Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expge1 Structured version   Unicode version

Theorem expge1 12021
 Description: Nonnegative integer exponentiation with a mantissa greater than or equal to 1 is greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expge1

Proof of Theorem expge1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4407 . . . . . 6
21elrab 3224 . . . . 5
3 ssrab2 3548 . . . . . . 7
4 ax-resscn 9453 . . . . . . 7
53, 4sstri 3476 . . . . . 6
6 breq2 4407 . . . . . . . 8
76elrab 3224 . . . . . . 7
8 breq2 4407 . . . . . . . 8
98elrab 3224 . . . . . . 7
10 remulcl 9481 . . . . . . . . 9
1110ad2ant2r 746 . . . . . . . 8
12 1t1e1 10583 . . . . . . . . . 10
13 1re 9499 . . . . . . . . . . . . . 14
14 0le1 9977 . . . . . . . . . . . . . 14
1513, 14pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . 13
1615jctl 541 . . . . . . . . . . . 12
1715jctl 541 . . . . . . . . . . . 12
18 lemul12a 10301 . . . . . . . . . . . 12
1916, 17, 18syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
2019imp 429 . . . . . . . . . 10
2112, 20syl5eqbrr 4437 . . . . . . . . 9
2221an4s 822 . . . . . . . 8
23 breq2 4407 . . . . . . . . 9
2423elrab 3224 . . . . . . . 8
2511, 22, 24sylanbrc 664 . . . . . . 7
267, 9, 25syl2anb 479 . . . . . 6
27 1le1 10078 . . . . . . 7
28 breq2 4407 . . . . . . . 8
2928elrab 3224 . . . . . . 7
3013, 27, 29mpbir2an 911 . . . . . 6
315, 26, 30expcllem 11996 . . . . 5
322, 31sylanbr 473 . . . 4
33323impa 1183 . . 3
34333com23 1194 . 2
35 breq2 4407 . . . 4
3635elrab 3224 . . 3
3736simprbi 464 . 2
3834, 37syl 16 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 965   wcel 1758  crab 2803   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203  cc 9394  cr 9395  cc0 9396  c1 9397   cmul 9401   cle 9533  cn0 10693  cexp 11985 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-seq 11927  df-exp 11986 This theorem is referenced by:  expgt1  12022  leexp2a  12039  expge1d  12147
 Copyright terms: Public domain W3C validator