Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expcnfg Structured version   Unicode version

Theorem expcnfg 31099
Description: If  F is a complex continuous function and N is a fixed number, then F^N is continuous too. A generalization of expcncf 21156. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnfg.1  |-  F/_ x F
expcnfg.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )
expcnfg.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
expcnfg  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( F `  x ) ^ N
) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, N    ph, x
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem expcnfg
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2624 . . . . 5  |-  F/_ t
( ( F `  x ) ^ N
)
2 expcnfg.1 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
3 nfcv 2624 . . . . . . 7  |-  F/_ x
t
42, 3nffv 5866 . . . . . 6  |-  F/_ x
( F `  t
)
5 nfcv 2624 . . . . . 6  |-  F/_ x ^
6 nfcv 2624 . . . . . 6  |-  F/_ x N
74, 5, 6nfov 6300 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( F `  t ) ^ N
)
8 fveq2 5859 . . . . . 6  |-  ( x  =  t  ->  ( F `  x )  =  ( F `  t ) )
98oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( x  =  t  ->  (
( F `  x
) ^ N )  =  ( ( F `
 t ) ^ N ) )
101, 7, 9cbvmpt 4532 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  ( ( F `  x ) ^ N ) )  =  ( t  e.  A  |->  ( ( F `
 t ) ^ N ) )
11 expcnfg.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )
12 cncff 21127 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( A -cn-> CC )  ->  F : A
--> CC )
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
1413fnvinran 30924 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  A )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
15 expcnfg.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1615adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  A )  ->  N  e.  NN0 )
1714, 16expcld 12267 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  A )  ->  (
( F `  t
) ^ N )  e.  CC )
18 oveq1 6284 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  t )  ->  (
x ^ N )  =  ( ( F `
 t ) ^ N ) )
19 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )
204, 7, 18, 19fvmptf 5959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  CC  /\  ( ( F `  t ) ^ N
)  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `
 ( F `  t ) )  =  ( ( F `  t ) ^ N
) )
2114, 17, 20syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  A )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) `  ( F `  t )
)  =  ( ( F `  t ) ^ N ) )
2221eqcomd 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  A )  ->  (
( F `  t
) ^ N )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `
 ( F `  t ) ) )
2322mpteq2dva 4528 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  A  |->  ( ( F `  t ) ^ N
) )  =  ( t  e.  A  |->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) `  ( F `  t )
) ) )
2410, 23syl5eq 2515 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( F `  x ) ^ N
) )  =  ( t  e.  A  |->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) `  ( F `  t )
) ) )
25 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
2615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  N  e. 
NN0 )
2725, 26expcld 12267 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( x ^ N )  e.  CC )
2827, 19fmptd 6038 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) : CC --> CC )
29 fcompt 6050 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) : CC --> CC  /\  F : A --> CC )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  =  ( t  e.  A  |->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) `
 ( F `  t ) ) ) )
3028, 13, 29syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  =  ( t  e.  A  |->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) ) `  ( F `  t )
) ) )
3124, 30eqtr4d 2506 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( F `  x ) ^ N
) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  o.  F
) )
32 expcncf 21156 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
3315, 32syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
3411, 33cncfco 21141 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  o.  F )  e.  ( A -cn-> CC ) )
3531, 34eqeltrd 2550 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( F `  x ) ^ N
) )  e.  ( A -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   F/_wnfc 2610    |-> cmpt 4500    o. ccom 4998   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   NN0cn0 10786   ^cexp 12124   -cn->ccncf 21110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112
This theorem is referenced by:  ibliccsinexp  31225  itgsinexplem1  31228  itgsinexp  31229
  Copyright terms: Public domain W3C validator