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Theorem expdiophlem1 30938
Description: Lemma for expdioph 30940. Fully expanded expression for exponential. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
expdiophlem1  |-  ( C  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  C  =  ( A ^ B ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, d,
e, f    B, d,
e, f    C, d,
e, f

Proof of Theorem expdiophlem1
StepHypRef Expression
1 2re 10611 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
21a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
3 nnre 10549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
4 peano2re 9756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
53, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
65adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
7 nnz 10892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
87peano2zd 10977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  +  1 )  e.  ZZ )
9 frmy 30825 . . . . . . . . . . . . 13  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
109fovcl 6392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( B  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ZZ )
118, 10sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  ZZ )
1211zred 10974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  RR )
13 elnnuz 11126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  <->  B  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
14 eluzp1p1 11115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
15 df-2 10600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1615fveq2i 5859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
1714, 16syl6eleqr 2542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
1813, 17sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
19 eluzle 11102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  ( B  +  1 ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  2  <_  ( B  +  1 ) )
2120adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  2  <_  ( B  +  1 ) )
22 nnnn0 10808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  NN0 )
23 peano2nn0 10842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( B  +  1 )  e. 
NN0 )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  +  1 )  e.  NN0 )
25 rmygeid 30877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( B  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( B  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )
2624, 25sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )
272, 6, 12, 21, 26letrd 9742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  2  <_  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )
28 2z 10902 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
29 eluz 11103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  2  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) )
3028, 11, 29sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  2  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) )
3127, 30mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
3231adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
33 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
34 simprr 757 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  B  e.  NN )
3512leidd 10125 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )
3635adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )
37 jm3.1 30937 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  ->  ( A ^ B )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
3832, 33, 34, 36, 37syl31anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( A ^ B )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
3938eqeq2d 2457 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( C  =  ( A ^ B )  <->  C  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) ) ) )
407adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
41 frmx 30824 . . . . . . . . . . 11  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
4241fovcl 6392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  e.  NN0 )
4331, 40, 42syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  e.  NN0 )
4443nn0zd 10972 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  e.  ZZ )
45 eluzelz 11099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
4645adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
4711, 46zsubcld 10979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  e.  ZZ )
489fovcl 6392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  e.  ZZ )
4931, 40, 48syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B )  e.  ZZ )
5047, 49zmulcld 10980 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) )  e.  ZZ )
5144, 50zsubcld 10979 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) )  e.  ZZ )
5251adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A
)  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  e.  ZZ )
5332, 33, 34, 36jm3.1lem3 30936 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  e.  NN )
54 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  C  e.  NN0 )
55 divalgmodcl 30904 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  e.  NN  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( C  =  ( (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 ) )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
5652, 53, 54, 55syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( C  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A
)  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) )  <->  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
5739, 56bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( C  =  ( A ^ B )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
58 rmynn0 30870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( B  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e. 
NN0 )
5924, 58sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  NN0 )
6059adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  NN0 )
61 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( d Yrm  B )  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) )
6261eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( e  =  ( d Yrm  B )  <->  e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )
63 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( d Xrm  B )  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B ) )
6463eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( f  =  ( d Xrm  B )  <->  f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B ) ) )
65 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  d )  =  ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) )
6665oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( 2  x.  d )  x.  A )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A ) )
6766oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) ) )
6867oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 ) )
6968breq2d 4449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  <-> 
C  <  ( (
( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
70 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( d  -  A )  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A ) )
7170oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( d  -  A )  x.  e )  =  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )
7271oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  =  ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  e
) ) )
7372oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C )  =  ( ( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) )
7468, 73breq12d 4450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
)  <->  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) )
7569, 74anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )
7664, 75anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) )  <->  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )
7776rexbidv 2954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )
7862, 77anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
7978rexbidv 2954 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( E. e  e.  NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) )  <->  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
8079ceqsrexv 3219 . . . . . . . 8  |-  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  NN0  ->  ( E. d  e. 
NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  E. e  e.  NN0  (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
8160, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. d  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. e  e. 
NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
8222ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  B  e.  NN0 )
83 rmynn0 30870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN0 )  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  e.  NN0 )
8432, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  e. 
NN0 )
85 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e )  =  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )
8685oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  e
) )  =  ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) ) )
8786oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C )  =  ( ( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )
8887breq2d 4449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C )  <->  ( (
( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A
)  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) )
8988anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( C  <  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
9089anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( f  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) )  <->  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) ) )
9190rexbidv 2954 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  ( E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) ) )
9291ceqsrexv 3219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B )  e.  NN0  ->  ( E. e  e.  NN0  (
e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) ) )
9384, 92syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. e  e.  NN0  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) ) )
947ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  B  e.  ZZ )
9532, 94, 42syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  e. 
NN0 )
96 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  ->  (
f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) ) )
9796oveq1d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  ->  (
( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )
9897breq2d 4449 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  ->  (
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C )  <->  ( (
( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A
)  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) )
9998anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  ->  (
( C  <  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
10099ceqsrexv 3219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  e.  NN0  ->  ( E. f  e.  NN0  (
f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) )  <->  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
10195, 100syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) )  <->  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
10281, 93, 1013bitrrd 280 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )  <->  E. d  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
103 r19.42v 2998 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. f  e.  NN0  (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. f  e. 
NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )
104 r19.42v 2998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f  e.  NN0  (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )
105104anbi2i 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. f  e.  NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
106103, 105bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  e.  NN0  (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )
107106rexbii 2945 . . . . . . . 8  |-  ( E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. e  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
108 r19.42v 2998 . . . . . . . 8  |-  ( E. e  e.  NN0  (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. e  e. 
NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )
109107, 108bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  E. e  e.  NN0  (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
110109rexbii 2945 . . . . . 6  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
111102, 110syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) )
112 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
11332, 112syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  d  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
114113imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  ->  d  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
115 ibar 504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( e  =  ( d Yrm  B )  <-> 
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) ) ) )
116 ibar 504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( f  =  ( d Xrm  B )  <-> 
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) ) ) )
117116anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )
118115, 117anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )
119114, 118syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  ->  ( ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
120119pm5.32da 641 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
121 ibar 504 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <-> 
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) ) )
122121ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <-> 
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) ) )
123122anbi1d 704 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
124120, 123bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) )
125124rexbidv 2954 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. f  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
1261252rexbidv 2961 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
127111, 126bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
12857, 127bitrd 253 . . 3  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( C  =  ( A ^ B )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e. 
NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
129128pm5.32da 641 . 2  |-  ( C  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  C  =  ( A ^ B ) )  <-> 
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. d  e. 
NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) ) )
130 r19.42v 2998 . . . 4  |-  ( E. f  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) )
1311302rexbii 2946 . . 3  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
132 r19.42v 2998 . . . . 5  |-  ( E. e  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
133132rexbii 2945 . . . 4  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. e  e. 
NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
134 r19.42v 2998 . . . 4  |-  ( E. d  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
135133, 134bitri 249 . . 3  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  E. d  e.  NN0  E. e  e. 
NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
136131, 135bitri 249 . 2  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
137129, 136syl6bbr 263 1  |-  ( C  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  C  =  ( A ^ B ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   E.wrex 2794   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810   NNcn 10542   2c2 10591   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090    mod cmo 11975   ^cexp 12145    || cdvds 13863   Xrm crmx 30811   Yrm crmy 30812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-ioc 11543  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-fac 12333  df-bc 12360  df-hash 12385  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684  df-pi 13686  df-dvds 13864  df-gcd 14022  df-numer 14145  df-denom 14146  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-xrs 14776  df-qtop 14781  df-imas 14782  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-nei 19472  df-lp 19510  df-perf 19511  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-haus 19689  df-tx 19936  df-hmeo 20129  df-fil 20220  df-fm 20312  df-flim 20313  df-flf 20314  df-xms 20696  df-ms 20697  df-tms 20698  df-cncf 21255  df-limc 22143  df-dv 22144  df-log 22816  df-squarenn 30752  df-pell1qr 30753  df-pell14qr 30754  df-pell1234qr 30755  df-pellfund 30756  df-rmx 30813  df-rmy 30814
This theorem is referenced by:  expdiophlem2  30939
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