Theorem ex-pw 24815

Description: Example for df-pw 4007. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ex-pw	|- ( A = { 3 , 5 , 7 } -> ~P A = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) )

Proof of Theorem ex-pw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4008	. 2 |- ( A = { 3 , 5 , 7 } -> ~P A = ~P { 3 , 5 , 7 } )
2		qdass 4121	. . . 4 |- ( { (/) , { 3 } } u. { { 5 } , { 3 , 5 } } ) = ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } )
3		qdassr 4122	. . . 4 |- ( { { 7 } , { 3 , 7 } } u. { { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } )
4	2, 3	uneq12i 3651	. . 3 |- ( ( { (/) , { 3 } } u. { { 5 } , { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } , { 3 , 7 } } u. { { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
5		pwtp 4237	. . 3 |- ~P { 3 , 5 , 7 } = ( ( { (/) , { 3 } } u. { { 5 } , { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } , { 3 , 7 } } u. { { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
6		df-tp 4027	. . . . . . . 8 |- { { 3 } , { 5 } , { 7 } } = ( { { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } )
7	6	uneq2i 3650	. . . . . . 7 |- ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) = ( { (/) } u. ( { { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) )
8		unass 3656	. . . . . . 7 |- ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } ) u. { { 7 } } ) = ( { (/) } u. ( { { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) )
9	7, 8	eqtr4i 2494	. . . . . 6 |- ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } ) u. { { 7 } } )
10		tpass 4120	. . . . . . 7 |- { (/) , { 3 } , { 5 } } = ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } )
11	10	uneq1i 3649	. . . . . 6 |- ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } ) u. { { 7 } } )
12	9, 11	eqtr4i 2494	. . . . 5 |- ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) = ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } )
13		unass 3656	. . . . . 6 |- ( ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } ) u. { { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 3 , 5 } } u. ( { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) )
14		tpass 4120	. . . . . . 7 |- { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } = ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } )
15	14	uneq1i 3649	. . . . . 6 |- ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) = ( ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } ) u. { { 3 , 5 , 7 } } )
16		df-tp 4027	. . . . . . 7 |- { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } = ( { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } )
17	16	uneq2i 3650	. . . . . 6 |- ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 3 , 5 } } u. ( { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) )
18	13, 15, 17	3eqtr4i 2501	. . . . 5 |- ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } )
19	12, 18	uneq12i 3651	. . . 4 |- ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
20		un4 3659	. . . 4 |- ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
21	19, 20	eqtr4i 2494	. . 3 |- ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
22	4, 5, 21	3eqtr4i 2501	. 2 |- ~P { 3 , 5 , 7 } = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) )
23	1, 22	syl6eq 2519	1 |- ( A = { 3 , 5 , 7 } -> ~P A = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1374   u. cun 3469   (/)c0 3780   ~Pcpw 4005   {csn 4022   {cpr 4024   {ctp 4026   3c3 10577   5c5 10579   7c7 10581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ral 2814  df-v 3110  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027

This theorem is referenced by: (None)