Theorem expcnvlem6 8493

Description: Lemma for expcnv 8494. Add in the case of A = 0.

Assertion

Ref	Expression
expcnvlem6	|- (((A e. RR /\ 0 <_ A /\ A < 1) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> (A^y) < B))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem expcnvlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 6603	. . . 4 |- 0 e. RR
2		leloe 6688	. . . 4 |- ((0 e. RR /\ A e. RR) -> (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A)))
3	1, 2	mpan 759	. . 3 |- (A e. RR -> (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A)))
4		expcnvlem5 8492	. . . . 5 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A < 1) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> (A^y) < B))
5	4	3exp1 1084	. . . 4 |- (A e. RR -> (0 < A -> (A < 1 -> ((B e. RR /\ 0 < B) -> E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> (A^y) < B)))))
6		1nn 7117	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
7	6	a1i12 9	. . . . . . . . 9 |- (0 = A -> (0 < B -> 1 e. NN))
8		0exp 7832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. NN -> (0^y) = 0)
9	8	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. NN -> ((0^y) < B <-> 0 < B))
10	9	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((0 = A /\ y e. NN) -> ((0^y) < B <-> 0 < B))
11		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (0 = A -> (0^y) = (A^y))
12	11	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (0 = A -> ((0^y) < B <-> (A^y) < B))
13	12	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((0 = A /\ y e. NN) -> ((0^y) < B <-> (A^y) < B))
14	10, 13	bitr3d 589	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((0 = A /\ y e. NN) -> (0 < B <-> (A^y) < B))
15	14	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((0 = A /\ y e. NN) -> (0 < B -> (A^y) < B))
16	15	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- (0 = A -> (y e. NN -> (0 < B -> (A^y) < B)))
17	16	a1d 15	. . . . . . . . . . 11 |- (0 = A -> (1 <_ y -> (y e. NN -> (0 < B -> (A^y) < B))))
18	17	com24 41	. . . . . . . . . 10 |- (0 = A -> (0 < B -> (y e. NN -> (1 <_ y -> (A^y) < B))))
19	18	r19.21adv 2181	. . . . . . . . 9 |- (0 = A -> (0 < B -> A.y e. NN (1 <_ y -> (A^y) < B)))
20	7, 19	jcad 661	. . . . . . . 8 |- (0 = A -> (0 < B -> (1 e. NN /\ A.y e. NN (1 <_ y -> (A^y) < B))))
21		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (x = 1 -> (x <_ y <-> 1 <_ y))
22	21	imbi1d 675	. . . . . . . . . 10 |- (x = 1 -> ((x <_ y -> (A^y) < B) <-> (1 <_ y -> (A^y) < B)))
23	22	ralbidv 2123	. . . . . . . . 9 |- (x = 1 -> (A.y e. NN (x <_ y -> (A^y) < B) <-> A.y e. NN (1 <_ y -> (A^y) < B)))
24	23	rcla4ev 2381	. . . . . . . 8 |- ((1 e. NN /\ A.y e. NN (1 <_ y -> (A^y) < B)) -> E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> (A^y) < B))
25	20, 24	syl6 25	. . . . . . 7 |- (0 = A -> (0 < B -> E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> (A^y) < B)))
26	25	adantld 426	. . . . . 6 |- (0 = A -> ((B e. RR /\ 0 < B) -> E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> (A^y) < B)))
27	26	a1d 15	. . . . 5 |- (0 = A -> (A < 1 -> ((B e. RR /\ 0 < B) -> E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> (A^y) < B))))
28	27	a1i 8	. . . 4 |- (A e. RR -> (0 = A -> (A < 1 -> ((B e. RR /\ 0 < B) -> E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> (A^y) < B)))))
29	5, 28	jaod 469	. . 3 |- (A e. RR -> ((0 < A \/ 0 = A) -> (A < 1 -> ((B e. RR /\ 0 < B) -> E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> (A^y) < B)))))
30	3, 29	sylbid 220	. 2 |- (A e. RR -> (0 <_ A -> (A < 1 -> ((B e. RR /\ 0 < B) -> E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> (A^y) < B)))))
31	30	3imp1 1081	1 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A /\ A < 1) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> (A^y) < B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  ^cexp 7811

This theorem is referenced by:  expcnv 8494

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004

Copyright terms: Public domain