MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-xp Structured version   Unicode version

Theorem ex-xp 25878
Description: Example for df-xp 4857. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-xp  |-  ( { 1 ,  5 }  X.  { 2 ,  7 } )  =  ( { <. 1 ,  2 >. ,  <. 1 ,  7 >. }  u.  { <. 5 ,  2 >. ,  <. 5 ,  7 >. } )

Proof of Theorem ex-xp
StepHypRef Expression
1 df-pr 4000 . . 3  |-  { 1 ,  5 }  =  ( { 1 }  u.  { 5 } )
2 df-pr 4000 . . 3  |-  { 2 ,  7 }  =  ( { 2 }  u.  { 7 } )
31, 2xpeq12i 4873 . 2  |-  ( { 1 ,  5 }  X.  { 2 ,  7 } )  =  ( ( { 1 }  u.  { 5 } )  X.  ( { 2 }  u.  { 7 } ) )
4 xpun 4909 . 2  |-  ( ( { 1 }  u.  { 5 } )  X.  ( { 2 }  u.  { 7 } ) )  =  ( ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  { 7 } ) )  u.  ( ( { 5 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) ) )
5 1ex 9640 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
6 2nn 10769 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
76elexi 3092 . . . . . 6  |-  2  e.  _V
85, 7xpsn 6079 . . . . 5  |-  ( { 1 }  X.  {
2 } )  =  { <. 1 ,  2
>. }
9 7nn 10774 . . . . . . 7  |-  7  e.  NN
109elexi 3092 . . . . . 6  |-  7  e.  _V
115, 10xpsn 6079 . . . . 5  |-  ( { 1 }  X.  {
7 } )  =  { <. 1 ,  7
>. }
128, 11uneq12i 3619 . . . 4  |-  ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  { 7 } ) )  =  ( { <. 1 ,  2 >. }  u.  {
<. 1 ,  7
>. } )
13 df-pr 4000 . . . 4  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 1 ,  7
>. }  =  ( {
<. 1 ,  2
>. }  u.  { <. 1 ,  7 >. } )
1412, 13eqtr4i 2455 . . 3  |-  ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  { 7 } ) )  =  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 1 ,  7 >. }
15 5nn 10772 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
1615elexi 3092 . . . . . 6  |-  5  e.  _V
1716, 7xpsn 6079 . . . . 5  |-  ( { 5 }  X.  {
2 } )  =  { <. 5 ,  2
>. }
1816, 10xpsn 6079 . . . . 5  |-  ( { 5 }  X.  {
7 } )  =  { <. 5 ,  7
>. }
1917, 18uneq12i 3619 . . . 4  |-  ( ( { 5 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) )  =  ( { <. 5 ,  2 >. }  u.  {
<. 5 ,  7
>. } )
20 df-pr 4000 . . . 4  |-  { <. 5 ,  2 >. , 
<. 5 ,  7
>. }  =  ( {
<. 5 ,  2
>. }  u.  { <. 5 ,  7 >. } )
2119, 20eqtr4i 2455 . . 3  |-  ( ( { 5 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) )  =  { <. 5 ,  2
>. ,  <. 5 ,  7 >. }
2214, 21uneq12i 3619 . 2  |-  ( ( ( { 1 }  X.  { 2 } )  u.  ( { 1 }  X.  {
7 } ) )  u.  ( ( { 5 }  X.  {
2 } )  u.  ( { 5 }  X.  { 7 } ) ) )  =  ( { <. 1 ,  2 >. ,  <. 1 ,  7 >. }  u.  { <. 5 ,  2 >. ,  <. 5 ,  7 >. } )
233, 4, 223eqtri 2456 1  |-  ( { 1 ,  5 }  X.  { 2 ,  7 } )  =  ( { <. 1 ,  2 >. ,  <. 1 ,  7 >. }  u.  { <. 5 ,  2 >. ,  <. 5 ,  7 >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1438    u. cun 3435   {csn 3997   {cpr 3999   <.cop 4003    X. cxp 4849   1c1 9542   NNcn 10611   2c2 10661   5c5 10664   7c7 10666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-1cn 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator