MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmhm Structured version   Unicode version

Theorem expmhm 17724
Description: Exponentiation is a monoid homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
expmhm.1  |-  N  =  (flds  NN0 )
expmhm.2  |-  M  =  (mulGrp ` fld )
Assertion
Ref Expression
expmhm  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) )  e.  ( N MndHom  M
) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    M( x)    N( x)

Proof of Theorem expmhm
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expcl 11867 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( A ^ x
)  e.  CC )
2 eqid 2433 . . 3  |-  ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) )  =  ( x  e. 
NN0  |->  ( A ^
x ) )
31, 2fmptd 5855 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) : NN0 --> CC )
4 expadd 11890 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  NN0  /\  z  e.  NN0 )  ->  ( A ^ ( y  +  z ) )  =  ( ( A ^
y )  x.  ( A ^ z ) ) )
543expb 1181 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  NN0 )
)  ->  ( A ^ ( y  +  z ) )  =  ( ( A ^
y )  x.  ( A ^ z ) ) )
6 nn0addcl 10603 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  z  e.  NN0 )  -> 
( y  +  z )  e.  NN0 )
76adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  NN0 )
)  ->  ( y  +  z )  e. 
NN0 )
8 oveq2 6088 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  ( A ^ x )  =  ( A ^ (
y  +  z ) ) )
9 ovex 6105 . . . . . 6  |-  ( A ^ ( y  +  z ) )  e. 
_V
108, 2, 9fvmpt 5762 . . . . 5  |-  ( ( y  +  z )  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 ( y  +  z ) )  =  ( A ^ (
y  +  z ) ) )
117, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  NN0 )
)  ->  ( (
x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 ( y  +  z ) )  =  ( A ^ (
y  +  z ) ) )
12 oveq2 6088 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A ^ x )  =  ( A ^ y
) )
13 ovex 6105 . . . . . . 7  |-  ( A ^ y )  e. 
_V
1412, 2, 13fvmpt 5762 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  =  ( A ^ y
) )
15 oveq2 6088 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( A ^ x )  =  ( A ^ z
) )
16 ovex 6105 . . . . . . 7  |-  ( A ^ z )  e. 
_V
1715, 2, 16fvmpt 5762 . . . . . 6  |-  ( z  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 z )  =  ( A ^ z
) )
1814, 17oveqan12d 6099 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  z  e.  NN0 )  -> 
( ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  x.  ( ( x  e. 
NN0  |->  ( A ^
x ) ) `  z ) )  =  ( ( A ^
y )  x.  ( A ^ z ) ) )
1918adantl 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  NN0 )
)  ->  ( (
( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `  y )  x.  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 z ) )  =  ( ( A ^ y )  x.  ( A ^ z
) ) )
205, 11, 193eqtr4d 2475 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  NN0  /\  z  e.  NN0 )
)  ->  ( (
x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 ( y  +  z ) )  =  ( ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  x.  ( ( x  e. 
NN0  |->  ( A ^
x ) ) `  z ) ) )
2120ralrimivva 2798 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  A. y  e.  NN0  A. z  e. 
NN0  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 ( y  +  z ) )  =  ( ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  x.  ( ( x  e. 
NN0  |->  ( A ^
x ) ) `  z ) ) )
22 0nn0 10582 . . . 4  |-  0  e.  NN0
23 oveq2 6088 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( A ^ x )  =  ( A ^ 0 ) )
24 ovex 6105 . . . . 5  |-  ( A ^ 0 )  e. 
_V
2523, 2, 24fvmpt 5762 . . . 4  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 0 )  =  ( A ^ 0 ) )
2622, 25ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 0 )  =  ( A ^ 0 )
27 exp0 11853 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
2826, 27syl5eq 2477 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `  0 )  =  1 )
29 nn0subm 17712 . . . . 5  |-  NN0  e.  (SubMnd ` fld )
30 expmhm.1 . . . . . 6  |-  N  =  (flds  NN0 )
3130submmnd 15464 . . . . 5  |-  ( NN0 
e.  (SubMnd ` fld )  ->  N  e. 
