MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp1 Structured version   Unicode version

Theorem exp1 12130
Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by NM, 20-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
exp1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  A )

Proof of Theorem exp1
StepHypRef Expression
1 1nn 10538 . . . 4  |-  1  e.  NN
2 expnnval 12127 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  NN )  ->  ( A ^ 1 )  =  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
1 ) )
31, 2mpan2 671 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  1
) )
4 1z 10885 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
5 seq1 12078 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
1 )  =  ( ( NN  X.  { A } ) `  1
) )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
1 )  =  ( ( NN  X.  { A } ) `  1
)
73, 6syl6eq 2519 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  ( ( NN  X.  { A } ) ` 
1 ) )
8 fvconst2g 6107 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { A } ) ` 
1 )  =  A )
91, 8mpan2 671 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( NN  X.  { A } ) `  1
)  =  A )
107, 9eqtrd 2503 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   {csn 4022    X. cxp 4992   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   1c1 9484    x. cmul 9488   NNcn 10527   ZZcz 10855    seqcseq 12065   ^cexp 12124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-seq 12066  df-exp 12125
This theorem is referenced by:  expp1  12131  expn1  12134  expcllem  12135  expeq0  12153  expp1z  12171  expm1  12172  sqval  12184  expnbnd  12252  digit1  12257  exp1d  12262  faclbnd4lem1  12328  climcndslem1  13615  climcndslem2  13616  geoisum1  13642  ef4p  13700  efgt1p2  13701  efgt1p  13702  rpnnen2lem3  13802  modxp1i  14406  numexp1  14413  psgnpmtr  16326  lt6abl  16683  iblcnlem1  21924  itgcnlem  21926  dvexp  22086  dveflem  22110  plyid  22336  coeidp  22389  dgrid  22390  cxp1  22775  1cubrlem  22895  1cubr  22896  log2ublem3  23002  basellem5  23081  perfectlem2  23228  logdivsum  23441  log2sumbnd  23452  ipval2  25281  subfacval2  28259  bpoly1  29378  dvasin  29669  areacirclem1  29673  expmordi  30476  exple2lt6  31899
  Copyright terms: Public domain W3C validator