Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  exple2lt6 Structured version   Unicode version

Theorem exple2lt6 30786
Description: A nonnegative integer to the power of itself is less than 6 if it is less than or equal to 2. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
exple2lt6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <_  2 )  -> 
( N ^ N
)  <  6 )

Proof of Theorem exple2lt6
StepHypRef Expression
1 nn0le2is012 30785 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <_  2 )  -> 
( N  =  0  \/  N  =  1  \/  N  =  2 ) )
2 id 22 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
32, 2oveq12d 6124 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( N ^ N )  =  ( 0 ^ 0 ) )
4 0exp0e1 11885 . . . . 5  |-  ( 0 ^ 0 )  =  1
5 1lt6 10517 . . . . 5  |-  1  <  6
64, 5eqbrtri 4326 . . . 4  |-  ( 0 ^ 0 )  <  6
73, 6syl6eqbr 4344 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( N ^ N )  <  6 )
8 id 22 . . . . 5  |-  ( N  =  1  ->  N  =  1 )
98, 8oveq12d 6124 . . . 4  |-  ( N  =  1  ->  ( N ^ N )  =  ( 1 ^ 1 ) )
10 ax-1cn 9355 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
11 exp1 11886 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1 ^ 1 )  =  1 )
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 1 )  =  1
1312, 5eqbrtri 4326 . . . 4  |-  ( 1 ^ 1 )  <  6
149, 13syl6eqbr 4344 . . 3  |-  ( N  =  1  ->  ( N ^ N )  <  6 )
15 id 22 . . . . 5  |-  ( N  =  2  ->  N  =  2 )
1615, 15oveq12d 6124 . . . 4  |-  ( N  =  2  ->  ( N ^ N )  =  ( 2 ^ 2 ) )
17 sq2 11977 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
18 4lt6 10514 . . . . 5  |-  4  <  6
1917, 18eqbrtri 4326 . . . 4  |-  ( 2 ^ 2 )  <  6
2016, 19syl6eqbr 4344 . . 3  |-  ( N  =  2  ->  ( N ^ N )  <  6 )
217, 14, 203jaoi 1281 . 2  |-  ( ( N  =  0  \/  N  =  1  \/  N  =  2 )  ->  ( N ^ N )  <  6
)
221, 21syl 16 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  <_  2 )  -> 
( N ^ N
)  <  6 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4307  (class class class)co 6106   CCcc 9295   0cc0 9297   1c1 9298    < clt 9433    <_ cle 9434   2c2 10386   4c4 10388   6c6 10390   NN0cn0 10594   ^cexp 11880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-seq 11822  df-exp 11881
This theorem is referenced by:  pgrple2abel  30787
  Copyright terms: Public domain W3C validator