MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expge1 Structured version   Unicode version

Theorem expge1 12183
Description: Nonnegative integer exponentiation with a mantissa greater than or equal to 1 is greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expge1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  1  <_  A )  ->  1  <_  ( A ^ N
) )

Proof of Theorem expge1
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4457 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  (
1  <_  z  <->  1  <_  A ) )
21elrab 3266 . . . . 5  |-  ( A  e.  { z  e.  RR  |  1  <_ 
z }  <->  ( A  e.  RR  /\  1  <_  A ) )
3 ssrab2 3590 . . . . . . 7  |-  { z  e.  RR  |  1  <_  z }  C_  RR
4 ax-resscn 9561 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
53, 4sstri 3518 . . . . . 6  |-  { z  e.  RR  |  1  <_  z }  C_  CC
6 breq2 4457 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
1  <_  z  <->  1  <_  x ) )
76elrab 3266 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { z  e.  RR  |  1  <_ 
z }  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
8 breq2 4457 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
1  <_  z  <->  1  <_  y ) )
98elrab 3266 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { z  e.  RR  |  1  <_ 
z }  <->  ( y  e.  RR  /\  1  <_ 
y ) )
10 remulcl 9589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
1110ad2ant2r 746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  ( x  x.  y )  e.  RR )
12 1t1e1 10695 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
13 1re 9607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
14 0le1 10088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  1
1513, 14pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )
1615jctl 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  x  e.  RR ) )
1715jctl 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  y  e.  RR ) )
18 lemul12a 10412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_ 
1 )  /\  x  e.  RR )  /\  (
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  y  e.  RR ) )  ->  (
( 1  <_  x  /\  1  <_  y )  ->  ( 1  x.  1 )  <_  (
x  x.  y ) ) )
1916, 17, 18syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( 1  <_  x  /\  1  <_  y
)  ->  ( 1  x.  1 )  <_ 
( x  x.  y
) ) )
2019imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( 1  <_  x  /\  1  <_  y
) )  ->  (
1  x.  1 )  <_  ( x  x.  y ) )
2112, 20syl5eqbrr 4487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  ( 1  <_  x  /\  1  <_  y
) )  ->  1  <_  ( x  x.  y
) )
2221an4s 824 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  1  <_  ( x  x.  y ) )
23 breq2 4457 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  x.  y )  ->  (
1  <_  z  <->  1  <_  ( x  x.  y ) ) )
2423elrab 3266 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  x.  y )  e.  { z  e.  RR  |  1  <_ 
z }  <->  ( (
x  x.  y )  e.  RR  /\  1  <_  ( x  x.  y
) ) )
2511, 22, 24sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  ( x  x.  y )  e.  {
z  e.  RR  | 
1  <_  z }
)
267, 9, 25syl2anb 479 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  RR  |  1  <_  z }  /\  y  e.  { z  e.  RR  |  1  <_ 
z } )  -> 
( x  x.  y
)  e.  { z  e.  RR  |  1  <_  z } )
27 1le1 10189 . . . . . . 7  |-  1  <_  1
28 breq2 4457 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
1  <_  z  <->  1  <_  1 ) )
2928elrab 3266 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { z  e.  RR  |  1  <_ 
z }  <->  ( 1  e.  RR  /\  1  <_  1 ) )
3013, 27, 29mpbir2an 918 . . . . . 6  |-  1  e.  { z  e.  RR  |  1  <_  z }
315, 26, 30expcllem 12157 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  { z  e.  RR  |  1  <_  z }  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  { z  e.  RR  |  1  <_  z } )
322, 31sylanbr 473 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A ^ N )  e.  {
z  e.  RR  | 
1  <_  z }
)
33323impa 1191 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A ^ N )  e. 
{ z  e.  RR  |  1  <_  z } )
34333com23 1202 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  1  <_  A )  ->  ( A ^ N )  e. 
{ z  e.  RR  |  1  <_  z } )
35 breq2 4457 . . . 4  |-  ( z  =  ( A ^ N )  ->  (
1  <_  z  <->  1  <_  ( A ^ N ) ) )
3635elrab 3266 . . 3  |-  ( ( A ^ N )  e.  { z  e.  RR  |  1  <_ 
z }  <->  ( ( A ^ N )  e.  RR  /\  1  <_ 
( A ^ N
) ) )
3736simprbi 464 . 2  |-  ( ( A ^ N )  e.  { z  e.  RR  |  1  <_ 
z }  ->  1  <_  ( A ^ N
) )
3834, 37syl 16 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  1  <_  A )  ->  1  <_  ( A ^ N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   {crab 2821   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    x. cmul 9509    <_ cle 9641   NN0cn0 10807   ^cexp 12146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-seq 12088  df-exp 12147
This theorem is referenced by:  expgt1  12184  leexp2a  12201  expge1d  12309
  Copyright terms: Public domain W3C validator