MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-xp Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ex-xp 25965
Description: Example for df-xp 4845. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-xp  |-  ( { 1 ,  5 }  X.  { 2 ,  7 } )  =  ( { <. 1 ,  2 >. ,  <. 1 ,  7 >. }  u.  { <. 5 ,  2 >. ,  <. 5 ,  7 >. } )

Proof of Theorem ex-xp
StepHypRef Expression
1 df-pr 3962 . . 3  |-  { 1 ,  5 }  =  ( { 1 }  u.  { 5 } )
2 df-pr 3962 . . 3  |-  { 2 ,  7 }  =  ( { 2 }  u.  { 7 } )
31, 2xpeq12i 4861 . 2  |-  ( { 1 ,  5 }  X.  { 2 ,  7 } )  =  ( ( { 1 }  u.  { 5 } )  X.  ( { 2 }  u.  { 7 } ) )
4 xpun 4897 . 2  |-  ( ( { 1 }  u.  { 5 } )  X.  ( { 2 }  u.  { 7 } ) )  =  ( ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  { 7 } ) )  u.  ( ( { 5 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) ) )
5 1ex 9656 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
6 2nn 10790 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
76elexi 3041 . . . . . 6  |-  2  e.  _V
85, 7xpsn 6082 . . . . 5  |-  ( { 1 }  X.  {
2 } )  =  { <. 1 ,  2
>. }
9 7nn 10795 . . . . . . 7  |-  7  e.  NN
109elexi 3041 . . . . . 6  |-  7  e.  _V
115, 10xpsn 6082 . . . . 5  |-  ( { 1 }  X.  {
7 } )  =  { <. 1 ,  7
>. }
128, 11uneq12i 3577 . . . 4  |-  ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  { 7 } ) )  =  ( { <. 1 ,  2 >. }  u.  {
<. 1 ,  7
>. } )
13 df-pr 3962 . . . 4  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 1 ,  7
>. }  =  ( {
<. 1 ,  2
>. }  u.  { <. 1 ,  7 >. } )
1412, 13eqtr4i 2496 . . 3  |-  ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  { 7 } ) )  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 1 ,  7 >. }
15 5nn 10793 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
1615elexi 3041 . . . . . 6  |-  5  e.  _V
1716, 7xpsn 6082 . . . . 5  |-  ( { 5 }  X.  {
2 } )  =  { <. 5 ,  2
>. }
1816, 10xpsn 6082 . . . . 5  |-  ( { 5 }  X.  {
7 } )  =  { <. 5 ,  7
>. }
1917, 18uneq12i 3577 . . . 4  |-  ( ( { 5 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) )  =  ( { <. 5 ,  2 >. }  u.  {
<. 5 ,  7
>. } )
20 df-pr 3962 . . . 4  |-  { <. 5 ,  2 >. , 
<. 5 ,  7
>. }  =  ( {
<. 5 ,  2
>. }  u.  { <. 5 ,  7 >. } )
2119, 20eqtr4i 2496 . . 3  |-  ( ( { 5 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) )  =  { <. 5 ,  2
>. ,  <. 5 ,  7 >. }
2214, 21uneq12i 3577 . 2  |-  ( ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  {
7 } ) )  u.  ( ( { 5 }  X.  {
2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) ) )  =  ( { <. 1 ,  2 >. ,  <. 1 ,  7 >. }  u.  { <. 5 ,  2 >. ,  <. 5 ,  7 >. } )
233, 4, 223eqtri 2497 1  |-  ( { 1 ,  5 }  X.  { 2 ,  7 } )  =  ( { <. 1 ,  2 >. ,  <. 1 ,  7 >. }  u.  { <. 5 ,  2 >. ,  <. 5 ,  7 >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1452    u. cun 3388   {csn 3959   {cpr 3961   <.cop 3965    X. cxp 4837   1c1 9558   NNcn 10631   2c2 10681   5c5 10684   7c7 10686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-1cn 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator