MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl Structured version   Unicode version

Theorem expcl 11875
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
expcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )

Proof of Theorem expcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3370 . 2  |-  CC  C_  CC
2 mulcl 9358 . 2  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
3 ax-1cn 9332 . 2  |-  1  e.  CC
41, 2, 3expcllem 11868 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756  (class class class)co 6086   CCcc 9272   NN0cn0 10571   ^cexp 11857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-seq 11799  df-exp 11858
This theorem is referenced by:  expeq0  11886  expnegz  11890  mulexp  11895  mulexpz  11896  expadd  11898  expaddzlem  11899  expaddz  11900  expmul  11901  expmulz  11902  expdiv  11906  binom3  11977  digit2  11989  digit1  11990  expcld  12000  faclbnd2  12059  faclbnd4lem4  12064  faclbnd6  12067  cjexp  12631  absexp  12785  ackbijnn  13283  binomlem  13284  binom1p  13286  binom1dif  13288  expcnv  13318  geolim  13322  geolim2  13323  geo2sum  13325  geomulcvg  13328  geoisum  13329  geoisumr  13330  geoisum1  13331  geoisum1c  13332  0.999...  13333  eftcl  13351  eftabs  13353  efcllem  13355  efcj  13369  efaddlem  13370  eflegeo  13397  efi4p  13413  prmreclem6  13974  decsplit  14104  karatsuba  14105  expmhm  17855  mbfi1fseqlem6  21173  itg0  21232  itgz  21233  itgcl  21236  itgcnlem  21242  itgsplit  21288  dvexp  21402  dvexp3  21425  plyf  21641  ply1termlem  21646  plypow  21648  plyeq0lem  21653  plypf1  21655  plyaddlem1  21656  plymullem1  21657  coeeulem  21667  coeidlem  21680  coeid3  21683  plyco  21684  dgrcolem2  21716  plycjlem  21718  plyrecj  21721  vieta1  21753  elqaalem3  21762  aareccl  21767  aalioulem1  21773  geolim3  21780  psergf  21852  dvradcnv  21861  psercn2  21863  pserdvlem2  21868  pserdv2  21870  abelthlem4  21874  abelthlem5  21875  abelthlem6  21876  abelthlem7  21878  abelthlem9  21880  advlogexp  22075  logtayllem  22079  logtayl  22080  logtaylsum  22081  logtayl2  22082  cxpeq  22170  dcubic1lem  22213  dcubic2  22214  dcubic1  22215  dcubic  22216  mcubic  22217  cubic2  22218  cubic  22219  binom4  22220  dquartlem2  22222  dquart  22223  quart1cl  22224  quart1lem  22225  quart1  22226  quartlem1  22227  quartlem2  22228  quart  22231  atantayl  22307  atantayl2  22308  atantayl3  22309  leibpi  22312  log2cnv  22314  log2tlbnd  22315  log2ublem3  22318  ftalem1  22385  ftalem4  22388  ftalem5  22389  basellem3  22395  musum  22506  1sgmprm  22513  perfect  22545  lgsquadlem1  22668  rplogsumlem2  22709  ostth2lem2  22858  ipval2  24053  dipcl  24061  dipcn  24069  sspival  24087  subfacval2  27027  fallrisefac  27479  0risefac  27492  binomrisefac  27496  bpolysum  28147  bpolydiflem  28148  fsumkthpow  28150  bpoly3  28152  bpoly4  28153  fsumcube  28154  jm2.23  29298  lhe4.4ex1a  29556  numclwlk3lem3  30619  altgsumbc  30700  altgsumbcALT  30701
  Copyright terms: Public domain W3C validator