Theorem ex-xp 25878

Description: Example for df-xp 4857. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-xp	|- ( { 1 , 5 } X. { 2 , 7 } ) = ( { <. 1 , 2 >. , <. 1 , 7 >. } u. { <. 5 , 2 >. , <. 5 , 7 >. } )

Proof of Theorem ex-xp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4000	. . 3 |- { 1 , 5 } = ( { 1 } u. { 5 } )
2		df-pr 4000	. . 3 |- { 2 , 7 } = ( { 2 } u. { 7 } )
3	1, 2	xpeq12i 4873	. 2 |- ( { 1 , 5 } X. { 2 , 7 } ) = ( ( { 1 } u. { 5 } ) X. ( { 2 } u. { 7 } ) )
4		xpun 4909	. 2 |- ( ( { 1 } u. { 5 } ) X. ( { 2 } u. { 7 } ) ) = ( ( ( { 1 } X. { 2 } ) u. ( { 1 } X. { 7 } ) ) u. ( ( { 5 } X. { 2 } ) u. ( { 5 } X. { 7 } ) ) )
5		1ex 9640	. . . . . 6 |- 1 e. _V
6		2nn 10769	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
7	6	elexi 3092	. . . . . 6 |- 2 e. _V
8	5, 7	xpsn 6079	. . . . 5 |- ( { 1 } X. { 2 } ) = { <. 1 , 2 >. }
9		7nn 10774	. . . . . . 7 |- 7 e. NN
10	9	elexi 3092	. . . . . 6 |- 7 e. _V
11	5, 10	xpsn 6079	. . . . 5 |- ( { 1 } X. { 7 } ) = { <. 1 , 7 >. }
12	8, 11	uneq12i 3619	. . . 4 |- ( ( { 1 } X. { 2 } ) u. ( { 1 } X. { 7 } ) ) = ( { <. 1 , 2 >. } u. { <. 1 , 7 >. } )
13		df-pr 4000	. . . 4 |- { <. 1 , 2 >. , <. 1 , 7 >. } = ( { <. 1 , 2 >. } u. { <. 1 , 7 >. } )
14	12, 13	eqtr4i 2455	. . 3 |- ( ( { 1 } X. { 2 } ) u. ( { 1 } X. { 7 } ) ) = { <. 1 , 2 >. , <. 1 , 7 >. }
15		5nn 10772	. . . . . . 7 |- 5 e. NN
16	15	elexi 3092	. . . . . 6 |- 5 e. _V
17	16, 7	xpsn 6079	. . . . 5 |- ( { 5 } X. { 2 } ) = { <. 5 , 2 >. }
18	16, 10	xpsn 6079	. . . . 5 |- ( { 5 } X. { 7 } ) = { <. 5 , 7 >. }
19	17, 18	uneq12i 3619	. . . 4 |- ( ( { 5 } X. { 2 } ) u. ( { 5 } X. { 7 } ) ) = ( { <. 5 , 2 >. } u. { <. 5 , 7 >. } )
20		df-pr 4000	. . . 4 |- { <. 5 , 2 >. , <. 5 , 7 >. } = ( { <. 5 , 2 >. } u. { <. 5 , 7 >. } )
21	19, 20	eqtr4i 2455	. . 3 |- ( ( { 5 } X. { 2 } ) u. ( { 5 } X. { 7 } ) ) = { <. 5 , 2 >. , <. 5 , 7 >. }
22	14, 21	uneq12i 3619	. 2 |- ( ( ( { 1 } X. { 2 } ) u. ( { 1 } X. { 7 } ) ) u. ( ( { 5 } X. { 2 } ) u. ( { 5 } X. { 7 } ) ) ) = ( { <. 1 , 2 >. , <. 1 , 7 >. } u. { <. 5 , 2 >. , <. 5 , 7 >. } )
23	3, 4, 22	3eqtri 2456	1 |- ( { 1 , 5 } X. { 2 , 7 } ) = ( { <. 1 , 2 >. , <. 1 , 7 >. } u. { <. 5 , 2 >. , <. 5 , 7 >. } )

Syntax hints:   = wceq 1438   u. cun 3435   {csn 3997   {cpr 3999   <.cop 4003   X. cxp 4849   1c1 9542   NNcn 10611   2c2 10661   5c5 10664   7c7 10666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-1cn 9599

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675

This theorem is referenced by: (None)