Theorem ex-pw 25015

Description: Example for df-pw 3995. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ex-pw	|- ( A = { 3 , 5 , 7 } -> ~P A = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) )

Proof of Theorem ex-pw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 3996	. 2 |- ( A = { 3 , 5 , 7 } -> ~P A = ~P { 3 , 5 , 7 } )
2		qdass 4110	. . . 4 |- ( { (/) , { 3 } } u. { { 5 } , { 3 , 5 } } ) = ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } )
3		qdassr 4111	. . . 4 |- ( { { 7 } , { 3 , 7 } } u. { { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } )
4	2, 3	uneq12i 3638	. . 3 |- ( ( { (/) , { 3 } } u. { { 5 } , { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } , { 3 , 7 } } u. { { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
5		pwtp 4227	. . 3 |- ~P { 3 , 5 , 7 } = ( ( { (/) , { 3 } } u. { { 5 } , { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } , { 3 , 7 } } u. { { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
6		df-tp 4015	. . . . . . . 8 |- { { 3 } , { 5 } , { 7 } } = ( { { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } )
7	6	uneq2i 3637	. . . . . . 7 |- ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) = ( { (/) } u. ( { { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) )
8		unass 3643	. . . . . . 7 |- ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } ) u. { { 7 } } ) = ( { (/) } u. ( { { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) )
9	7, 8	eqtr4i 2473	. . . . . 6 |- ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } ) u. { { 7 } } )
10		tpass 4109	. . . . . . 7 |- { (/) , { 3 } , { 5 } } = ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } )
11	10	uneq1i 3636	. . . . . 6 |- ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } ) u. { { 7 } } )
12	9, 11	eqtr4i 2473	. . . . 5 |- ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) = ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } )
13		unass 3643	. . . . . 6 |- ( ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } ) u. { { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 3 , 5 } } u. ( { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) )
14		tpass 4109	. . . . . . 7 |- { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } = ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } )
15	14	uneq1i 3636	. . . . . 6 |- ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) = ( ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } ) u. { { 3 , 5 , 7 } } )
16		df-tp 4015	. . . . . . 7 |- { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } = ( { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } )
17	16	uneq2i 3637	. . . . . 6 |- ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 3 , 5 } } u. ( { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) )
18	13, 15, 17	3eqtr4i 2480	. . . . 5 |- ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } )
19	12, 18	uneq12i 3638	. . . 4 |- ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
20		un4 3646	. . . 4 |- ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
21	19, 20	eqtr4i 2473	. . 3 |- ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
22	4, 5, 21	3eqtr4i 2480	. 2 |- ~P { 3 , 5 , 7 } = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) )
23	1, 22	syl6eq 2498	1 |- ( A = { 3 , 5 , 7 } -> ~P A = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1381   u. cun 3456   (/)c0 3767   ~Pcpw 3993   {csn 4010   {cpr 4012   {ctp 4014   3c3 10587   5c5 10589   7c7 10591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ral 2796  df-v 3095  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015

This theorem is referenced by: (None)