Theorem ex-pw 25879

Description: Example for df-pw 3953. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ex-pw	|- ( A = { 3 , 5 , 7 } -> ~P A = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) )

Proof of Theorem ex-pw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 3954	. 2 |- ( A = { 3 , 5 , 7 } -> ~P A = ~P { 3 , 5 , 7 } )
2		qdass 4071	. . . 4 |- ( { (/) , { 3 } } u. { { 5 } , { 3 , 5 } } ) = ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } )
3		qdassr 4072	. . . 4 |- ( { { 7 } , { 3 , 7 } } u. { { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } )
4	2, 3	uneq12i 3586	. . 3 |- ( ( { (/) , { 3 } } u. { { 5 } , { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } , { 3 , 7 } } u. { { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
5		pwtp 4195	. . 3 |- ~P { 3 , 5 , 7 } = ( ( { (/) , { 3 } } u. { { 5 } , { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } , { 3 , 7 } } u. { { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
6		df-tp 3973	. . . . . . . 8 |- { { 3 } , { 5 } , { 7 } } = ( { { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } )
7	6	uneq2i 3585	. . . . . . 7 |- ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) = ( { (/) } u. ( { { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) )
8		unass 3591	. . . . . . 7 |- ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } ) u. { { 7 } } ) = ( { (/) } u. ( { { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) )
9	7, 8	eqtr4i 2476	. . . . . 6 |- ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } ) u. { { 7 } } )
10		tpass 4070	. . . . . . 7 |- { (/) , { 3 } , { 5 } } = ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } )
11	10	uneq1i 3584	. . . . . 6 |- ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } ) u. { { 7 } } )
12	9, 11	eqtr4i 2476	. . . . 5 |- ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) = ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } )
13		unass 3591	. . . . . 6 |- ( ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } ) u. { { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 3 , 5 } } u. ( { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) )
14		tpass 4070	. . . . . . 7 |- { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } = ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } )
15	14	uneq1i 3584	. . . . . 6 |- ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) = ( ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } ) u. { { 3 , 5 , 7 } } )
16		df-tp 3973	. . . . . . 7 |- { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } = ( { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } )
17	16	uneq2i 3585	. . . . . 6 |- ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 3 , 5 } } u. ( { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) )
18	13, 15, 17	3eqtr4i 2483	. . . . 5 |- ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } )
19	12, 18	uneq12i 3586	. . . 4 |- ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
20		un4 3594	. . . 4 |- ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
21	19, 20	eqtr4i 2476	. . 3 |- ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
22	4, 5, 21	3eqtr4i 2483	. 2 |- ~P { 3 , 5 , 7 } = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) )
23	1, 22	syl6eq 2501	1 |- ( A = { 3 , 5 , 7 } -> ~P A = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1444   u. cun 3402   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   {cpr 3970   {ctp 3972   3c3 10660   5c5 10662   7c7 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ral 2742  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973

This theorem is referenced by: (None)