MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expclzlem Structured version   Unicode version

Theorem expclzlem 11987
Description: Closure law for integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
expclzlem  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )

Proof of Theorem expclzlem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4095 . . . 4  |-  ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
2 difss 3578 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
3 eldifsn 4095 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
4 eldifsn 4095 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
5 mulcl 9464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
65ad2ant2r 746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
7 mulne0 10076 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  x.  y
)  =/=  0 )
8 eldifsn 4095 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  x.  y )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( x  x.  y )  e.  CC  /\  ( x  x.  y
)  =/=  0 ) )
96, 7, 8sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
103, 4, 9syl2anb 479 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  y  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
11 ax-1cn 9438 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
12 ax-1ne0 9449 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
13 eldifsn 4095 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 ) )
1411, 12, 13mpbir2an 911 . . . . . 6  |-  1  e.  ( CC  \  {
0 } )
15 reccl 10099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  e.  CC )
16 recne0 10105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 1  /  x
)  =/=  0 )
1715, 16jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( ( 1  /  x )  e.  CC  /\  ( 1  /  x
)  =/=  0 ) )
18 eldifsn 4095 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  x )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( 1  /  x )  e.  CC  /\  ( 1  /  x
)  =/=  0 ) )
1917, 3, 183imtr4i 266 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( 1  /  x )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
2019adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  x  =/=  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
212, 10, 14, 20expcl2lem 11975 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
22213expia 1190 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  A  =/=  0 )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( A ^ N )  e.  ( CC  \  { 0 } ) ) )
231, 22sylanbr 473 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( A ^ N )  e.  ( CC  \  { 0 } ) ) )
2423anabss3 819 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( A ^ N
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ) )
25243impia 1185 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758    =/= wne 2642    \ cdif 3420   {csn 3972  (class class class)co 6187   CCcc 9378   0cc0 9380   1c1 9381    x. cmul 9385    / cdiv 10091   ZZcz 10744   ^cexp 11963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-er 7198  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-seq 11905  df-exp 11964
This theorem is referenced by:  expclz  11988  expne0i  11994  expghm  18029  expghmOLD  18030
  Copyright terms: Public domain W3C validator