MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  exfo Structured version   Unicode version

Theorem exfo 5971
Description: A relation equivalent to the existence of an onto mapping. The right-hand  f is not necessarily a function. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
exfo  |-  ( E. f  f : A -onto-> B 
<->  E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem exfo
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffo4 5969 . . . 4  |-  ( f : A -onto-> B  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x ) )
2 dff4 5967 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  <->  ( f  C_  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f
y ) )
32simprbi 464 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y )
43anim1i 568 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x )  -> 
( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f x ) )
51, 4sylbi 195 . . 3  |-  ( f : A -onto-> B  -> 
( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f x ) )
65eximi 1626 . 2  |-  ( E. f  f : A -onto-> B  ->  E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x ) )
7 brinxp 5010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x f y  <-> 
x ( f  i^i  ( A  X.  B
) ) y ) )
87reubidva 3010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( E! y  e.  B  x f y  <->  E! y  e.  B  x (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) y ) )
98biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( E! y  e.  B  x f y  ->  E! y  e.  B  x ( f  i^i  ( A  X.  B
) ) y ) )
109ralimia 2817 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  ->  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) y )
11 inss2 3680 . . . . . . . . 9  |-  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  C_  ( A  X.  B
)
1210, 11jctil 537 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  ->  (
( f  i^i  ( A  X.  B ) ) 
C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
( f  i^i  ( A  X.  B ) ) y ) )
13 dff4 5967 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A --> B  <->  ( (
f  i^i  ( A  X.  B ) )  C_  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) y ) )
1412, 13sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  ->  (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A --> B )
15 rninxp 5386 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  =  B  <->  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f
x )
1615biimpri 206 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x  ->  ran  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  =  B )
1714, 16anim12i 566 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x )  -> 
( ( f  i^i  ( A  X.  B
) ) : A --> B  /\  ran  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  =  B ) )
18 dffo2 5733 . . . . . 6  |-  ( ( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A -onto-> B  <->  ( (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A --> B  /\  ran  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  =  B ) )
1917, 18sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x )  -> 
( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A -onto-> B )
20 vex 3081 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
2120inex1 4542 . . . . . 6  |-  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  e. 
_V
22 foeq1 5725 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  i^i  ( A  X.  B
) )  ->  (
g : A -onto-> B  <->  ( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A -onto-> B ) )
2321, 22spcev 3170 . . . . 5  |-  ( ( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A -onto-> B  ->  E. g  g : A -onto-> B )
2419, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x )  ->  E. g  g : A -onto-> B )
2524exlimiv 1689 . . 3  |-  ( E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f
y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f
x )  ->  E. g 
g : A -onto-> B
)
26 foeq1 5725 . . . 4  |-  ( g  =  f  ->  (
g : A -onto-> B  <->  f : A -onto-> B ) )
2726cbvexv 1984 . . 3  |-  ( E. g  g : A -onto-> B 
<->  E. f  f : A -onto-> B )
2825, 27sylib 196 . 2  |-  ( E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f
y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f
x )  ->  E. f 
f : A -onto-> B
)
296, 28impbii 188 1  |-  ( E. f  f : A -onto-> B 
<->  E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   E!wreu 2801    i^i cin 3436    C_ wss 3437   class class class wbr 4401    X. cxp 4947   ran crn 4950   -->wf 5523   -onto->wfo 5525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pr 4640
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-fo 5533  df-fv 5535
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator