MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcn Structured version   Unicode version

Theorem expcn 21242
Description: The power function on complex numbers, for fixed exponent 
N, is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
expcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
expcn  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, N

Proof of Theorem expcn
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6285 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
0 ) )
21mpteq2dv 4520 . . 3  |-  ( n  =  0  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 0 ) ) )
32eleq1d 2510 . 2  |-  ( n  =  0  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ n
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ 0 ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
4 oveq2 6285 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
k ) )
54mpteq2dv 4520 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) ) )
65eleq1d 2510 . 2  |-  ( n  =  k  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ n
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
7 oveq2 6285 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^
( k  +  1 ) ) )
87mpteq2dv 4520 . . 3  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ ( k  +  1 ) ) ) )
98eleq1d 2510 . 2  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ n
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ (
k  +  1 ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
10 oveq2 6285 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
x ^ n )  =  ( x ^ N ) )
1110mpteq2dv 4520 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ n ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) ) )
1211eleq1d 2510 . 2  |-  ( n  =  N  ->  (
( x  e.  CC  |->  ( x ^ n
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ N
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
13 exp0 12144 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 0 )  =  1 )
1413mpteq2ia 4515 . . 3  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 0 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 )
15 expcn.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1615cnfldtopon 21156 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
18 1cnd 9610 . . . . 5  |-  ( T. 
->  1  e.  CC )
1917, 17, 18cnmptc 20029 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  CC  |->  1 )  e.  ( J  Cn  J ) )
2019trud 1390 . . 3  |-  ( x  e.  CC  |->  1 )  e.  ( J  Cn  J )
2114, 20eqeltri 2525 . 2  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ 0 ) )  e.  ( J  Cn  J )
22 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x ^ ( k  +  1 ) )  =  ( n ^
( k  +  1 ) ) )
2322cbvmptv 4524 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  CC  |->  ( n ^
( k  +  1 ) ) )
24 id 22 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  CC  ->  n  e.  CC )
25 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  k  e.  NN0 )
26 expp1 12147 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( n ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( n ^ k )  x.  n ) )
2724, 25, 26syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  /\  n  e.  CC )  ->  (
n ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( n ^ k )  x.  n ) )
2827mpteq2dva 4519 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( n  e.  CC  |->  ( n ^
( k  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  CC  |->  ( ( n ^
k )  x.  n
) ) )
2923, 28syl5eq 2494 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
( k  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  CC  |->  ( ( n ^
k )  x.  n
) ) )
3016a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
31 oveq1 6284 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
x ^ k )  =  ( n ^
k ) )
3231cbvmptv 4524 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  =  ( n  e.  CC  |->  ( n ^
k ) )
33 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
k ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
3432, 33syl5eqelr 2534 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( n  e.  CC  |->  ( n ^
k ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
3530cnmptid 20028 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( n  e.  CC  |->  n )  e.  ( J  Cn  J
) )
3615mulcn 21237 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
3736a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
3830, 34, 35, 37cnmpt12f 20033 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( n  e.  CC  |->  ( ( n ^ k )  x.  n ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
3929, 38eqeltrd 2529 . . 3  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k
) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
( k  +  1 ) ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
4039ex 434 . 2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( x ^ k ) )  e.  ( J  Cn  J )  -> 
( x  e.  CC  |->  ( x ^ (
k  +  1 ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
413, 6, 9, 12, 21, 40nn0ind 10960 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  CC  |->  ( x ^ N ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381   T. wtru 1382    e. wcel 1802    |-> cmpt 4491   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495   NN0cn0 10796   ^cexp 12140   TopOpenctopn 14691  ℂfldccnfld 18288  TopOnctopon 19262    Cn ccn 19591    tX ctx 19927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691
This theorem is referenced by:  sqcn  21244  expcncf  21292  plycn  22523  psercn2  22683  atansopn  23128  pntlem3  23659  climexp  31515
  Copyright terms: Public domain W3C validator