Theorem expcnv 8494

Description: A sequence of powers of a complex number A with absolute value smaller than 1 converges to zero.

Hypothesis

Ref	Expression
expcnv.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
expcnv	|- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k) /\ (abs` A) < 1) -> F ~~> 0)

Distinct variable groups:   A,k   k,F

Proof of Theorem expcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcnvlem6 8493	. . . . . . . 8 |- ((((abs` A) e. RR /\ 0 <_ (abs` A) /\ (abs` A) < 1) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x))
2		abscl 8084	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (abs` A) e. RR)
3	2	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (abs` A) < 1) -> (abs` A) e. RR)
4		absge0 8105	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> 0 <_ (abs` A))
5	4	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (abs` A) < 1) -> 0 <_ (abs` A))
6		simpr 350	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (abs` A) < 1) -> (abs` A) < 1)
7	3, 5, 6	3jca 1050	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ (abs` A) < 1) -> ((abs` A) e. RR /\ 0 <_ (abs` A) /\ (abs` A) < 1))
8	1, 7	sylan 497	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ (abs` A) < 1) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x))
9	8	adantllr 433	. . . . . 6 |- ((((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) /\ (abs` A) < 1) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x))
10		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` k) = (A^k) -> (abs` (F` k)) = (abs` (A^k)))
11		absexp 8119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> (abs` (A^k)) = ((abs` A)^k))
12		nnnn0 7315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k e. NN -> k e. NN0)
13	11, 12	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. CC /\ k e. NN) -> (abs` (A^k)) = ((abs` A)^k))
14	10, 13	sylan9eqr 1951	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. CC /\ k e. NN) /\ (F` k) = (A^k)) -> (abs` (F` k)) = ((abs` A)^k))
15	14	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. CC /\ k e. NN) /\ (F` k) = (A^k)) -> ((abs` (F` k)) < x <-> ((abs` A)^k) < x))
16	15	imbi2d 674	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. CC /\ k e. NN) /\ (F` k) = (A^k)) -> ((j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)))
17	16	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ k e. NN) -> ((F` k) = (A^k) -> ((j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x))))
18	17	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (A.k e. NN (F` k) = (A^k) -> A.k e. NN ((j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x))))
19	18	imp 377	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) -> A.k e. NN ((j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)))
20		ralbi 2223	. . . . . . . . 9 |- (A.k e. NN ((j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)) -> (A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)))
21	19, 20	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) -> (A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)))
22	21	rexbidv 2124	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)))
23	22	ad2antrr 440	. . . . . 6 |- ((((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) /\ (abs` A) < 1) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)))
24	9, 23	mpbird 213	. . . . 5 |- ((((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) /\ (abs` A) < 1) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x))
25	24	exp32 408	. . . 4 |- (((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) /\ (abs` A) < 1) -> (x e. RR -> (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x))))
26	25	3impa 1062	. . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k) /\ (abs` A) < 1) -> (x e. RR -> (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x))))
27	26	r19.21aiv 2175	. 2 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k) /\ (abs` A) < 1) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x)))
28		eleq1 1957	. . . . . . 7 |- ((F` k) = (A^k) -> ((F` k) e. CC <-> (A^k) e. CC))
29		expcl 7824	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> (A^k) e. CC)
30	29, 12	sylan2 500	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ k e. NN) -> (A^k) e. CC)
31	28, 30	syl5cbir 228	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ k e. NN) -> ((F` k) = (A^k) -> (F` k) e. CC))
32	31	ralimdvaa 2171	. . . . 5 |- (A e. CC -> (A.k e. NN (F` k) = (A^k) -> A.k e. NN (F` k) e. CC))
33	32	imp 377	. . . 4 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) -> A.k e. NN (F` k) e. CC)
34		1z 7368	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
35		nnuz 7608	. . . . . 6 |- NN = (ZZ>=` 1)
36	35	eqimss2i 2669	. . . . 5 |- (ZZ>=` 1) C_ NN
37		nnssz 7360	. . . . 5 |- NN C_ ZZ
38		expcnv.1	. . . . 5 |- F e. _V
39	34, 36, 37, 34, 36, 37, 38	clm0i 8343	. . . 4 |- (A.k e. NN (F` k) e. CC -> (F ~~> 0 <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x))))
40	33, 39	syl 12	. . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) -> (F ~~> 0 <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x))))
41	40	3adant3 896	. 2 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k) /\ (abs` A) < 1) -> (F ~~> 0 <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x))))
42	27, 41	mpbird 213	1 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k) /\ (abs` A) < 1) -> F ~~> 0)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  ^cexp 7811  abscabs 8000   ~~> cli 8234

This theorem is referenced by:  explecnv 8495  geolimilem 8497

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235

Copyright terms: Public domain