Theorem ex-pss 25876

Description: Example for df-pss 3452. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-pss	|- { 1 , 2 } C. { 1 , 2 , 3 }

Proof of Theorem ex-pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ex-ss 25875	. 2 |- { 1 , 2 } C_ { 1 , 2 , 3 }
2		3ex 10692	. . . . 5 |- 3 e. _V
3	2	tpid3 4116	. . . 4 |- 3 e. { 1 , 2 , 3 }
4		1re 9649	. . . . . 6 |- 1 e. RR
5		1lt3 10785	. . . . . 6 |- 1 < 3
6	4, 5	gtneii 9753	. . . . 5 |- 3 =/= 1
7		2re 10686	. . . . . 6 |- 2 e. RR
8		2lt3 10784	. . . . . 6 |- 2 < 3
9	7, 8	gtneii 9753	. . . . 5 |- 3 =/= 2
10	6, 9	nelpri 4018	. . . 4 |- -. 3 e. { 1 , 2 }
11		nelne1 2749	. . . 4 |- ( ( 3 e. { 1 , 2 , 3 } /\ -. 3 e. { 1 , 2 } ) -> { 1 , 2 , 3 } =/= { 1 , 2 } )
12	3, 10, 11	mp2an 676	. . 3 |- { 1 , 2 , 3 } =/= { 1 , 2 }
13	12	necomi 2690	. 2 |- { 1 , 2 } =/= { 1 , 2 , 3 }
14		df-pss 3452	. 2 |- ( { 1 , 2 } C. { 1 , 2 , 3 } <-> ( { 1 , 2 } C_ { 1 , 2 , 3 } /\ { 1 , 2 } =/= { 1 , 2 , 3 } ) )
15	1, 13, 14	mpbir2an 928	1 |- { 1 , 2 } C. { 1 , 2 , 3 }

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1872   =/= wne 2614   C_ wss 3436   C. wpss 3437   {cpr 4000   {ctp 4002   1c1 9547   2c2 10666   3c3 10667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-2 10675  df-3 10676

This theorem is referenced by: (None)