MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl Structured version   Unicode version

Theorem expcl 11867
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
expcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )

Proof of Theorem expcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3363 . 2  |-  CC  C_  CC
2 mulcl 9354 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
3 ax-1cn 9328 . 2  |-  1  e.  CC
41, 2, 3expcllem 11860 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1755  (class class class)co 6080   CCcc 9268   NN0cn0 10567   ^cexp 11849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-seq 11791  df-exp 11850
This theorem is referenced by:  expeq0  11878  expnegz  11882  mulexp  11887  mulexpz  11888  expadd  11890  expaddzlem  11891  expaddz  11892  expmul  11893  expmulz  11894  expdiv  11898  binom3  11969  digit2  11981  digit1  11982  expcld  11992  faclbnd2  12051  faclbnd4lem4  12056  faclbnd6  12059  cjexp  12623  absexp  12777  ackbijnn  13274  binomlem  13275  binom1p  13277  binom1dif  13279  expcnv  13309  geolim  13313  geolim2  13314  geo2sum  13316  geomulcvg  13319  geoisum  13320  geoisumr  13321  geoisum1  13322  geoisum1c  13323  0.999...  13324  eftcl  13342  eftabs  13344  efcllem  13346  efcj  13360  efaddlem  13361  eflegeo  13388  efi4p  13404  prmreclem6  13965  decsplit  14095  karatsuba  14096  expmhm  17724  mbfi1fseqlem6  21040  itg0  21099  itgz  21100  itgcl  21103  itgcnlem  21109  itgsplit  21155  dvexp  21269  dvexp3  21292  plyf  21551  ply1termlem  21556  plypow  21558  plyeq0lem  21563  plypf1  21565  plyaddlem1  21566  plymullem1  21567  coeeulem  21577  coeidlem  21590  coeid3  21593  plyco  21594  dgrcolem2  21626  plycjlem  21628  plyrecj  21631  vieta1  21663  elqaalem3  21672  aareccl  21677  aalioulem1  21683  geolim3  21690  psergf  21762  dvradcnv  21771  psercn2  21773  pserdvlem2  21778  pserdv2  21780  abelthlem4  21784  abelthlem5  21785  abelthlem6  21786  abelthlem7  21788  abelthlem9  21790  advlogexp  21985  logtayllem  21989  logtayl  21990  logtaylsum  21991  logtayl2  21992  cxpeq  22080  dcubic1lem  22123  dcubic2  22124  dcubic1  22125  dcubic  22126  mcubic  22127  cubic2  22128  cubic  22129  binom4  22130  dquartlem2  22132  dquart  22133  quart1cl  22134  quart1lem  22135  quart1  22136  quartlem1  22137  quartlem2  22138  quart  22141  atantayl  22217  atantayl2  22218  atantayl3  22219  leibpi  22222  log2cnv  22224  log2tlbnd  22225  log2ublem3  22228  ftalem1  22295  ftalem4  22298  ftalem5  22299  basellem3  22305  musum  22416  1sgmprm  22423  perfect  22455  lgsquadlem1  22578  rplogsumlem2  22619  ostth2lem2  22768  ipval2  23925  dipcl  23933  dipcn  23941  sspival  23959  subfacval2  26923  fallrisefac  27375  0risefac  27388  binomrisefac  27392  bpolysum  28043  bpolydiflem  28044  fsumkthpow  28046  bpoly3  28048  bpoly4  28049  fsumcube  28050  jm2.23  29190  lhe4.4ex1a  29448  numclwlk3lem3  30512
  Copyright terms: Public domain W3C validator