MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl Structured version   Unicode version

Theorem expcl 12087
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
expcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )

Proof of Theorem expcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3436 . 2  |-  CC  C_  CC
2 mulcl 9487 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
3 ax-1cn 9461 . 2  |-  1  e.  CC
41, 2, 3expcllem 12080 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1826  (class class class)co 6196   CCcc 9401   NN0cn0 10712   ^cexp 12069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-seq 12011  df-exp 12070
This theorem is referenced by:  expeq0  12099  expnegz  12103  mulexp  12108  mulexpz  12109  expadd  12111  expaddzlem  12112  expaddz  12113  expmul  12114  expmulz  12115  expdiv  12119  binom3  12189  digit2  12201  digit1  12202  expcld  12212  faclbnd2  12271  faclbnd4lem4  12276  faclbnd6  12279  cjexp  12985  absexp  13139  ackbijnn  13642  binomlem  13643  binom1p  13645  binom1dif  13647  expcnv  13677  geolim  13681  geolim2  13682  geo2sum  13684  geomulcvg  13687  geoisum  13688  geoisumr  13689  geoisum1  13690  geoisum1c  13691  0.999...  13692  eftcl  13811  eftabs  13813  efcllem  13815  efcj  13829  efaddlem  13830  eflegeo  13858  efi4p  13874  prmreclem6  14441  decsplit  14571  karatsuba  14572  expmhm  18598  mbfi1fseqlem6  22212  itg0  22271  itgz  22272  itgcl  22275  itgcnlem  22281  itgsplit  22327  dvexp  22441  dvexp3  22464  plyf  22680  ply1termlem  22685  plypow  22687  plyeq0lem  22692  plypf1  22694  plyaddlem1  22695  plymullem1  22696  coeeulem  22706  coeidlem  22719  coeid3  22722  plyco  22723  dgrcolem2  22756  plycjlem  22758  plyrecj  22761  vieta1  22793  elqaalem3  22802  aareccl  22807  aalioulem1  22813  geolim3  22820  psergf  22892  dvradcnv  22901  psercn2  22903  pserdvlem2  22908  pserdv2  22910  abelthlem4  22914  abelthlem5  22915  abelthlem6  22916  abelthlem7  22918  abelthlem9  22920  advlogexp  23123  logtayllem  23127  logtayl  23128  logtaylsum  23129  logtayl2  23130  cxpeq  23218  dcubic1lem  23290  dcubic2  23291  dcubic1  23292  dcubic  23293  mcubic  23294  cubic2  23295  cubic  23296  binom4  23297  dquartlem2  23299  dquart  23300  quart1cl  23301  quart1lem  23302  quart1  23303  quartlem1  23304  quartlem2  23305  quart  23308  atantayl  23384  atantayl2  23385  atantayl3  23386  leibpi  23389  log2cnv  23391  log2tlbnd  23392  log2ublem3  23395  ftalem1  23463  ftalem4  23466  ftalem5  23467  basellem3  23473  musum  23584  1sgmprm  23591  perfect  23623  lgsquadlem1  23746  rplogsumlem2  23787  ostth2lem2  23936  numclwlk3lem3  25194  ipval2  25734  dipcl  25742  dipcn  25750  sspival  25768  subfacval2  28820  fallrisefac  29313  0risefac  29326  binomrisefac  29330  bpolysum  29968  bpolydiflem  29969  fsumkthpow  29971  bpoly3  29973  bpoly4  29974  fsumcube  29975  jm2.23  31104  lhe4.4ex1a  31402  perfectALTV  32545  altgsumbc  33141  altgsumbcALT  33142  nn0digval  33421
  Copyright terms: Public domain W3C validator