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Theorem expdiophlem1 29368
Description: Lemma for expdioph 29370. Fully expanded expression for exponential. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
expdiophlem1  |-  ( C  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  C  =  ( A ^ B ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, d,
e, f    B, d,
e, f    C, d,
e, f

Proof of Theorem expdiophlem1
StepHypRef Expression
1 2re 10390 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
21a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
3 nnre 10328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
4 peano2re 9541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
53, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
65adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
7 nnz 10667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
87peano2zd 10749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  +  1 )  e.  ZZ )
9 frmy 29253 . . . . . . . . . . . . 13  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
109fovcl 6194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( B  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ZZ )
118, 10sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  ZZ )
1211zred 10746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  RR )
13 elnnuz 10896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  <->  B  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
14 eluzp1p1 10885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
15 df-2 10379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1615fveq2i 5693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
1714, 16syl6eleqr 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
1813, 17sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
19 eluzle 10872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  ( B  +  1 ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  2  <_  ( B  +  1 ) )
2120adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  2  <_  ( B  +  1 ) )
22 nnnn0 10585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  NN0 )
23 peano2nn0 10619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( B  +  1 )  e. 
NN0 )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  +  1 )  e.  NN0 )
25 rmygeid 29305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( B  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( B  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )
2624, 25sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  +  1 )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )
272, 6, 12, 21, 26letrd 9527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  2  <_  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )
28 2z 10677 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
29 eluz 10873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  2  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) )
3028, 11, 29sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  2  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) )
3127, 30mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
3231adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
33 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
34 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  B  e.  NN )
3512leidd 9905 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )
3635adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )
37 jm3.1 29367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  ->  ( A ^ B )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
3832, 33, 34, 36, 37syl31anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( A ^ B )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
3938eqeq2d 2453 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( C  =  ( A ^ B )  <->  C  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) ) ) )
407adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
41 frmx 29252 . . . . . . . . . . 11  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
4241fovcl 6194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  e.  NN0 )
4331, 40, 42syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  e.  NN0 )
4443nn0zd 10744 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  e.  ZZ )
45 eluzelz 10869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
4645adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
4711, 46zsubcld 10751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  e.  ZZ )
489fovcl 6194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  e.  ZZ )
4931, 40, 48syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B )  e.  ZZ )
5047, 49zmulcld 10752 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) )  e.  ZZ )
5144, 50zsubcld 10751 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) )  e.  ZZ )
5251adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A
)  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  e.  ZZ )
5332, 33, 34, 36jm3.1lem3 29366 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  e.  NN )
54 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  C  e.  NN0 )
55 divalgmodcl 29334 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  e.  NN  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( C  =  ( (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 ) )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
5652, 53, 54, 55syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( C  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A
)  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  mod  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) )  <->  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
5739, 56bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( C  =  ( A ^ B )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
58 rmynn0 29298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( B  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e. 
NN0 )
5924, 58sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  NN0 )
6059adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  NN0 )
61 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( d Yrm  B )  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) )
6261eqeq2d 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( e  =  ( d Yrm  B )  <->  e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )
63 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( d Xrm  B )  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B ) )
6463eqeq2d 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( f  =  ( d Xrm  B )  <->  f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B ) ) )
65 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  d )  =  ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) )
6665oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( 2  x.  d )  x.  A )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A ) )
6766oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) ) )
6867oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 ) )
6968breq2d 4303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  <-> 
C  <  ( (
( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) ) )
70 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( d  -  A )  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A ) )
7170oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( d  -  A )  x.  e )  =  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )
7271oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  =  ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  e
) ) )
7372oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C )  =  ( ( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) )
7468, 73breq12d 4304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
)  <->  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) )
7569, 74anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )
7664, 75anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) )  <->  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )
7776rexbidv 2735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )
7862, 77anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
7978rexbidv 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( E. e  e.  NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) )  <->  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
8079ceqsrexv 3092 . . . . . . . 8  |-  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  NN0  ->  ( E. d  e. 
NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  E. e  e.  NN0  (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
8160, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. d  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. e  e. 
NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
8222ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  B  e.  NN0 )
83 rmynn0 29298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN0 )  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  e.  NN0 )
8432, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  e. 
NN0 )
85 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e )  =  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )
8685oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  e
) )  =  ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) ) )
8786oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C )  =  ( ( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )
8887breq2d 4303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C )  <->  ( (
( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A
)  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) )
8988anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( C  <  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
9089anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  (
( f  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) )  <->  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) ) )
9190rexbidv 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  ->  ( E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) ) )
9291ceqsrexv 3092 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B )  e.  NN0  ->  ( E. e  e.  NN0  (
e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) ) )
9384, 92syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. e  e.  NN0  ( e  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) ) )
947ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  B  e.  ZZ )
9532, 94, 42syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  e. 
NN0 )
96 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  ->  (
f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  -  A )  x.  (
( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Yrm  B ) ) ) )
9796oveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  ->  (
( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )
9897breq2d 4303 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  ->  (
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C )  <->  ( (
( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A
)  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) )
9998anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  ->  (
( C  <  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )  <->  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
10099ceqsrexv 3092 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) Xrm  B )  e.  NN0  ->  ( E. f  e.  NN0  (
f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) )  <->  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
10195, 100syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. f  e.  NN0  ( f  =  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) )  <->  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) ) ) )
10281, 93, 1013bitrrd 280 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )  <->  E. d  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
103 r19.42v 2874 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. f  e.  NN0  (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. f  e. 
NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )
104 r19.42v 2874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f  e.  NN0  (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )
105104anbi2i 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. f  e.  NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
106103, 105bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  e.  NN0  (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )
107106rexbii 2739 . . . . . . . 8  |-  ( E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. e  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
108 r19.42v 2874 . . . . . . . 8  |-  ( E. e  e.  NN0  (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. e  e. 
NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )
109107, 108bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  E. e  e.  NN0  (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e.  NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
110109rexbii 2739 . . . . . 6  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  E. e  e.  NN0  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  E. f  e. 
NN0  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
111102, 110syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) )
112 eleq1 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
11332, 112syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  ->  d  e.  (
ZZ>= `  2 ) ) )
114113imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  ->  d  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
115 ibar 504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( e  =  ( d Yrm  B )  <-> 
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) ) ) )
116 ibar 504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( f  =  ( d Xrm  B )  <-> 
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) ) ) )
117116anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )
118115, 117anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )
119114, 118syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  ->  ( ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) )  <->  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )
120119pm5.32da 641 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
121 ibar 504 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <-> 
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) ) )
122121ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  <-> 
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) ) ) )
123122anbi1d 704 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
124120, 123bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( (
d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) )
125124rexbidv 2735 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. f  e.  NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  ( f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
1261252rexbidv 2757 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) )  /\  ( e  =  ( d Yrm  B )  /\  (
f  =  ( d Xrm  B )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
127111, 126bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Xrm  B )  -  ( ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) )  -  A )  x.  ( ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) Yrm  B ) ) )  -  C ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
12857, 127bitrd 253 . . 3  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  NN )
)  ->  ( C  =  ( A ^ B )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e. 
NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
129128pm5.32da 641 . 2  |-  ( C  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  C  =  ( A ^ B ) )  <-> 
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. d  e. 
NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) ) )
130 r19.42v 2874 . . . 4  |-  ( E. f  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) )
1311302rexbii 2741 . . 3  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
132 r19.42v 2874 . . . . 5  |-  ( E. e  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
133132rexbii 2739 . . . 4  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )  <->  E. d  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. e  e. 
NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
134 r19.42v 2874 . . . 4  |-  ( E. d  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
135133, 134bitri 249 . . 3  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  E. d  e.  NN0  E. e  e. 
NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  e  =  (
d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  f  =  (
d Xrm  B ) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A
)  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 ) 
||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
136131, 135bitri 249 . 2  |-  ( E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN )  /\  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e. 
NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  + 
1 ) ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  e  =  ( d Yrm  B ) )  /\  ( ( d  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  f  =  ( d Xrm  B ) )  /\  ( C  < 
( ( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  /\  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  ||  (
( f  -  (
( d  -  A
)  x.  e ) )  -  C ) ) ) ) ) ) )
137129, 136syl6bbr 263 1  |-  ( C  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN )  /\  C  =  ( A ^ B ) )  <->  E. d  e.  NN0  E. e  e.  NN0  E. f  e.  NN0  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  NN )  /\  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  d  =  ( A Yrm  ( B  +  1 ) ) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  e  =  ( d Yrm  B
) )  /\  (
( d  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  f  =  ( d Xrm  B
) )  /\  ( C  <  ( ( ( ( 2  x.  d
)  x.  A )  -  ( A ^
2 ) )  - 
1 )  /\  (
( ( ( 2  x.  d )  x.  A )  -  ( A ^ 2 ) )  -  1 )  ||  ( ( f  -  ( ( d  -  A )  x.  e
) )  -  C
) ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2715   class class class wbr 4291   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   RRcr 9280   1c1 9282    + caddc 9284    x. cmul 9286    < clt 9417    <_ cle 9418    - cmin 9594   NNcn 10321   2c2 10370   NN0cn0 10578   ZZcz 10645   ZZ>=cuz 10860    mod cmo 11707   ^cexp 11864    || cdivides 13534   Xrm crmx 29239   Yrm crmy 29240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359  ax-addf 9360  ax-mulf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-omul 6924  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-fi 7660  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-acn 8111  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-ioo 11303  df-ioc 11304  df-ico 11305  df-icc 11306  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-fl 11641  df-mod 11708  df-seq 11806  df-exp 11865  df-fac 12051  df-bc 12078  df-hash 12103  df-shft 12555  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-limsup 12948  df-clim 12965  df-rlim 12966  df-sum 13163  df-ef 13352  df-sin 13354  df-cos 13355  df-pi 13357  df-dvds 13535  df-gcd 13690  df-numer 13812  df-denom 13813  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-starv 14252  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-unif 14260  df-hom 14261  df-cco 14262  df-rest 14360  df-topn 14361  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-topgen 14381  df-pt 14382  df-prds 14385  df-xrs 14439  df-qtop 14444  df-imas 14445  df-xps 14447  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-mnd 15414  df-submnd 15464  df-mulg 15547  df-cntz 15834  df-cmn 16278  df-psmet 17808  df-xmet 17809  df-met 17810  df-bl 17811  df-mopn 17812  df-fbas 17813  df-fg 17814  df-cnfld 17818  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-topsp 18506  df-cld 18622  df-ntr 18623  df-cls 18624  df-nei 18701  df-lp 18739  df-perf 18740  df-cn 18830  df-cnp 18831  df-haus 18918  df-tx 19134  df-hmeo 19327  df-fil 19418  df-fm 19510  df-flim 19511  df-flf 19512  df-xms 19894  df-ms 19895  df-tms 19896  df-cncf 20453  df-limc 21340  df-dv 21341  df-log 22007  df-squarenn 29180  df-pell1qr 29181  df-pell14qr 29182  df-pell1234qr 29183  df-pellfund 29184  df-rmx 29241  df-rmy 29242
This theorem is referenced by:  expdiophlem2  29369
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