MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expm1t Structured version   Unicode version

Theorem expm1t 11913
Description: Exponentiation in terms of predecessor exponent. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
expm1t  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A ^ N
)  =  ( ( A ^ ( N  -  1 ) )  x.  A ) )

Proof of Theorem expm1t
StepHypRef Expression
1 nncn 10351 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2 ax-1cn 9361 . . . . 5  |-  1  e.  CC
3 npcan 9640 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
41, 2, 3sylancl 662 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
54oveq2d 6128 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( A ^ ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( A ^ N
) )
65adantl 466 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A ^ (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( A ^ N ) )
7 nnm1nn0 10642 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
8 expp1 11893 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( A ^ ( N  -  1 ) )  x.  A ) )
97, 8sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A ^ (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( A ^ ( N  -  1 ) )  x.  A ) )
106, 9eqtr3d 2477 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A ^ N
)  =  ( ( A ^ ( N  -  1 ) )  x.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6112   CCcc 9301   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308    - cmin 9616   NNcn 10343   NN0cn0 10600   ^cexp 11886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-seq 11828  df-exp 11887
This theorem is referenced by:  expgt1  11923  digit1  12019  faclbnd4lem1  12090  binomlem  13313  incexc  13321  iddvdsexp  13577  bitsfzolem  13651  phiprmpw  13872  fermltl  13880  prmpwdvds  13986  dvexp  21449  abelthlem6  21923  ftalem1  22432  perfect1  22589  perfect  22592  jm2.18  29363  jm2.22  29370  itgsinexp  29821
  Copyright terms: Public domain W3C validator