Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expghm Structured version   Unicode version

Theorem expghm 18507
 Description: Exponentiation is a group homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
expghm.m mulGrpfld
expghm.u s
Assertion
Ref Expression
expghm ring
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem expghm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expclzlem 12172 . . . 4
213expa 1197 . . 3
3 eqid 2443 . . 3
42, 3fmptd 6040 . 2
5 expaddz 12192 . . . 4
6 zaddcl 10911 . . . . . 6
76adantl 466 . . . . 5
8 oveq2 6289 . . . . . 6
9 ovex 6309 . . . . . 6
108, 3, 9fvmpt 5941 . . . . 5
117, 10syl 16 . . . 4
12 oveq2 6289 . . . . . . 7
13 ovex 6309 . . . . . . 7
1412, 3, 13fvmpt 5941 . . . . . 6
15 oveq2 6289 . . . . . . 7
16 ovex 6309 . . . . . . 7
1715, 3, 16fvmpt 5941 . . . . . 6
1814, 17oveqan12d 6300 . . . . 5
1918adantl 466 . . . 4
205, 11, 193eqtr4d 2494 . . 3
2120ralrimivva 2864 . 2
22 zringgrp 18472 . . . 4 ring
23 cnring 18419 . . . . 5 fld
24 cnfldbas 18403 . . . . . . 7 fld
25 cnfld0 18421 . . . . . . 7 fld
26 cndrng 18426 . . . . . . 7 fld
2724, 25, 26drngui 17381 . . . . . 6 Unitfld
28 expghm.u . . . . . . 7 s
29 expghm.m . . . . . . . 8 mulGrpfld
3029oveq1i 6291 . . . . . . 7 s mulGrpflds
3128, 30eqtri 2472 . . . . . 6 mulGrpflds
3227, 31unitgrp 17295 . . . . 5 fld
3323, 32ax-mp 5 . . . 4
3422, 33pm3.2i 455 . . 3 ring
35 zringbas 18473 . . . 4 ring
36 difss 3616 . . . . 5
3729, 24mgpbas 17126 . . . . . 6
3828, 37ressbas2 14670 . . . . 5
3936, 38ax-mp 5 . . . 4
40 zringplusg 18474 . . . 4 ring
41 fvex 5866 . . . . . 6 Unitfld
4227, 41eqeltri 2527 . . . . 5
43 cnfldmul 18405 . . . . . . 7 fld
4429, 43mgpplusg 17124 . . . . . 6
4528, 44ressplusg 14721 . . . . 5
4642, 45ax-mp 5 . . . 4
4735, 39, 40, 46isghm 16246 . . 3 ring ring
4834, 47mpbiran 918 . 2 ring
494, 21, 48sylanbrc 664 1 ring
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638  wral 2793  cvv 3095   cdif 3458   wss 3461  csn 4014   cmpt 4495  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281  cc 9493  cc0 9495   caddc 9498   cmul 9500  cz 10871  cexp 12148  cbs 14614   ↾s cress 14615   cplusg 14679  cgrp 16032   cghm 16243  mulGrpcmgp 17120  crg 17177  Unitcui 17267  ℂfldccnfld 18399  ℤringzring 18467 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-addf 9574  ax-mulf 9575 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11684  df-seq 12090  df-exp 12149  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-0g 14821  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-subg 16177  df-ghm 16244  df-cmn 16779  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-cring 17180  df-oppr 17251  df-dvdsr 17269  df-unit 17270  df-invr 17300  df-dvr 17311  df-drng 17377  df-subrg 17406  df-cnfld 18400  df-zring 18468 This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  23605
 Copyright terms: Public domain W3C validator