MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-res Structured version   Unicode version

Theorem ex-res 25289
Description: Example for df-res 5020. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-res  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( F  |`  B )  =  { <. 2 ,  6
>. } )

Proof of Theorem ex-res
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  F  =  { <. 2 ,  6
>. ,  <. 3 ,  9 >. } )
2 df-pr 4035 . . . . 5  |-  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  =  ( {
<. 2 ,  6
>. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )
31, 2syl6eq 2514 . . . 4  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  F  =  ( { <. 2 ,  6 >. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } ) )
43reseq1d 5282 . . 3  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( F  |`  B )  =  ( ( { <. 2 ,  6 >. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )  |`  B ) )
5 resundir 5298 . . 3  |-  ( ( { <. 2 ,  6
>. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )  |`  B )  =  ( ( {
<. 2 ,  6
>. }  |`  B )  u.  ( { <. 3 ,  9 >. }  |`  B ) )
64, 5syl6eq 2514 . 2  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( F  |`  B )  =  ( ( { <. 2 ,  6 >. }  |`  B )  u.  ( { <. 3 ,  9
>. }  |`  B )
) )
7 2re 10626 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
87elexi 3119 . . . . . 6  |-  2  e.  _V
9 6re 10637 . . . . . . 7  |-  6  e.  RR
109elexi 3119 . . . . . 6  |-  6  e.  _V
118, 10relsnop 5116 . . . . 5  |-  Rel  { <. 2 ,  6 >. }
12 dmsnopss 5486 . . . . . 6  |-  dom  { <. 2 ,  6 >. }  C_  { 2 }
13 snsspr2 4182 . . . . . . 7  |-  { 2 }  C_  { 1 ,  2 }
14 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  B  =  { 1 ,  2 } )
1513, 14syl5sseqr 3548 . . . . . 6  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  { 2 }  C_  B )
1612, 15syl5ss 3510 . . . . 5  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  dom  {
<. 2 ,  6
>. }  C_  B )
17 relssres 5321 . . . . 5  |-  ( ( Rel  { <. 2 ,  6 >. }  /\  dom  { <. 2 ,  6
>. }  C_  B )  ->  ( { <. 2 ,  6 >. }  |`  B )  =  { <. 2 ,  6 >. } )
1811, 16, 17sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( { <. 2 ,  6
>. }  |`  B )  =  { <. 2 ,  6
>. } )
19 1re 9612 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
20 1lt3 10725 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
2119, 20gtneii 9713 . . . . . . 7  |-  3  =/=  1
22 2lt3 10724 . . . . . . . 8  |-  2  <  3
237, 22gtneii 9713 . . . . . . 7  |-  3  =/=  2
2421, 23nelpri 4053 . . . . . 6  |-  -.  3  e.  { 1 ,  2 }
2514eleq2d 2527 . . . . . 6  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  (
3  e.  B  <->  3  e.  { 1 ,  2 } ) )
2624, 25mtbiri 303 . . . . 5  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  -.  3  e.  B )
27 ressnop0 6079 . . . . 5  |-  ( -.  3  e.  B  -> 
( { <. 3 ,  9 >. }  |`  B )  =  (/) )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( { <. 3 ,  9
>. }  |`  B )  =  (/) )
2918, 28uneq12d 3655 . . 3  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  (
( { <. 2 ,  6 >. }  |`  B )  u.  ( { <. 3 ,  9 >. }  |`  B ) )  =  ( { <. 2 ,  6 >. }  u.  (/) ) )
30 un0 3819 . . 3  |-  ( {
<. 2 ,  6
>. }  u.  (/) )  =  { <. 2 ,  6
>. }
3129, 30syl6eq 2514 . 2  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  (
( { <. 2 ,  6 >. }  |`  B )  u.  ( { <. 3 ,  9 >. }  |`  B ) )  =  { <. 2 ,  6
>. } )
326, 31eqtrd 2498 1  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( F  |`  B )  =  { <. 2 ,  6
>. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    u. cun 3469    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   {cpr 4034   <.cop 4038   dom cdm 5008    |` cres 5010   Rel wrel 5013   RRcr 9508   1c1 9510   2c2 10606   3c3 10607   6c6 10610   9c9 10613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619
This theorem is referenced by:  ex-ima  25290
  Copyright terms: Public domain W3C validator