Theorem ex-xp 25965

Description: Example for df-xp 4845. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-xp	|- ( { 1 , 5 } X. { 2 , 7 } ) = ( { <. 1 , 2 >. , <. 1 , 7 >. } u. { <. 5 , 2 >. , <. 5 , 7 >. } )

Proof of Theorem ex-xp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3962	. . 3 |- { 1 , 5 } = ( { 1 } u. { 5 } )
2		df-pr 3962	. . 3 |- { 2 , 7 } = ( { 2 } u. { 7 } )
3	1, 2	xpeq12i 4861	. 2 |- ( { 1 , 5 } X. { 2 , 7 } ) = ( ( { 1 } u. { 5 } ) X. ( { 2 } u. { 7 } ) )
4		xpun 4897	. 2 |- ( ( { 1 } u. { 5 } ) X. ( { 2 } u. { 7 } ) ) = ( ( ( { 1 } X. { 2 } ) u. ( { 1 } X. { 7 } ) ) u. ( ( { 5 } X. { 2 } ) u. ( { 5 } X. { 7 } ) ) )
5		1ex 9656	. . . . . 6 |- 1 e. _V
6		2nn 10790	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
7	6	elexi 3041	. . . . . 6 |- 2 e. _V
8	5, 7	xpsn 6082	. . . . 5 |- ( { 1 } X. { 2 } ) = { <. 1 , 2 >. }
9		7nn 10795	. . . . . . 7 |- 7 e. NN
10	9	elexi 3041	. . . . . 6 |- 7 e. _V
11	5, 10	xpsn 6082	. . . . 5 |- ( { 1 } X. { 7 } ) = { <. 1 , 7 >. }
12	8, 11	uneq12i 3577	. . . 4 |- ( ( { 1 } X. { 2 } ) u. ( { 1 } X. { 7 } ) ) = ( { <. 1 , 2 >. } u. { <. 1 , 7 >. } )
13		df-pr 3962	. . . 4 |- { <. 1 , 2 >. , <. 1 , 7 >. } = ( { <. 1 , 2 >. } u. { <. 1 , 7 >. } )
14	12, 13	eqtr4i 2496	. . 3 |- ( ( { 1 } X. { 2 } ) u. ( { 1 } X. { 7 } ) ) = { <. 1 , 2 >. , <. 1 , 7 >. }
15		5nn 10793	. . . . . . 7 |- 5 e. NN
16	15	elexi 3041	. . . . . 6 |- 5 e. _V
17	16, 7	xpsn 6082	. . . . 5 |- ( { 5 } X. { 2 } ) = { <. 5 , 2 >. }
18	16, 10	xpsn 6082	. . . . 5 |- ( { 5 } X. { 7 } ) = { <. 5 , 7 >. }
19	17, 18	uneq12i 3577	. . . 4 |- ( ( { 5 } X. { 2 } ) u. ( { 5 } X. { 7 } ) ) = ( { <. 5 , 2 >. } u. { <. 5 , 7 >. } )
20		df-pr 3962	. . . 4 |- { <. 5 , 2 >. , <. 5 , 7 >. } = ( { <. 5 , 2 >. } u. { <. 5 , 7 >. } )
21	19, 20	eqtr4i 2496	. . 3 |- ( ( { 5 } X. { 2 } ) u. ( { 5 } X. { 7 } ) ) = { <. 5 , 2 >. , <. 5 , 7 >. }
22	14, 21	uneq12i 3577	. 2 |- ( ( ( { 1 } X. { 2 } ) u. ( { 1 } X. { 7 } ) ) u. ( ( { 5 } X. { 2 } ) u. ( { 5 } X. { 7 } ) ) ) = ( { <. 1 , 2 >. , <. 1 , 7 >. } u. { <. 5 , 2 >. , <. 5 , 7 >. } )
23	3, 4, 22	3eqtri 2497	1 |- ( { 1 , 5 } X. { 2 , 7 } ) = ( { <. 1 , 2 >. , <. 1 , 7 >. } u. { <. 5 , 2 >. , <. 5 , 7 >. } )

Syntax hints:   = wceq 1452   u. cun 3388   {csn 3959   {cpr 3961   <.cop 3965   X. cxp 4837   1c1 9558   NNcn 10631   2c2 10681   5c5 10684   7c7 10686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-1cn 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695

This theorem is referenced by: (None)