MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expghm Structured version   Unicode version

Theorem expghm 17928
Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
expghm.m  |-  M  =  (mulGrp ` fld )
expghm.u  |-  U  =  ( Ms  ( CC  \  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
expghm  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) )  e.  (ring  GrpHom  U ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    U( x)    M( x)

Proof of Theorem expghm
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expclzlem 11894 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A ^ x )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
213expa 1187 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A ^
x )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) )  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^
x ) )
42, 3fmptd 5872 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) : ZZ --> ( CC 
\  { 0 } ) )
5 expaddz 11913 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( A ^ (
y  +  z ) )  =  ( ( A ^ y )  x.  ( A ^
z ) ) )
6 zaddcl 10690 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( y  +  z )  e.  ZZ )
76adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( y  +  z )  e.  ZZ )
8 oveq2 6104 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  ( A ^ x )  =  ( A ^ (
y  +  z ) ) )
9 ovex 6121 . . . . . 6  |-  ( A ^ ( y  +  z ) )  e. 
_V
108, 3, 9fvmpt 5779 . . . . 5  |-  ( ( y  +  z )  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `  ( y  +  z ) )  =  ( A ^
( y  +  z ) ) )
117, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^
x ) ) `  ( y  +  z ) )  =  ( A ^ ( y  +  z ) ) )
12 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A ^ x )  =  ( A ^ y
) )
13 ovex 6121 . . . . . . 7  |-  ( A ^ y )  e. 
_V
1412, 3, 13fvmpt 5779 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `  y )  =  ( A ^
y ) )
15 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( A ^ x )  =  ( A ^ z
) )
16 ovex 6121 . . . . . . 7  |-  ( A ^ z )  e. 
_V
1715, 3, 16fvmpt 5779 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `  z )  =  ( A ^
z ) )
1814, 17oveqan12d 6115 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  x.  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^
x ) ) `  z ) )  =  ( ( A ^
y )  x.  ( A ^ z ) ) )
1918adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  x.  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^
x ) ) `  z ) )  =  ( ( A ^
y )  x.  ( A ^ z ) ) )
205, 11, 193eqtr4d 2485 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^
x ) ) `  ( y  +  z ) )  =  ( ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^
x ) ) `  y )  x.  (
( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `  z ) ) )
2120ralrimivva 2813 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  A. y  e.  ZZ  A. z  e.  ZZ  (
( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `  ( y  +  z ) )  =  ( ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `  y )  x.  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `
 z ) ) )
22 zringgrp 17893 . . . 4  |-ring  e.  Grp
23 cnrng 17843 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
24 cnfldbas 17827 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( Base ` fld )
25 cnfld0 17845 . . . . . . 7  |-  0  =  ( 0g ` fld )
26 cndrng 17850 . . . . . . 7  |-fld  e.  DivRing
2724, 25, 26drngui 16843 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
28 expghm.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( Ms  ( CC  \  { 0 } ) )
29 expghm.m . . . . . . . 8  |-  M  =  (mulGrp ` fld )
3029oveq1i 6106 . . . . . . 7  |-  ( Ms  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
3128, 30eqtri 2463 . . . . . 6  |-  U  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
3227, 31unitgrp 16764 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->  U  e.  Grp )
3323, 32ax-mp 5 . . . 4  |-  U  e. 
Grp
3422, 33pm3.2i 455 . . 3  |-  (ring  e.  Grp  /\  U  e.  Grp )
35 zringbas 17894 . . . 4  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
36 difss 3488 . . . . 5  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
3729, 24mgpbas 16602 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base `  M )
3828, 37ressbas2 14234 . . . . 5  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  C_  CC  ->  ( CC  \  {
0 } )  =  ( Base `  U
) )
3936, 38ax-mp 5 . . . 4  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  ( Base `  U )
40 zringplusg 17895 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` ring )
41 fvex 5706 . . . . . 6  |-  (Unit ` fld )  e.  _V
4227, 41eqeltri 2513 . . . . 5  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  _V
43 cnfldmul 17829 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` fld )
4429, 43mgpplusg 16600 . . . . . 6  |-  x.  =  ( +g  `  M )
4528, 44ressplusg 14285 . . . . 5  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  e.  _V  ->  x.  =  ( +g  `  U ) )
4642, 45ax-mp 5 . . . 4  |-  x.  =  ( +g  `  U )
4735, 39, 40, 46isghm 15752 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) )  e.  (ring  GrpHom  U )  <-> 
( (ring  e.  Grp  /\  U  e.  Grp )  /\  (
( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) : ZZ --> ( CC 
\  { 0 } )  /\  A. y  e.  ZZ  A. z  e.  ZZ  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `
 ( y  +  z ) )  =  ( ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  x.  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^
x ) ) `  z ) ) ) ) )
4834, 47mpbiran 909 . 2  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) )  e.  (ring  GrpHom  U )  <-> 
( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^
x ) ) : ZZ --> ( CC  \  { 0 } )  /\  A. y  e.  ZZ  A. z  e.  ZZ  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `
 ( y  +  z ) )  =  ( ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  x.  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^
x ) ) `  z ) ) ) )
494, 21, 48sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) )  e.  (ring  GrpHom  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   _Vcvv 2977    \ cdif 3330    C_ wss 3333   {csn 3882    e. cmpt 4355   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   0cc0 9287    + caddc 9290    x. cmul 9292   ZZcz 10651   ^cexp 11870   Basecbs 14179   ↾s cress 14180   +g cplusg 14243   Grpcgrp 15415    GrpHom cghm 15749  mulGrpcmgp 16596   Ringcrg 16650  Unitcui 16736  ℂfldccnfld 17823  ℤringzring 17888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-fz 11443  df-seq 11812  df-exp 11871  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-subg 15683  df-ghm 15750  df-cmn 16284  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-dvr 16780  df-drng 16839  df-subrg 16868  df-cnfld 17824  df-zring 17889
This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  22696
  Copyright terms: Public domain W3C validator