MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp1 Structured version   Unicode version

Theorem exp1 11854
Description: Value of a complex number raised to the first power. (Contributed by NM, 20-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
exp1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  A )

Proof of Theorem exp1
StepHypRef Expression
1 1nn 10320 . . . 4  |-  1  e.  NN
2 expnnval 11851 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  NN )  ->  ( A ^ 1 )  =  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
1 ) )
31, 2mpan2 664 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  1
) )
4 1z 10663 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
5 seq1 11802 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
1 )  =  ( ( NN  X.  { A } ) `  1
) )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
1 )  =  ( ( NN  X.  { A } ) `  1
)
73, 6syl6eq 2481 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  ( ( NN  X.  { A } ) ` 
1 ) )
8 fvconst2g 5918 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { A } ) ` 
1 )  =  A )
91, 8mpan2 664 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( NN  X.  { A } ) `  1
)  =  A )
107, 9eqtrd 2465 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755   {csn 3865    X. cxp 4825   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   1c1 9270    x. cmul 9274   NNcn 10309   ZZcz 10633    seqcseq 11789   ^cexp 11848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-seq 11790  df-exp 11849
This theorem is referenced by:  expp1  11855  expn1  11858  expcllem  11859  expeq0  11877  expp1z  11895  expm1  11896  sqval  11908  expnbnd  11976  digit1  11981  exp1d  11986  faclbnd4lem1  12052  climcndslem1  13294  climcndslem2  13295  geoisum1  13321  ef4p  13379  efgt1p2  13380  efgt1p  13381  rpnnen2lem3  13481  modxp1i  14081  numexp1  14088  psgnpmtr  15995  lt6abl  16350  iblcnlem1  21106  itgcnlem  21108  dvexp  21268  dveflem  21292  plyid  21561  coeidp  21614  dgrid  21615  cxp1  22000  1cubrlem  22120  1cubr  22121  log2ublem3  22227  basellem5  22306  perfectlem2  22453  logdivsum  22666  log2sumbnd  22677  ipval2  23924  subfacval2  26922  bpoly1  28040  dvasin  28321  areacirclem1  28325  expmordi  29130  areaquad  29434  exple2lt6  30595
  Copyright terms: Public domain W3C validator