Theorem exple1 7852

Description: Nonnegative integer exponentiation with a mantissa between 0 and 1 inclusive is less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 29-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
exple1	|- (((A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> (A^N) <_ 1)

Proof of Theorem exple1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 6603	. . . . . 6 |- 0 e. RR
2		leloe 6688	. . . . . 6 |- ((0 e. RR /\ A e. RR) -> (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A)))
3	1, 2	mpan 759	. . . . 5 |- (A e. RR -> (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A)))
4	3	biimpa 460	. . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (0 < A \/ 0 = A))
5		expge1 7835	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((1 / A) e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ (1 / A)) -> 1 <_ ((1 / A)^N))
6	5	3com23 1074	. . . . . . . . . . . 12 |- (((1 / A) e. RR /\ 1 <_ (1 / A) /\ N e. NN0) -> 1 <_ ((1 / A)^N))
7	6	3expa 1067	. . . . . . . . . . 11 |- ((((1 / A) e. RR /\ 1 <_ (1 / A)) /\ N e. NN0) -> 1 <_ ((1 / A)^N))
8		simp1 876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> A e. RR)
9		gt0ne0 6800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> A =/= 0)
10	9	3adant3 896	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> A =/= 0)
11		rereccl 6981	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> (1 / A) e. RR)
12	8, 10, 11	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> (1 / A) e. RR)
13		simp3 878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> A <_ 1)
14		1re 6598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
15		lt01 6871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 1
16		lerec2 7072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((1 e. RR /\ 0 < 1) /\ (A e. RR /\ 0 < A)) -> (1 <_ (1 / A) <-> A <_ (1 / 1)))
17	14, 15, 16	mpanl12 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (1 <_ (1 / A) <-> A <_ (1 / 1)))
18	17	3adant3 896	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> (1 <_ (1 / A) <-> A <_ (1 / 1)))
19		ax1cn 6422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
20	19	div1i 6948	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (1 / 1) = 1
21	20	breq2i 3346	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A <_ (1 / 1) <-> A <_ 1)
22	18, 21	syl6bb 595	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> (1 <_ (1 / A) <-> A <_ 1))
23	13, 22	mpbird 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> 1 <_ (1 / A))
24	12, 23	jca 310	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> ((1 / A) e. RR /\ 1 <_ (1 / A)))
25	7, 24	sylan 497	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> 1 <_ ((1 / A)^N))
26		exprecOLD 7838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CC /\ N e. NN0 /\ A =/= 0) -> ((1 / A)^N) = (1 / (A^N)))
27	26	3com23 1074	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ A =/= 0 /\ N e. NN0) -> ((1 / A)^N) = (1 / (A^N)))
28	27	3expa 1067	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ N e. NN0) -> ((1 / A)^N) = (1 / (A^N)))
29	8	recnd 6468	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> A e. CC)
30	29, 10	jca 310	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> (A e. CC /\ A =/= 0))
31	28, 30	sylan 497	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> ((1 / A)^N) = (1 / (A^N)))
32	25, 31	breqtrd 3361	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> 1 <_ (1 / (A^N)))
33		reexpcl 7823	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ N e. NN0) -> (A^N) e. RR)
34	33	3ad2antl1 1038	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> (A^N) e. RR)
35		expgt0 7831	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 < A) -> 0 < (A^N))
36	35	3com23 1074	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ N e. NN0) -> 0 < (A^N))
37	36	3expa 1067	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ N e. NN0) -> 0 < (A^N))
38	37	3adantl3 1034	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> 0 < (A^N))
39		lerec2 7072	. . . . . . . . . . 11 |- (((1 e. RR /\ 0 < 1) /\ ((A^N) e. RR /\ 0 < (A^N))) -> (1 <_ (1 / (A^N)) <-> (A^N) <_ (1 / 1)))
40	14, 15, 39	mpanl12 773	. . . . . . . . . 10 |- (((A^N) e. RR /\ 0 < (A^N)) -> (1 <_ (1 / (A^N)) <-> (A^N) <_ (1 / 1)))
41	34, 38, 40	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> (1 <_ (1 / (A^N)) <-> (A^N) <_ (1 / 1)))
42	32, 41	mpbid 212	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> (A^N) <_ (1 / 1))
43	42, 20	syl6breq 3376	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> (A^N) <_ 1)
44	43	ex 402	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1))
45	44	3expia 1069	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (A <_ 1 -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1)))
46		opreq1 4889	. . . . . . . . 9 |- (0 = A -> (0^N) = (A^N))
47	46	breq1d 3348	. . . . . . . 8 |- (0 = A -> ((0^N) <_ 1 <-> (A^N) <_ 1))
48		elnn0 7310	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
49		0exp 7832	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. NN -> (0^N) = 0)
50	1, 14, 15	ltleii 6756	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 1
51	49, 50	syl6eqbr 3374	. . . . . . . . . 10 |- (N e. NN -> (0^N) <_ 1)
52		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . 12 |- (N = 0 -> (0^N) = (0^0))
53		0cn 6481	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. CC
54		exp0 7814	. . . . . . . . . . . . 13 |- (0 e. CC -> (0^0) = 1)
55	53, 54	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- (0^0) = 1
56	52, 55	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . 11 |- (N = 0 -> (0^N) = 1)
57	14	leidi 6790	. . . . . . . . . . 11 |- 1 <_ 1
58	56, 57	syl6eqbr 3374	. . . . . . . . . 10 |- (N = 0 -> (0^N) <_ 1)
59	51, 58	jaoi 368	. . . . . . . . 9 |- ((N e. NN \/ N = 0) -> (0^N) <_ 1)
60	48, 59	sylbi 216	. . . . . . . 8 |- (N e. NN0 -> (0^N) <_ 1)
61	47, 60	syl5bi 225	. . . . . . 7 |- (0 = A -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1))
62	61	a1d 15	. . . . . 6 |- (0 = A -> (A <_ 1 -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1)))
63	62	adantl 424	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 = A) -> (A <_ 1 -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1)))
64	45, 63	jaodan 471	. . . 4 |- ((A e. RR /\ (0 < A \/ 0 = A)) -> (A <_ 1 -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1)))
65	4, 64	syldan 516	. . 3 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (A <_ 1 -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1)))
66	65	3impia 1064	. 2 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1) -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1))
67	66	imp 377	1 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> (A^N) <_ 1)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450   < clt 6653  ^cexp 7811

This theorem is referenced by:  ef01tllem2 8646  ef01tllem2OLD 8647

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812

Copyright terms: Public domain