Theorem ex-pw 25355

Description: Example for df-pw 4001. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ex-pw	|- ( A = { 3 , 5 , 7 } -> ~P A = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) )

Proof of Theorem ex-pw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4002	. 2 |- ( A = { 3 , 5 , 7 } -> ~P A = ~P { 3 , 5 , 7 } )
2		qdass 4115	. . . 4 |- ( { (/) , { 3 } } u. { { 5 } , { 3 , 5 } } ) = ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } )
3		qdassr 4116	. . . 4 |- ( { { 7 } , { 3 , 7 } } u. { { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } )
4	2, 3	uneq12i 3642	. . 3 |- ( ( { (/) , { 3 } } u. { { 5 } , { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } , { 3 , 7 } } u. { { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
5		pwtp 4232	. . 3 |- ~P { 3 , 5 , 7 } = ( ( { (/) , { 3 } } u. { { 5 } , { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } , { 3 , 7 } } u. { { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
6		df-tp 4021	. . . . . . . 8 |- { { 3 } , { 5 } , { 7 } } = ( { { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } )
7	6	uneq2i 3641	. . . . . . 7 |- ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) = ( { (/) } u. ( { { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) )
8		unass 3647	. . . . . . 7 |- ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } ) u. { { 7 } } ) = ( { (/) } u. ( { { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) )
9	7, 8	eqtr4i 2486	. . . . . 6 |- ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } ) u. { { 7 } } )
10		tpass 4114	. . . . . . 7 |- { (/) , { 3 } , { 5 } } = ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } )
11	10	uneq1i 3640	. . . . . 6 |- ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } } ) u. { { 7 } } )
12	9, 11	eqtr4i 2486	. . . . 5 |- ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) = ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } )
13		unass 3647	. . . . . 6 |- ( ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } ) u. { { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 3 , 5 } } u. ( { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) )
14		tpass 4114	. . . . . . 7 |- { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } = ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } )
15	14	uneq1i 3640	. . . . . 6 |- ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) = ( ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } ) u. { { 3 , 5 , 7 } } )
16		df-tp 4021	. . . . . . 7 |- { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } = ( { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } )
17	16	uneq2i 3641	. . . . . 6 |- ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 3 , 5 } } u. ( { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) )
18	13, 15, 17	3eqtr4i 2493	. . . . 5 |- ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) = ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } )
19	12, 18	uneq12i 3642	. . . 4 |- ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
20		un4 3650	. . . 4 |- ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
21	19, 20	eqtr4i 2486	. . 3 |- ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) = ( ( { (/) , { 3 } , { 5 } } u. { { 3 , 5 } } ) u. ( { { 7 } } u. { { 3 , 7 } , { 5 , 7 } , { 3 , 5 , 7 } } ) )
22	4, 5, 21	3eqtr4i 2493	. 2 |- ~P { 3 , 5 , 7 } = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) )
23	1, 22	syl6eq 2511	1 |- ( A = { 3 , 5 , 7 } -> ~P A = ( ( { (/) } u. { { 3 } , { 5 } , { 7 } } ) u. ( { { 3 , 5 } , { 3 , 7 } , { 5 , 7 } } u. { { 3 , 5 , 7 } } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   u. cun 3459   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   {csn 4016   {cpr 4018   {ctp 4020   3c3 10582   5c5 10584   7c7 10586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ral 2809  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021

This theorem is referenced by: (None)