MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl Unicode version

Theorem expcl 11354
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
expcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )

Proof of Theorem expcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3327 . 2  |-  CC  C_  CC
2 mulcl 9030 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
3 ax-1cn 9004 . 2  |-  1  e.  CC
41, 2, 3expcllem 11347 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944   NN0cn0 10177   ^cexp 11337
This theorem is referenced by:  expeq0  11365  expnegz  11369  mulexp  11374  mulexpz  11375  expadd  11377  expaddzlem  11378  expaddz  11379  expmul  11380  expmulz  11381  expdiv  11385  binom3  11455  digit2  11467  digit1  11468  expcld  11478  faclbnd2  11537  faclbnd4lem4  11542  faclbnd6  11545  cjexp  11910  absexp  12064  ackbijnn  12562  binomlem  12563  binom1p  12565  binom1dif  12567  expcnv  12598  geolim  12602  geolim2  12603  geo2sum  12605  geomulcvg  12608  geoisum  12609  geoisumr  12610  geoisum1  12611  geoisum1c  12612  0.999...  12613  eftcl  12631  eftabs  12633  efcllem  12635  efcj  12649  efaddlem  12650  eflegeo  12677  efi4p  12693  prmreclem6  13244  decsplit  13374  karatsuba  13375  expmhm  16731  mbfi1fseqlem6  19565  itg0  19624  itgz  19625  itgcl  19628  itgcnlem  19634  itgsplit  19680  dvexp  19792  dvexp3  19815  plyf  20070  ply1termlem  20075  plypow  20077  plyeq0lem  20082  plypf1  20084  plyaddlem1  20085  plymullem1  20086  coeeulem  20096  coeidlem  20109  coeid3  20112  plyco  20113  dgrcolem2  20145  plycjlem  20147  plyrecj  20150  vieta1  20182  elqaalem3  20191  aareccl  20196  aalioulem1  20202  geolim3  20209  psergf  20281  dvradcnv  20290  psercn2  20292  pserdvlem2  20297  pserdv2  20299  abelthlem4  20303  abelthlem5  20304  abelthlem6  20305  abelthlem7  20307  abelthlem9  20309  advlogexp  20499  logtayllem  20503  logtayl  20504  logtaylsum  20505  logtayl2  20506  cxpeq  20594  dcubic1lem  20636  dcubic2  20637  dcubic1  20638  dcubic  20639  mcubic  20640  cubic2  20641  cubic  20642  binom4  20643  dquartlem2  20645  dquart  20646  quart1cl  20647  quart1lem  20648  quart1  20649  quartlem1  20650  quartlem2  20651  quart  20654  atantayl  20730  atantayl2  20731  atantayl3  20732  leibpi  20735  log2cnv  20737  log2tlbnd  20738  log2ublem3  20741  ftalem1  20808  ftalem4  20811  ftalem5  20812  basellem3  20818  musum  20929  1sgmprm  20936  perfect  20968  lgsquadlem1  21091  rplogsumlem2  21132  ostth2lem2  21281  ipval2  22156  dipcl  22164  dipcn  22172  sspival  22190  subfacval2  24826  fallrisefac  25293  0risefac  25305  binomrisefac  25309  bpolysum  26003  bpolydiflem  26004  fsumkthpow  26006  bpoly3  26008  bpoly4  26009  fsumcube  26010  jm2.23  26957  lhe4.4ex1a  27414
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-seq 11279  df-exp 11338
  Copyright terms: Public domain W3C validator