MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expgt0 Structured version   Unicode version

Theorem expgt0 12255
Description: Nonnegative integer exponentiation with a positive mantissa is positive. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expgt0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  0  <  A )  ->  0  <  ( A ^ N
) )

Proof of Theorem expgt0
StepHypRef Expression
1 elrp 11255 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
2 rpexpcl 12241 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
32rpgt0d 11295 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  <  ( A ^ N
) )
41, 3sylanbr 475 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  <  ( A ^ N ) )
543impa 1200 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  <  ( A ^ N
) )
653com23 1211 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  0  <  A )  ->  0  <  ( A ^ N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1872   class class class wbr 4366  (class class class)co 6249   RRcr 9489   0cc0 9490    < clt 9626   ZZcz 10888   RR+crp 11253   ^cexp 12222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-seq 12164  df-exp 12223
This theorem is referenced by:  expnlbnd  12352  expmulnbnd  12354  geomulcvg  13875  sin01gt0  14187  cos01gt0  14188  radcnvlem1  23310  ftalem1  23939  padicabv  24410  ostth2lem3  24415  ostth3  24418  omssubadd  29080  omssubaddOLD  29084  stoweidlem1  37744  expnegico01  39908  fldivexpfllog2  39969  fllog2  39972  dignnld  40007
  Copyright terms: Public domain W3C validator