Mnd )
3229, 31ax-mp 5 . . . 4  |-  N  e. 
Mnd
33 cnrng 17682 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
34 expmhm.2 . . . . . 6  |-  M  =  (mulGrp ` fld )
3534rngmgp 16587 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->  M  e.  Mnd )
3633, 35ax-mp 5 . . . 4  |-  M  e. 
Mnd
3732, 36pm3.2i 452 . . 3  |-  ( N  e.  Mnd  /\  M  e.  Mnd )
3830submbas 15465 . . . . 5  |-  ( NN0 
e.  (SubMnd ` fld )  ->  NN0  =  ( Base `  N )
)
3929, 38ax-mp 5 . . . 4  |-  NN0  =  ( Base `  N )
40 cnfldbas 17666 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
4134, 40mgpbas 16571 . . . 4  |-  CC  =  ( Base `  M )
42 cnfldadd 17667 . . . . . 6  |-  +  =  ( +g  ` fld )
4330, 42ressplusg 14263 . . . . 5  |-  ( NN0 
e.  (SubMnd ` fld )  ->  +  =  ( +g  `  N ) )
4429, 43ax-mp 5 . . . 4  |-  +  =  ( +g  `  N )
45 cnfldmul 17668 . . . . 5  |-  x.  =  ( .r ` fld )
4634, 45mgpplusg 16569 . . . 4  |-  x.  =  ( +g  `  M )
47 cnfld0 17684 . . . . . 6  |-  0  =  ( 0g ` fld )
4830, 47subm0 15466 . . . . 5  |-  ( NN0 
e.  (SubMnd ` fld )  ->  0  =  ( 0g `  N
) )
4929, 48ax-mp 5 . . . 4  |-  0  =  ( 0g `  N )
50 cnfld1 17685 . . . . 5  |-  1  =  ( 1r ` fld )
5134, 50rngidval 16583 . . . 4  |-  1  =  ( 0g `  M )
5239, 41, 44, 46, 49, 51ismhm 15449 . . 3  |-  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) )  e.  ( N MndHom  M
)  <->  ( ( N  e.  Mnd  /\  M  e.  Mnd )  /\  (
( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) : NN0 --> CC  /\  A. y  e.  NN0  A. z  e.  NN0  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 ( y  +  z ) )  =  ( ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  x.  ( ( x  e. 
NN0  |->  ( A ^
x ) ) `  z ) )  /\  ( ( x  e. 
NN0  |->  ( A ^
x ) ) ` 
0 )  =  1 ) ) )
5337, 52mpbiran 902 . 2  |-  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) )  e.  ( N MndHom  M
)  <->  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) : NN0 --> CC  /\  A. y  e.  NN0  A. z  e.  NN0  ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 ( y  +  z ) )  =  ( ( ( x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  x.  ( ( x  e. 
NN0  |->  ( A ^
x ) ) `  z ) )  /\  ( ( x  e. 
NN0  |->  ( A ^
x ) ) ` 
0 )  =  1 ) )
543, 21, 28, 53syl3anbrc 1165 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  NN0  |->  ( A ^ x ) )  e.  ( N MndHom  M
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705    e. cmpt 4338   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275   NN0cn0 10567   ^cexp 11849   Basecbs 14157   ↾s cress 14158   +g cplusg 14221   0gc0g 14361   Mndcmnd 15392   MndHom cmhm 15445  SubMndcsubmnd 15446  mulGrpcmgp 16565   Ringcrg 16577  ℂfldccnfld 17662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-fz 11425  df-seq 11791  df-exp 11850  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-0g 14363  df-mnd 15398  df-mhm 15447  df-submnd 15448  df-grp 15525  df-cmn 16259  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-cring 16581  df-ur 16582  df-cnfld 17663
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator