MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exp0 Structured version   Unicode version

Theorem exp0 12150
Description: Value of a complex number raised to the 0th power. Note that under our definition,  0 ^ 0  =  1, following the convention used by Gleason. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134. (Contributed by NM, 20-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
exp0  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )

Proof of Theorem exp0
StepHypRef Expression
1 0z 10887 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 expval 12148 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A ^ 0 )  =  if ( 0  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq 1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  0
) ,  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  -u 0 ) ) ) ) )
31, 2mpan2 671 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  if ( 0  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) ` 
0 ) ,  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  , 
( NN  X.  { A } ) ) `  -u 0 ) ) ) ) )
4 eqid 2467 . . 3  |-  0  =  0
54iftruei 3952 . 2  |-  if ( 0  =  0 ,  1 ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq 1 (  x.  ,  ( NN 
X.  { A }
) ) `  0
) ,  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  ( NN  X.  { A } ) ) `  -u 0 ) ) ) )  =  1
63, 5syl6eq 2524 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3945   {csn 4033   class class class wbr 4453    X. cxp 5003   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505    x. cmul 9509    < clt 9640   -ucneg 9818    / cdiv 10218   NNcn 10548   ZZcz 10876    seqcseq 12087   ^cexp 12146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-neg 9820  df-z 10877  df-seq 12088  df-exp 12147
This theorem is referenced by:  0exp0e1  12151  expp1  12153  expneg  12154  expcllem  12157  mulexp  12185  expadd  12188  expmul  12191  leexp1a  12204  exple1  12205  bernneq  12272  modexp  12281  exp0d  12284  faclbnd4lem1  12351  faclbnd4lem3  12353  faclbnd4lem4  12354  cjexp  12963  absexp  13117  binom  13622  incexclem  13628  incexc  13629  climcndslem1  13641  ege2le3  13704  eft0val  13725  demoivreALT  13814  bits0  13954  0bits  13965  bitsinv1  13968  sadcadd  13984  smumullem  14018  numexp0  14438  psgnunilem4  16395  psgn0fv0  16409  psgnsn  16418  psgnprfval1  16420  cnfldexp  18321  expmhm  18355  expcn  21244  iblcnlem1  22062  itgcnlem  22064  dvexp  22224  dvexp2  22225  plyconst  22471  0dgr  22510  0dgrb  22511  aaliou3lem2  22606  cxp0  22917  1cubr  23039  log2ublem3  23145  basellem2  23221  basellem5  23224  lgsquad2lem2  23500  rusgranumwlk  24780  oddpwdc  28118  subfacval2  28456  fprodconst  29035  fallfac0  29077  bpoly0  29739  m1expeven  31464  stoweidlem19  31642
  Copyright terms: Public domain W3C validator