MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl Structured version   Unicode version

Theorem expcl 12147
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
expcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )

Proof of Theorem expcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3523 . 2  |-  CC  C_  CC
2 mulcl 9572 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
3 ax-1cn 9546 . 2  |-  1  e.  CC
41, 2, 3expcllem 12140 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767  (class class class)co 6282   CCcc 9486   NN0cn0 10791   ^cexp 12129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-seq 12071  df-exp 12130
This theorem is referenced by:  expeq0  12158  expnegz  12162  mulexp  12167  mulexpz  12168  expadd  12170  expaddzlem  12171  expaddz  12172  expmul  12173  expmulz  12174  expdiv  12178  binom3  12249  digit2  12261  digit1  12262  expcld  12272  faclbnd2  12331  faclbnd4lem4  12336  faclbnd6  12339  cjexp  12940  absexp  13094  ackbijnn  13596  binomlem  13597  binom1p  13599  binom1dif  13601  expcnv  13631  geolim  13635  geolim2  13636  geo2sum  13638  geomulcvg  13641  geoisum  13642  geoisumr  13643  geoisum1  13644  geoisum1c  13645  0.999...  13646  eftcl  13664  eftabs  13666  efcllem  13668  efcj  13682  efaddlem  13683  eflegeo  13710  efi4p  13726  prmreclem6  14291  decsplit  14421  karatsuba  14422  expmhm  18250  mbfi1fseqlem6  21859  itg0  21918  itgz  21919  itgcl  21922  itgcnlem  21928  itgsplit  21974  dvexp  22088  dvexp3  22111  plyf  22327  ply1termlem  22332  plypow  22334  plyeq0lem  22339  plypf1  22341  plyaddlem1  22342  plymullem1  22343  coeeulem  22353  coeidlem  22366  coeid3  22369  plyco  22370  dgrcolem2  22402  plycjlem  22404  plyrecj  22407  vieta1  22439  elqaalem3  22448  aareccl  22453  aalioulem1  22459  geolim3  22466  psergf  22538  dvradcnv  22547  psercn2  22549  pserdvlem2  22554  pserdv2  22556  abelthlem4  22560  abelthlem5  22561  abelthlem6  22562  abelthlem7  22564  abelthlem9  22566  advlogexp  22761  logtayllem  22765  logtayl  22766  logtaylsum  22767  logtayl2  22768  cxpeq  22856  dcubic1lem  22899  dcubic2  22900  dcubic1  22901  dcubic  22902  mcubic  22903  cubic2  22904  cubic  22905  binom4  22906  dquartlem2  22908  dquart  22909  quart1cl  22910  quart1lem  22911  quart1  22912  quartlem1  22913  quartlem2  22914  quart  22917  atantayl  22993  atantayl2  22994  atantayl3  22995  leibpi  22998  log2cnv  23000  log2tlbnd  23001  log2ublem3  23004  ftalem1  23071  ftalem4  23074  ftalem5  23075  basellem3  23081  musum  23192  1sgmprm  23199  perfect  23231  lgsquadlem1  23354  rplogsumlem2  23395  ostth2lem2  23544  numclwlk3lem3  24747  ipval2  25290  dipcl  25298  dipcn  25306  sspival  25324  subfacval2  28268  fallrisefac  28721  0risefac  28734  binomrisefac  28738  bpolysum  29389  bpolydiflem  29390  fsumkthpow  29392  bpoly3  29394  bpoly4  29395  fsumcube  29396  jm2.23  30542  lhe4.4ex1a  30834  altgsumbc  32005  altgsumbcALT  32006
  Copyright terms: Public domain W3C validator