MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expghm Structured version   Unicode version

Theorem expghm 18507
Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
expghm.m  |-  M  =  (mulGrp ` fld )
expghm.u  |-  U  =  ( Ms  ( CC  \  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
expghm  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) )  e.  (ring  GrpHom  U ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    U( x)    M( x)

Proof of Theorem expghm
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expclzlem 12172 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A ^ x )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
213expa 1197 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A ^
x )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) )  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^
x ) )
42, 3fmptd 6040 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) : ZZ --> ( CC 
\  { 0 } ) )
5 expaddz 12192 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( A ^ (
y  +  z ) )  =  ( ( A ^ y )  x.  ( A ^
z ) ) )
6 zaddcl 10911 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( y  +  z )  e.  ZZ )
76adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( y  +  z )  e.  ZZ )
8 oveq2 6289 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  z )  ->  ( A ^ x )  =  ( A ^ (
y  +  z ) ) )
9 ovex 6309 . . . . . 6  |-  ( A ^ ( y  +  z ) )  e. 
_V
108, 3, 9fvmpt 5941 . . . . 5  |-  ( ( y  +  z )  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `  ( y  +  z ) )  =  ( A ^
( y  +  z ) ) )
117, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^
x ) ) `  ( y  +  z ) )  =  ( A ^ ( y  +  z ) ) )
12 oveq2 6289 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A ^ x )  =  ( A ^ y
) )
13 ovex 6309 . . . . . . 7  |-  ( A ^ y )  e. 
_V
1412, 3, 13fvmpt 5941 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `  y )  =  ( A ^
y ) )
15 oveq2 6289 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( A ^ x )  =  ( A ^ z
) )
16 ovex 6309 . . . . . . 7  |-  ( A ^ z )  e. 
_V
1715, 3, 16fvmpt 5941 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `  z )  =  ( A ^
z ) )
1814, 17oveqan12d 6300 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  x.  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^
x ) ) `  z ) )  =  ( ( A ^
y )  x.  ( A ^ z ) ) )
1918adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  x.  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^
x ) ) `  z ) )  =  ( ( A ^
y )  x.  ( A ^ z ) ) )
205, 11, 193eqtr4d 2494 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^
x ) ) `  ( y  +  z ) )  =  ( ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^
x ) ) `  y )  x.  (
( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `  z ) ) )
2120ralrimivva 2864 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  A. y  e.  ZZ  A. z  e.  ZZ  (
( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `  ( y  +  z ) )  =  ( ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `  y )  x.  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `
 z ) ) )
22 zringgrp 18472 . . . 4  |-ring  e.  Grp
23 cnring 18419 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
24 cnfldbas 18403 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( Base ` fld )
25 cnfld0 18421 . . . . . . 7  |-  0  =  ( 0g ` fld )
26 cndrng 18426 . . . . . . 7  |-fld  e.  DivRing
2724, 25, 26drngui 17381 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
28 expghm.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( Ms  ( CC  \  { 0 } ) )
29 expghm.m . . . . . . . 8  |-  M  =  (mulGrp ` fld )
3029oveq1i 6291 . . . . . . 7  |-  ( Ms  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
3128, 30eqtri 2472 . . . . . 6  |-  U  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
3227, 31unitgrp 17295 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->  U  e.  Grp )
3323, 32ax-mp 5 . . . 4  |-  U  e. 
Grp
3422, 33pm3.2i 455 . . 3  |-  (ring  e.  Grp  /\  U  e.  Grp )
35 zringbas 18473 . . . 4  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
36 difss 3616 . . . . 5  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
3729, 24mgpbas 17126 . . . . . 6  |-  CC  =  ( Base `  M )
3828, 37ressbas2 14670 . . . . 5  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  C_  CC  ->  ( CC  \  {
0 } )  =  ( Base `  U
) )
3936, 38ax-mp 5 . . . 4  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  ( Base `  U )
40 zringplusg 18474 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` ring )
41 fvex 5866 . . . . . 6  |-  (Unit ` fld )  e.  _V
4227, 41eqeltri 2527 . . . . 5  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  _V
43 cnfldmul 18405 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` fld )
4429, 43mgpplusg 17124 . . . . . 6  |-  x.  =  ( +g  `  M )
4528, 44ressplusg 14721 . . . . 5  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  e.  _V  ->  x.  =  ( +g  `  U ) )
4642, 45ax-mp 5 . . . 4  |-  x.  =  ( +g  `  U )
4735, 39, 40, 46isghm 16246 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) )  e.  (ring  GrpHom  U )  <-> 
( (ring  e.  Grp  /\  U  e.  Grp )  /\  (
( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) : ZZ --> ( CC 
\  { 0 } )  /\  A. y  e.  ZZ  A. z  e.  ZZ  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `
 ( y  +  z ) )  =  ( ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  x.  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^
x ) ) `  z ) ) ) ) )
4834, 47mpbiran 918 . 2  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) )  e.  (ring  GrpHom  U )  <-> 
( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^
x ) ) : ZZ --> ( CC  \  { 0 } )  /\  A. y  e.  ZZ  A. z  e.  ZZ  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `
 ( y  +  z ) )  =  ( ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) ) `
 y )  x.  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( A ^
x ) ) `  z ) ) ) )
494, 21, 48sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( x  e.  ZZ  |->  ( A ^ x ) )  e.  (ring  GrpHom  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4014    |-> cmpt 4495   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495    + caddc 9498    x. cmul 9500   ZZcz 10871   ^cexp 12148   Basecbs 14614   ↾s cress 14615   +g cplusg 14679   Grpcgrp 16032    GrpHom cghm 16243  mulGrpcmgp 17120   Ringcrg 17177  Unitcui 17267  ℂfldccnfld 18399  ℤringzring 18467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11684  df-seq 12090  df-exp 12149  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-0g 14821  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-subg 16177  df-ghm 16244  df-cmn 16779  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-cring 17180  df-oppr 17251  df-dvdsr 17269  df-unit 17270  df-invr 17300  df-dvr 17311  df-drng 17377  df-subrg 17406  df-cnfld 18400  df-zring 18468
This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  23605
  Copyright terms: Public domain W3C validator