MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-pss Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ex-pss 25934
Description: Example for df-pss 3432. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-pss  |-  { 1 ,  2 }  C.  { 1 ,  2 ,  3 }

Proof of Theorem ex-pss
StepHypRef Expression
1 ex-ss 25933 . 2  |-  { 1 ,  2 }  C_  { 1 ,  2 ,  3 }
2 3ex 10718 . . . . 5  |-  3  e.  _V
32tpid3 4101 . . . 4  |-  3  e.  { 1 ,  2 ,  3 }
4 1re 9673 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
5 1lt3 10812 . . . . . 6  |-  1  <  3
64, 5gtneii 9777 . . . . 5  |-  3  =/=  1
7 2re 10712 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
8 2lt3 10811 . . . . . 6  |-  2  <  3
97, 8gtneii 9777 . . . . 5  |-  3  =/=  2
106, 9nelpri 4000 . . . 4  |-  -.  3  e.  { 1 ,  2 }
11 nelne1 2732 . . . 4  |-  ( ( 3  e.  { 1 ,  2 ,  3 }  /\  -.  3  e.  { 1 ,  2 } )  ->  { 1 ,  2 ,  3 }  =/=  { 1 ,  2 } )
123, 10, 11mp2an 683 . . 3  |-  { 1 ,  2 ,  3 }  =/=  { 1 ,  2 }
1312necomi 2690 . 2  |-  { 1 ,  2 }  =/=  { 1 ,  2 ,  3 }
14 df-pss 3432 . 2  |-  ( { 1 ,  2 } 
C.  { 1 ,  2 ,  3 }  <-> 
( { 1 ,  2 }  C_  { 1 ,  2 ,  3 }  /\  { 1 ,  2 }  =/=  { 1 ,  2 ,  3 } ) )
151, 13, 14mpbir2an 936 1  |-  { 1 ,  2 }  C.  { 1 ,  2 ,  3 }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1898    =/= wne 2633    C_ wss 3416    C. wpss 3417   {cpr 3982   {ctp 3984   1c1 9571   2c2 10692   3c3 10693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-2 10701  df-3 10702
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator