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Theorem expdioph 30941
Description: The exponential function is Diophantine. This result completes and encapsulates our development using Pell equation solution sequences and is sometimes regarded as Matiyasevich's theorem properly. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
expdioph  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) ) }  e.  (Dioph `  3 )

Proof of Theorem expdioph
StepHypRef Expression
1 pm4.42 960 . . . 4  |-  ( ( a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) )  <->  ( (
( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) ^ ( a ` 
2 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  \/  ( ( a `
 3 )  =  ( ( a ` 
1 ) ^ (
a `  2 )
)  /\  -.  (
a `  2 )  e.  NN ) ) )
2 ancom 450 . . . . . 6  |-  ( ( ( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) ^ ( a ` 
2 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( a ` 
2 )  e.  NN  /\  ( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) ^ ( a ` 
2 ) ) ) )
3 elmapi 7442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 )
4 df-2 10601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =  ( 1  +  1 )
5 df-3 10602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  =  ( 2  +  1 )
6 ssid 3508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... 3 )  C_  ( 1 ... 3
)
75, 6jm2.27dlem5 30931 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... 2 )  C_  ( 1 ... 3
)
84, 7jm2.27dlem5 30931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... 1 )  C_  ( 1 ... 3
)
9 1nn 10554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN
109jm2.27dlem3 30929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ( 1 ... 1
)
118, 10sselii 3486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ( 1 ... 3
)
12 ffvelrn 6014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 
/\  1  e.  ( 1 ... 3 ) )  ->  ( a `  1 )  e. 
NN0 )
133, 11, 12sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  1 )  e.  NN0 )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  ->  ( a ` 
1 )  e.  NN0 )
15 elnn0 10804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a `  1 )  e.  NN0  <->  ( ( a `
 1 )  e.  NN  \/  ( a `
 1 )  =  0 ) )
1614, 15sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  ->  ( ( a `
 1 )  e.  NN  \/  ( a `
 1 )  =  0 ) )
17 elnn1uz2 11169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a `  1 )  e.  NN  <->  ( (
a `  1 )  =  1  \/  (
a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
1817biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a `  1 )  e.  NN  ->  (
( a `  1
)  =  1  \/  ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
1918orim1i 517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a `  1
)  e.  NN  \/  ( a `  1
)  =  0 )  ->  ( ( ( a `  1 )  =  1  \/  (
a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  \/  ( a `
 1 )  =  0 ) )
2016, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  ->  ( ( ( a `  1 )  =  1  \/  (
a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  \/  ( a `
 1 )  =  0 ) )
2120biantrurd 508 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  ->  ( ( a `
 3 )  =  ( ( a ` 
1 ) ^ (
a `  2 )
)  <->  ( ( ( ( a `  1
)  =  1  \/  ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  \/  ( a `  1
)  =  0 )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) ) ) )
22 andir 868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( a `
 1 )  =  1  \/  ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  \/  ( a `
 1 )  =  0 )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) ) )  <->  ( (
( ( a ` 
1 )  =  1  \/  ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) )  \/  ( ( a `  1 )  =  0  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) ) ) ) )
23 andir 868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( a ` 
1 )  =  1  \/  ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) )  <->  ( ( ( a `  1 )  =  1  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) ) )  \/  ( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) ^ ( a ` 
2 ) ) ) ) )
2423orbi1i 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( a `
 1 )  =  1  \/  ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( a `  3 )  =  ( ( a ` 
1 ) ^ (
a `  2 )
) )  \/  (
( a `  1
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) ^ ( a ` 
2 ) ) ) )  <->  ( ( ( ( a `  1
)  =  1  /\  ( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) ^ ( a ` 
2 ) ) )  \/  ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) ^ ( a ` 
2 ) ) ) )  \/  ( ( a `  1 )  =  0  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) ) ) ) )
2522, 24bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( a `
 1 )  =  1  \/  ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  \/  ( a `
 1 )  =  0 )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) ) )  <->  ( (
( ( a ` 
1 )  =  1  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) )  \/  ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( a `  3 )  =  ( ( a ` 
1 ) ^ (
a `  2 )
) ) )  \/  ( ( a ` 
1 )  =  0  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) ) ) )
26 nnz 10893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a `  2 )  e.  NN  ->  (
a `  2 )  e.  ZZ )
27 1exp 12177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a `  2 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( a `
 2 ) )  =  1 )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a `  2 )  e.  NN  ->  (
1 ^ ( a `
 2 ) )  =  1 )
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  ->  ( 1 ^ ( a `  2
) )  =  1 )
3029eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  ->  ( ( a `
 3 )  =  ( 1 ^ (
a `  2 )
)  <->  ( a ` 
3 )  =  1 ) )
31 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a `  1 )  =  1  ->  (
( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) )  =  ( 1 ^ ( a `  2
) ) )
3231eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a `  1 )  =  1  ->  (
( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) ^ ( a ` 
2 ) )  <->  ( a `  3 )  =  ( 1 ^ (
a `  2 )
) ) )
3332bibi1d 319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a `  1 )  =  1  ->  (
( ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) )  <-> 
( a `  3
)  =  1 )  <-> 
( ( a ` 
3 )  =  ( 1 ^ ( a `
 2 ) )  <-> 
( a `  3
)  =  1 ) ) )
3430, 33syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  ->  ( ( a `
 1 )  =  1  ->  ( (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) )  <->  ( a `  3 )  =  1 ) ) )
3534pm5.32d 639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  ->  ( ( ( a `  1 )  =  1  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) ) )  <->  ( (
a `  1 )  =  1  /\  (
a `  3 )  =  1 ) ) )
36 iba 503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a `  2 )  e.  NN  ->  (
( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  <->  ( (
a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  2
)  e.  NN ) ) )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  ->  ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  2 )  e.  NN ) ) )
3837anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  ->  ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( a `  3 )  =  ( ( a ` 
1 ) ^ (
a `  2 )
) )  <->  ( (
( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  2 )  e.  NN )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) ) ) ) )
3935, 38orbi12d 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  ->  ( ( ( ( a `  1
)  =  1  /\  ( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) ^ ( a ` 
2 ) ) )  \/  ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) ^ ( a ` 
2 ) ) ) )  <->  ( ( ( a `  1 )  =  1  /\  (
a `  3 )  =  1 )  \/  ( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) ) ) ) )
40 0exp 12183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a `  2 )  e.  NN  ->  (
0 ^ ( a `
 2 ) )  =  0 )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  ->  ( 0 ^ ( a `  2
) )  =  0 )
4241eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  ->  ( ( a `
 3 )  =  ( 0 ^ (
a `  2 )
)  <->  ( a ` 
3 )  =  0 ) )
43 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a `  1 )  =  0  ->  (
( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) )  =  ( 0 ^ ( a `  2
) ) )
4443eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a `  1 )  =  0  ->  (
( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) ^ ( a ` 
2 ) )  <->  ( a `  3 )  =  ( 0 ^ (
a `  2 )
) ) )
4544bibi1d 319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a `  1 )  =  0  ->  (
( ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) )  <-> 
( a `  3
)  =  0 )  <-> 
( ( a ` 
3 )  =  ( 0 ^ ( a `
 2 ) )  <-> 
( a `  3
)  =  0 ) ) )
4642, 45syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  ->  ( ( a `
 1 )  =  0  ->  ( (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) )  <->  ( a `  3 )  =  0 ) ) )
4746pm5.32d 639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  ->  ( ( ( a `  1 )  =  0  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) ) )  <->  ( (
a `  1 )  =  0  /\  (
a `  3 )  =  0 ) ) )
4839, 47orbi12d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( a ` 
1 )  =  1  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) )  \/  ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( a `  3 )  =  ( ( a ` 
1 ) ^ (
a `  2 )
) ) )  \/  ( ( a ` 
1 )  =  0  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) ) )  <->  ( (
( ( a ` 
1 )  =  1  /\  ( a ` 
3 )  =  1 )  \/  ( ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  2 )  e.  NN )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) ) ) )  \/  ( ( a `
 1 )  =  0  /\  ( a `
 3 )  =  0 ) ) ) )
4925, 48syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( a ` 
1 )  =  1  \/  ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )  \/  ( a ` 
1 )  =  0 )  /\  ( a `
 3 )  =  ( ( a ` 
1 ) ^ (
a `  2 )
) )  <->  ( (
( ( a ` 
1 )  =  1  /\  ( a ` 
3 )  =  1 )  \/  ( ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  2 )  e.  NN )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) ) ) )  \/  ( ( a `
 1 )  =  0  /\  ( a `
 3 )  =  0 ) ) ) )
5021, 49bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  ->  ( ( a `
 3 )  =  ( ( a ` 
1 ) ^ (
a `  2 )
)  <->  ( ( ( ( a `  1
)  =  1  /\  ( a `  3
)  =  1 )  \/  ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( a `  2 )  e.  NN )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) ) ) )  \/  ( ( a `
 1 )  =  0  /\  ( a `
 3 )  =  0 ) ) ) )
5150pm5.32da 641 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( ( a ` 
2 )  e.  NN  /\  ( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) ^ ( a ` 
2 ) ) )  <-> 
( ( a ` 
2 )  e.  NN  /\  ( ( ( ( a `  1 )  =  1  /\  (
a `  3 )  =  1 )  \/  ( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) ) )  \/  (
( a `  1
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  0 ) ) ) ) )
522, 51syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) )  /\  ( a ` 
2 )  e.  NN ) 
<->  ( ( a ` 
2 )  e.  NN  /\  ( ( ( ( a `  1 )  =  1  /\  (
a `  3 )  =  1 )  \/  ( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) ) )  \/  (
( a `  1
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  0 ) ) ) ) )
53 ancom 450 . . . . . 6  |-  ( ( ( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) ^ ( a ` 
2 ) )  /\  -.  ( a `  2
)  e.  NN )  <-> 
( -.  ( a `
 2 )  e.  NN  /\  ( a `
 3 )  =  ( ( a ` 
1 ) ^ (
a `  2 )
) ) )
54 2nn 10700 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
5554jm2.27dlem3 30929 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ( 1 ... 2
)
567, 55sselii 3486 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ( 1 ... 3
)
57 ffvelrn 6014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a : ( 1 ... 3 ) --> NN0 
/\  2  e.  ( 1 ... 3 ) )  ->  ( a `  2 )  e. 
NN0 )
583, 56, 57sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  2 )  e.  NN0 )
59 elnn0 10804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a `  2 )  e.  NN0  <->  ( ( a `
 2 )  e.  NN  \/  ( a `
 2 )  =  0 ) )
60 pm2.53 373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a `  2
)  e.  NN  \/  ( a `  2
)  =  0 )  ->  ( -.  (
a `  2 )  e.  NN  ->  ( a `  2 )  =  0 ) )
6159, 60sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a `  2 )  e.  NN0  ->  ( -.  ( a `  2
)  e.  NN  ->  ( a `  2 )  =  0 ) )
62 0nnn 10574 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  0  e.  NN
63 eleq1 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a `  2 )  =  0  ->  (
( a `  2
)  e.  NN  <->  0  e.  NN ) )
6462, 63mtbiri 303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a `  2 )  =  0  ->  -.  ( a `  2
)  e.  NN )
6561, 64impbid1 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a `  2 )  e.  NN0  ->  ( -.  ( a `  2
)  e.  NN  <->  ( a `  2 )  =  0 ) )
6658, 65syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  ( -.  ( a `  2
)  e.  NN  <->  ( a `  2 )  =  0 ) )
6766anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( -.  ( a `
 2 )  e.  NN  /\  ( a `
 3 )  =  ( ( a ` 
1 ) ^ (
a `  2 )
) )  <->  ( (
a `  2 )  =  0  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) ) ) ) )
6813nn0cnd 10861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
a `  1 )  e.  CC )
6968exp0d 12286 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  1
) ^ 0 )  =  1 )
7069eqeq2d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) ^ 0 )  <->  ( a `  3 )  =  1 ) )
71 oveq2 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a `  2 )  =  0  ->  (
( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) )  =  ( ( a `
 1 ) ^
0 ) )
7271eqeq2d 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a `  2 )  =  0  ->  (
( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) ^ ( a ` 
2 ) )  <->  ( a `  3 )  =  ( ( a ` 
1 ) ^ 0 ) ) )
7372bibi1d 319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a `  2 )  =  0  ->  (
( ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) )  <-> 
( a `  3
)  =  1 )  <-> 
( ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ 0 )  <-> 
( a `  3
)  =  1 ) ) )
7470, 73syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  2
)  =  0  -> 
( ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) )  <-> 
( a `  3
)  =  1 ) ) )
7574pm5.32d 639 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( ( a ` 
2 )  =  0  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) )  <->  ( ( a `
 2 )  =  0  /\  ( a `
 3 )  =  1 ) ) )
7667, 75bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( -.  ( a `
 2 )  e.  NN  /\  ( a `
 3 )  =  ( ( a ` 
1 ) ^ (
a `  2 )
) )  <->  ( (
a `  2 )  =  0  /\  (
a `  3 )  =  1 ) ) )
7753, 76syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) )  /\  -.  ( a `
 2 )  e.  NN )  <->  ( (
a `  2 )  =  0  /\  (
a `  3 )  =  1 ) ) )
7852, 77orbi12d 709 . . . 4  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( ( ( a `
 3 )  =  ( ( a ` 
1 ) ^ (
a `  2 )
)  /\  ( a `  2 )  e.  NN )  \/  (
( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) ^ ( a ` 
2 ) )  /\  -.  ( a `  2
)  e.  NN ) )  <->  ( ( ( a `  2 )  e.  NN  /\  (
( ( ( a `
 1 )  =  1  /\  ( a `
 3 )  =  1 )  \/  (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) ) )  \/  (
( a `  1
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  0 ) ) )  \/  (
( a `  2
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  1 ) ) ) )
791, 78syl5bb 257 . . 3  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  ->  (
( a `  3
)  =  ( ( a `  1 ) ^ ( a ` 
2 ) )  <->  ( (
( a `  2
)  e.  NN  /\  ( ( ( ( a `  1 )  =  1  /\  (
a `  3 )  =  1 )  \/  ( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) ) )  \/  (
( a `  1
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  0 ) ) )  \/  (
( a `  2
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  1 ) ) ) )
8079rabbiia 3084 . 2  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) ) }  =  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( ( ( a `  2 )  e.  NN  /\  (
( ( ( a `
 1 )  =  1  /\  ( a `
 3 )  =  1 )  \/  (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) ) )  \/  (
( a `  1
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  0 ) ) )  \/  (
( a `  2
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  1 ) ) }
81 3nn0 10820 . . . . 5  |-  3  e.  NN0
82 ovex 6309 . . . . . 6  |-  ( 1 ... 3 )  e. 
_V
83 mzpproj 30645 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... 3
)  e.  _V  /\  2  e.  ( 1 ... 3 ) )  ->  ( a  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... 3 ) ) 
|->  ( a `  2
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 3
) ) )
8482, 56, 83mp2an 672 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 3
) )  |->  ( a `
 2 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 3 ) )
85 elnnrabdioph 30716 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  ( a  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 3 ) ) 
|->  ( a `  2
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 3
) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( a ` 
2 )  e.  NN }  e.  (Dioph `  3
) )
8681, 84, 85mp2an 672 . . . 4  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( a `  2 )  e.  NN }  e.  (Dioph `  3 )
87 mzpproj 30645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... 3
)  e.  _V  /\  1  e.  ( 1 ... 3 ) )  ->  ( a  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... 3 ) ) 
|->  ( a `  1
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 3
) ) )
8882, 11, 87mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 3
) )  |->  ( a `
 1 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 3 ) )
89 1z 10901 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
90 mzpconstmpt 30648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... 3
)  e.  _V  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( a  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 3 ) ) 
|->  1 )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 3
) ) )
9182, 89, 90mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 3
) )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 3 ) )
92 eqrabdioph 30687 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  ( a  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 3 ) ) 
|->  ( a `  1
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 3
) )  /\  (
a  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 3 ) )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 3
) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( a ` 
1 )  =  1 }  e.  (Dioph ` 
3 ) )
9381, 88, 91, 92mp3an 1325 . . . . . . 7  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( a `  1 )  =  1 }  e.  (Dioph `  3 )
94 3nn 10701 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN
9594jm2.27dlem3 30929 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ( 1 ... 3
)
96 mzpproj 30645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... 3
)  e.  _V  /\  3  e.  ( 1 ... 3 ) )  ->  ( a  e.  ( ZZ  ^m  (
1 ... 3 ) ) 
|->  ( a `  3
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 3
) ) )
9782, 95, 96mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 3
) )  |->  ( a `
 3 ) )  e.  (mzPoly `  (
1 ... 3 ) )
98 eqrabdioph 30687 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  ( a  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 3 ) ) 
|->  ( a `  3
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 3
) )  /\  (
a  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... 3 ) )  |->  1 )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 3
) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( a ` 
3 )  =  1 }  e.  (Dioph ` 
3 ) )
9981, 97, 91, 98mp3an 1325 . . . . . . 7  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( a `  3 )  =  1 }  e.  (Dioph `  3 )
100 anrabdioph 30690 . . . . . . 7  |-  ( ( { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( a ` 
1 )  =  1 }  e.  (Dioph ` 
3 )  /\  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( a `  3
)  =  1 }  e.  (Dioph `  3
) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  1
)  =  1  /\  ( a `  3
)  =  1 ) }  e.  (Dioph ` 
3 ) )
10193, 99, 100mp2an 672 . . . . . 6  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  1
)  =  1  /\  ( a `  3
)  =  1 ) }  e.  (Dioph ` 
3 )
102 expdiophlem2 30940 . . . . . 6  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 )
103 orrabdioph 30691 . . . . . 6  |-  ( ( { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( ( a `
 1 )  =  1  /\  ( a `
 3 )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  3 )  /\  { a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... 3 ) )  |  ( ( ( a `  1 )  =  1  /\  (
a `  3 )  =  1 )  \/  ( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 ) )
104101, 102, 103mp2an 672 . . . . 5  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( ( a ` 
1 )  =  1  /\  ( a ` 
3 )  =  1 )  \/  ( ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  2 )  e.  NN )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) ) ) ) }  e.  (Dioph ` 
3 )
105 eq0rabdioph 30686 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  ( a  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 3 ) ) 
|->  ( a `  1
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 3
) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( a ` 
1 )  =  0 }  e.  (Dioph ` 
3 ) )
10681, 88, 105mp2an 672 . . . . . 6  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( a `  1 )  =  0 }  e.  (Dioph `  3 )
107 eq0rabdioph 30686 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  ( a  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 3 ) ) 
|->  ( a `  3
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 3
) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( a ` 
3 )  =  0 }  e.  (Dioph ` 
3 ) )
10881, 97, 107mp2an 672 . . . . . 6  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( a `  3 )  =  0 }  e.  (Dioph `  3 )
109 anrabdioph 30690 . . . . . 6  |-  ( ( { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( a ` 
1 )  =  0 }  e.  (Dioph ` 
3 )  /\  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( a `  3
)  =  0 }  e.  (Dioph `  3
) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  1
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  0 ) }  e.  (Dioph ` 
3 ) )
110106, 108, 109mp2an 672 . . . . 5  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  1
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  0 ) }  e.  (Dioph ` 
3 )
111 orrabdioph 30691 . . . . 5  |-  ( ( { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( ( ( a `  1 )  =  1  /\  (
a `  3 )  =  1 )  \/  ( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 )  /\  { a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( ( a ` 
1 )  =  0  /\  ( a ` 
3 )  =  0 ) }  e.  (Dioph `  3 ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... 3 ) )  |  ( ( ( ( a `  1
)  =  1  /\  ( a `  3
)  =  1 )  \/  ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( a `  2 )  e.  NN )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) ) ) )  \/  ( ( a `
 1 )  =  0  /\  ( a `
 3 )  =  0 ) ) }  e.  (Dioph `  3
) )
112104, 110, 111mp2an 672 . . . 4  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( ( ( a `
 1 )  =  1  /\  ( a `
 3 )  =  1 )  \/  (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) ) )  \/  (
( a `  1
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  0 ) ) }  e.  (Dioph `  3 )
113 anrabdioph 30690 . . . 4  |-  ( ( { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( a ` 
2 )  e.  NN }  e.  (Dioph `  3
)  /\  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... 3 ) )  |  ( ( ( ( a `  1
)  =  1  /\  ( a `  3
)  =  1 )  \/  ( ( ( a `  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( a `  2 )  e.  NN )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) ) ) )  \/  ( ( a `
 1 )  =  0  /\  ( a `
 3 )  =  0 ) ) }  e.  (Dioph `  3
) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  2
)  e.  NN  /\  ( ( ( ( a `  1 )  =  1  /\  (
a `  3 )  =  1 )  \/  ( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) ) )  \/  (
( a `  1
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  0 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 ) )
11486, 112, 113mp2an 672 . . 3  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  2
)  e.  NN  /\  ( ( ( ( a `  1 )  =  1  /\  (
a `  3 )  =  1 )  \/  ( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) ) )  \/  (
( a `  1
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  0 ) ) ) }  e.  (Dioph `  3 )
115 eq0rabdioph 30686 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  ( a  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... 3 ) ) 
|->  ( a `  2
) )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... 3
) ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( a ` 
2 )  =  0 }  e.  (Dioph ` 
3 ) )
11681, 84, 115mp2an 672 . . . 4  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( a `  2 )  =  0 }  e.  (Dioph `  3 )
117 anrabdioph 30690 . . . 4  |-  ( ( { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( a ` 
2 )  =  0 }  e.  (Dioph ` 
3 )  /\  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( a `  3
)  =  1 }  e.  (Dioph `  3
) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  2
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  1 ) }  e.  (Dioph ` 
3 ) )
118116, 99, 117mp2an 672 . . 3  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( a `  2
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  1 ) }  e.  (Dioph ` 
3 )
119 orrabdioph 30691 . . 3  |-  ( ( { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( ( a `
 2 )  e.  NN  /\  ( ( ( ( a ` 
1 )  =  1  /\  ( a ` 
3 )  =  1 )  \/  ( ( ( a `  1
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
a `  2 )  e.  NN )  /\  (
a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) ) ) )  \/  ( ( a `
 1 )  =  0  /\  ( a `
 3 )  =  0 ) ) ) }  e.  (Dioph ` 
3 )  /\  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  |  ( ( a ` 
2 )  =  0  /\  ( a ` 
3 )  =  1 ) }  e.  (Dioph `  3 ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... 3 ) )  |  ( ( ( a `  2 )  e.  NN  /\  (
( ( ( a `
 1 )  =  1  /\  ( a `
 3 )  =  1 )  \/  (
( ( a ` 
1 )  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) ) )  \/  (
( a `  1
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  0 ) ) )  \/  (
( a `  2
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  1 ) ) }  e.  (Dioph `  3 ) )
120114, 118, 119mp2an 672 . 2  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( ( ( a ` 
2 )  e.  NN  /\  ( ( ( ( a `  1 )  =  1  /\  (
a `  3 )  =  1 )  \/  ( ( ( a `
 1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( a `  2
)  e.  NN )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( ( a `  1
) ^ ( a `
 2 ) ) ) )  \/  (
( a `  1
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  0 ) ) )  \/  (
( a `  2
)  =  0  /\  ( a `  3
)  =  1 ) ) }  e.  (Dioph `  3 )
12180, 120eqeltri 2527 1  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... 3
) )  |  ( a `  3 )  =  ( ( a `
 1 ) ^
( a `  2
) ) }  e.  (Dioph `  3 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   {crab 2797   _Vcvv 3095    |-> cmpt 4495   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ^m cmap 7422   0cc0 9495   1c1 9496   NNcn 10543   2c2 10592   3c3 10593   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11092   ...cfz 11683   ^cexp 12148  mzPolycmzp 30630  Diophcdioph 30664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-dvds 13969  df-gcd 14127  df-prm 14200  df-numer 14250  df-denom 14251  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249  df-log 22922  df-mzpcl 30631  df-mzp 30632  df-dioph 30665  df-squarenn 30753  df-pell1qr 30754  df-pell14qr 30755  df-pell1234qr 30756  df-pellfund 30757  df-rmx 30814  df-rmy 30815
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