MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcn Structured version   Unicode version

Theorem expcn 20407
Description: The power function on complex numbers, for fixed exponent 
N, is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
expcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
expcn  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, N

Proof of Theorem expcn
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6098 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
0 ) )
21mpteq2dv 4376 . . 3  |-  ( n  =  0  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 0 ) ) )
32eleq1d 2507 . 2  |-  ( n  =  0  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ n
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ 0 ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
4 oveq2 6098 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
k ) )
54mpteq2dv 4376 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )
65eleq1d 2507 . 2  |-  ( n  =  k  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ n
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
7 oveq2 6098 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
( k  +  1 ) ) )
87mpteq2dv 4376 . . 3  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ ( k  +  1 ) ) ) )
98eleq1d 2507 . 2  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ n
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ (
k  +  1 ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
10 oveq2 6098 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^ N ) )
1110mpteq2dv 4376 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )
1211eleq1d 2507 . 2  |-  ( n  =  N  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ n
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
13 exp0 11865 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 0 )  =  1 )
1413mpteq2ia 4371 . . 3  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 0 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 )
15 expcn.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1615cnfldtopon 20321 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
18 1cnd 9398 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
1917, 17, 18cnmptc 19194 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  1 )  e.  ( J  Cn  J ) )
2019trud 1373 . . 3  |-  ( x  e.  CC  |->  1 )  e.  ( J  Cn  J )
2114, 20eqeltri 2511 . 2  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 0 ) )  e.  ( J  Cn  J )
22 oveq1 6097 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x ^ ( k  +  1 ) )  =  ( n ^
( k  +  1 ) ) )
2322cbvmptv 4380 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  CC  |->  ( n ^
( k  +  1 ) ) )
24 id 22 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  CC  ->  n  e.  CC )
25 simpl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  k  e.  NN0 )
26 expp1 11868 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( n ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( n ^ k )  x.  n ) )
2724, 25, 26syl2anr 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  /\  n  e.  CC )  ->  (
n ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( n ^ k )  x.  n ) )
2827mpteq2dva 4375 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( n  e.  CC  |->  ( n ^
( k  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  CC  |->  ( ( n ^
k )  x.  n
) ) )
2923, 28syl5eq 2485 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
( k  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  CC  |->  ( ( n ^
k )  x.  n
) ) )
3016a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
31 oveq1 6097 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
x ^ k )  =  ( n ^
k ) )
3231cbvmptv 4380 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  =  ( n  e.  CC  |->  ( n ^
k ) )
33 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
k ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
3432, 33syl5eqelr 2526 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( n  e.  CC  |->  ( n ^
k ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
3530cnmptid 19193 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( n  e.  CC  |->  n )  e.  ( J  Cn  J
) )
3615mulcn 20402 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
3736a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
3830, 34, 35, 37cnmpt12f 19198 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( n  e.  CC  |->  ( ( n ^ k )  x.  n ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
3929, 38eqeltrd 2515 . . 3  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
( k  +  1 ) ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
4039ex 434 . 2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  e.  ( J  Cn  J )  -> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ (
k  +  1 ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
413, 6, 9, 12, 21, 40nn0ind 10734 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 1761    e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283   NN0cn0 10575   ^cexp 11861   TopOpenctopn 14356  ℂfldccnfld 17777  TopOnctopon 18458    Cn ccn 18787    tX ctx 19092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856
This theorem is referenced by:  sqcn  20409  expcncf  20457  plycn  21687  psercn2  21847  atansopn  22286  pntlem3  22817  climexp  29703
  Copyright terms: Public domain W3C validator