MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-pw Structured version   Unicode version

Theorem ex-pw 25865
Description: Example for df-pw 3981. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
ex-pw  |-  ( A  =  { 3 ,  5 ,  7 }  ->  ~P A  =  ( ( { (/) }  u.  { { 3 } ,  { 5 } ,  { 7 } } )  u.  ( { { 3 ,  5 } ,  { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }  u.  { { 3 ,  5 ,  7 } } ) ) )

Proof of Theorem ex-pw
StepHypRef Expression
1 pweq 3982 . 2  |-  ( A  =  { 3 ,  5 ,  7 }  ->  ~P A  =  ~P { 3 ,  5 ,  7 } )
2 qdass 4096 . . . 4  |-  ( {
(/) ,  { 3 } }  u.  { {
5 } ,  {
3 ,  5 } } )  =  ( { (/) ,  { 3 } ,  { 5 } }  u.  { { 3 ,  5 } } )
3 qdassr 4097 . . . 4  |-  ( { { 7 } ,  { 3 ,  7 } }  u.  { { 5 ,  7 } ,  { 3 ,  5 ,  7 } } )  =  ( { { 7 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } ,  { 3 ,  5 ,  7 } }
)
42, 3uneq12i 3618 . . 3  |-  ( ( { (/) ,  { 3 } }  u.  { { 5 } ,  { 3 ,  5 } } )  u.  ( { { 7 } ,  { 3 ,  7 } }  u.  { { 5 ,  7 } ,  {
3 ,  5 ,  7 } } ) )  =  ( ( { (/) ,  { 3 } ,  { 5 } }  u.  { { 3 ,  5 } } )  u.  ( { { 7 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } ,  { 3 ,  5 ,  7 } }
) )
5 pwtp 4213 . . 3  |-  ~P {
3 ,  5 ,  7 }  =  ( ( { (/) ,  {
3 } }  u.  { { 5 } ,  { 3 ,  5 } } )  u.  ( { { 7 } ,  { 3 ,  7 } }  u.  { { 5 ,  7 } ,  {
3 ,  5 ,  7 } } ) )
6 df-tp 4001 . . . . . . . 8  |-  { {
3 } ,  {
5 } ,  {
7 } }  =  ( { { 3 } ,  { 5 } }  u.  { {
7 } } )
76uneq2i 3617 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  u.  { {
3 } ,  {
5 } ,  {
7 } } )  =  ( { (/) }  u.  ( { {
3 } ,  {
5 } }  u.  { { 7 } }
) )
8 unass 3623 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  u.  { { 3 } ,  { 5 } }
)  u.  { {
7 } } )  =  ( { (/) }  u.  ( { {
3 } ,  {
5 } }  u.  { { 7 } }
) )
97, 8eqtr4i 2454 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  u.  { {
3 } ,  {
5 } ,  {
7 } } )  =  ( ( {
(/) }  u.  { {
3 } ,  {
5 } } )  u.  { { 7 } } )
10 tpass 4095 . . . . . . 7  |-  { (/) ,  { 3 } ,  { 5 } }  =  ( { (/) }  u.  { { 3 } ,  { 5 } } )
1110uneq1i 3616 . . . . . 6  |-  ( {
(/) ,  { 3 } ,  { 5 } }  u.  { {
7 } } )  =  ( ( {
(/) }  u.  { {
3 } ,  {
5 } } )  u.  { { 7 } } )
129, 11eqtr4i 2454 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  u.  { {
3 } ,  {
5 } ,  {
7 } } )  =  ( { (/) ,  { 3 } ,  { 5 } }  u.  { { 7 } } )
13 unass 3623 . . . . . 6  |-  ( ( { { 3 ,  5 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }
)  u.  { {
3 ,  5 ,  7 } } )  =  ( { {
3 ,  5 } }  u.  ( { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }  u.  { { 3 ,  5 ,  7 } } ) )
14 tpass 4095 . . . . . . 7  |-  { {
3 ,  5 } ,  { 3 ,  7 } ,  {
5 ,  7 } }  =  ( { { 3 ,  5 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }
)
1514uneq1i 3616 . . . . . 6  |-  ( { { 3 ,  5 } ,  { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }  u.  { { 3 ,  5 ,  7 } }
)  =  ( ( { { 3 ,  5 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }
)  u.  { {
3 ,  5 ,  7 } } )
16 df-tp 4001 . . . . . . 7  |-  { {
3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } ,  {
3 ,  5 ,  7 } }  =  ( { { 3 ,  7 } ,  {
5 ,  7 } }  u.  { {
3 ,  5 ,  7 } } )
1716uneq2i 3617 . . . . . 6  |-  ( { { 3 ,  5 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } ,  { 3 ,  5 ,  7 } }
)  =  ( { { 3 ,  5 } }  u.  ( { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }  u.  { { 3 ,  5 ,  7 } } ) )
1813, 15, 173eqtr4i 2461 . . . . 5  |-  ( { { 3 ,  5 } ,  { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }  u.  { { 3 ,  5 ,  7 } }
)  =  ( { { 3 ,  5 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } ,  { 3 ,  5 ,  7 } }
)
1912, 18uneq12i 3618 . . . 4  |-  ( ( { (/) }  u.  { { 3 } ,  { 5 } ,  { 7 } }
)  u.  ( { { 3 ,  5 } ,  { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }  u.  { { 3 ,  5 ,  7 } }
) )  =  ( ( { (/) ,  {
3 } ,  {
5 } }  u.  { { 7 } }
)  u.  ( { { 3 ,  5 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } ,  { 3 ,  5 ,  7 } }
) )
20 un4 3626 . . . 4  |-  ( ( { (/) ,  { 3 } ,  { 5 } }  u.  { { 3 ,  5 } } )  u.  ( { { 7 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } ,  { 3 ,  5 ,  7 } }
) )  =  ( ( { (/) ,  {
3 } ,  {
5 } }  u.  { { 7 } }
)  u.  ( { { 3 ,  5 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } ,  { 3 ,  5 ,  7 } }
) )
2119, 20eqtr4i 2454 . . 3  |-  ( ( { (/) }  u.  { { 3 } ,  { 5 } ,  { 7 } }
)  u.  ( { { 3 ,  5 } ,  { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }  u.  { { 3 ,  5 ,  7 } }
) )  =  ( ( { (/) ,  {
3 } ,  {
5 } }  u.  { { 3 ,  5 } } )  u.  ( { { 7 } }  u.  { { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } ,  { 3 ,  5 ,  7 } }
) )
224, 5, 213eqtr4i 2461 . 2  |-  ~P {
3 ,  5 ,  7 }  =  ( ( { (/) }  u.  { { 3 } ,  { 5 } ,  { 7 } }
)  u.  ( { { 3 ,  5 } ,  { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }  u.  { { 3 ,  5 ,  7 } }
) )
231, 22syl6eq 2479 1  |-  ( A  =  { 3 ,  5 ,  7 }  ->  ~P A  =  ( ( { (/) }  u.  { { 3 } ,  { 5 } ,  { 7 } } )  u.  ( { { 3 ,  5 } ,  { 3 ,  7 } ,  { 5 ,  7 } }  u.  { { 3 ,  5 ,  7 } } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    u. cun 3434   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   {csn 3996   {cpr 3998   {ctp 4000   3c3 10661   5c5 10663   7c7 10665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ral 2780  df-v 3083  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator