusg 14230   0gc0g 14370   Mndcmnd 15401   MndHom cmhm 15454  SubMndcsubmnd 15455  mulGrpcmgp 16581   Ringcrg 16635  ℂfldccnfld 17798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-seq 11799  df-exp 11858  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-cmn 16270  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-cnfld 17799
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator