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Theorem exfo 6050
Description: A relation equivalent to the existence of an onto mapping. The right-hand  f is not necessarily a function. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
exfo  |-  ( E. f  f : A -onto-> B 
<->  E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, A    B, f, x, y

Proof of Theorem exfo
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffo4 6048 . . . 4  |-  ( f : A -onto-> B  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x ) )
2 dff4 6046 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  <->  ( f  C_  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f
y ) )
32simprbi 464 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y )
43anim1i 568 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x )  -> 
( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f x ) )
51, 4sylbi 195 . . 3  |-  ( f : A -onto-> B  -> 
( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f x ) )
65eximi 1657 . 2  |-  ( E. f  f : A -onto-> B  ->  E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x ) )
7 brinxp 5071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x f y  <-> 
x ( f  i^i  ( A  X.  B
) ) y ) )
87reubidva 3041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( E! y  e.  B  x f y  <->  E! y  e.  B  x (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) y ) )
98biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( E! y  e.  B  x f y  ->  E! y  e.  B  x ( f  i^i  ( A  X.  B
) ) y ) )
109ralimia 2848 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  ->  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) y )
11 inss2 3715 . . . . . . . . 9  |-  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  C_  ( A  X.  B
)
1210, 11jctil 537 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  ->  (
( f  i^i  ( A  X.  B ) ) 
C_  ( A  X.  B )  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
( f  i^i  ( A  X.  B ) ) y ) )
13 dff4 6046 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A --> B  <->  ( (
f  i^i  ( A  X.  B ) )  C_  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  B  x (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) y ) )
1412, 13sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  ->  (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A --> B )
15 rninxp 5453 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  =  B  <->  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f
x )
1615biimpri 206 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x  ->  ran  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  =  B )
1714, 16anim12i 566 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x )  -> 
( ( f  i^i  ( A  X.  B
) ) : A --> B  /\  ran  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  =  B ) )
18 dffo2 5805 . . . . . 6  |-  ( ( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A -onto-> B  <->  ( (
f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A --> B  /\  ran  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  =  B ) )
1917, 18sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x )  -> 
( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A -onto-> B )
20 vex 3112 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
2120inex1 4597 . . . . . 6  |-  ( f  i^i  ( A  X.  B ) )  e. 
_V
22 foeq1 5797 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  i^i  ( A  X.  B
) )  ->  (
g : A -onto-> B  <->  ( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A -onto-> B ) )
2321, 22spcev 3201 . . . . 5  |-  ( ( f  i^i  ( A  X.  B ) ) : A -onto-> B  ->  E. g  g : A -onto-> B )
2419, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x )  ->  E. g  g : A -onto-> B )
2524exlimiv 1723 . . 3  |-  ( E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f
y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f
x )  ->  E. g 
g : A -onto-> B
)
26 foeq1 5797 . . . 4  |-  ( g  =  f  ->  (
g : A -onto-> B  <->  f : A -onto-> B ) )
2726cbvexv 2025 . . 3  |-  ( E. g  g : A -onto-> B 
<->  E. f  f : A -onto-> B )
2825, 27sylib 196 . 2  |-  ( E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x f
y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y f
x )  ->  E. f 
f : A -onto-> B
)
296, 28impbii 188 1  |-  ( E. f  f : A -onto-> B 
<->  E. f ( A. x  e.  A  E! y  e.  B  x
f y  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  y
f x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   E!wreu 2809    i^i cin 3470    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    X. cxp 5006   ran crn 5009   -->wf 5590   -onto->wfo 5592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fo 5600  df-fv 5602
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