MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl Structured version   Unicode version

Theorem expcl 12001
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
expcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )

Proof of Theorem expcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3484 . 2  |-  CC  C_  CC
2 mulcl 9478 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
3 ax-1cn 9452 . 2  |-  1  e.  CC
41, 2, 3expcllem 11994 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758  (class class class)co 6201   CCcc 9392   NN0cn0 10691   ^cexp 11983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-seq 11925  df-exp 11984
This theorem is referenced by:  expeq0  12012  expnegz  12016  mulexp  12021  mulexpz  12022  expadd  12024  expaddzlem  12025  expaddz  12026  expmul  12027  expmulz  12028  expdiv  12032  binom3  12103  digit2  12115  digit1  12116  expcld  12126  faclbnd2  12185  faclbnd4lem4  12190  faclbnd6  12193  cjexp  12758  absexp  12912  ackbijnn  13410  binomlem  13411  binom1p  13413  binom1dif  13415  expcnv  13445  geolim  13449  geolim2  13450  geo2sum  13452  geomulcvg  13455  geoisum  13456  geoisumr  13457  geoisum1  13458  geoisum1c  13459  0.999...  13460  eftcl  13478  eftabs  13480  efcllem  13482  efcj  13496  efaddlem  13497  eflegeo  13524  efi4p  13540  prmreclem6  14101  decsplit  14231  karatsuba  14232  expmhm  18006  mbfi1fseqlem6  21332  itg0  21391  itgz  21392  itgcl  21395  itgcnlem  21401  itgsplit  21447  dvexp  21561  dvexp3  21584  plyf  21800  ply1termlem  21805  plypow  21807  plyeq0lem  21812  plypf1  21814  plyaddlem1  21815  plymullem1  21816  coeeulem  21826  coeidlem  21839  coeid3  21842  plyco  21843  dgrcolem2  21875  plycjlem  21877  plyrecj  21880  vieta1  21912  elqaalem3  21921  aareccl  21926  aalioulem1  21932  geolim3  21939  psergf  22011  dvradcnv  22020  psercn2  22022  pserdvlem2  22027  pserdv2  22029  abelthlem4  22033  abelthlem5  22034  abelthlem6  22035  abelthlem7  22037  abelthlem9  22039  advlogexp  22234  logtayllem  22238  logtayl  22239  logtaylsum  22240  logtayl2  22241  cxpeq  22329  dcubic1lem  22372  dcubic2  22373  dcubic1  22374  dcubic  22375  mcubic  22376  cubic2  22377  cubic  22378  binom4  22379  dquartlem2  22381  dquart  22382  quart1cl  22383  quart1lem  22384  quart1  22385  quartlem1  22386  quartlem2  22387  quart  22390  atantayl  22466  atantayl2  22467  atantayl3  22468  leibpi  22471  log2cnv  22473  log2tlbnd  22474  log2ublem3  22477  ftalem1  22544  ftalem4  22547  ftalem5  22548  basellem3  22554  musum  22665  1sgmprm  22672  perfect  22704  lgsquadlem1  22827  rplogsumlem2  22868  ostth2lem2  23017  ipval2  24255  dipcl  24263  dipcn  24271  sspival  24289  subfacval2  27220  fallrisefac  27673  0risefac  27686  binomrisefac  27690  bpolysum  28341  bpolydiflem  28342  fsumkthpow  28344  bpoly3  28346  bpoly4  28347  fsumcube  28348  jm2.23  29494  lhe4.4ex1a  29752  numclwlk3lem3  30815  altgsumbc  30898  altgsumbcALT  30899
  Copyright terms: Public domain W3C validator