Theorem ex-pss 23814

Description: Example for df-pss 3455. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-pss	|- { 1 , 2 } C. { 1 , 2 , 3 }

Proof of Theorem ex-pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ex-ss 23813	. 2 |- { 1 , 2 } C_ { 1 , 2 , 3 }
2		3ex 10512	. . . . 5 |- 3 e. _V
3	2	tpid3 4102	. . . 4 |- 3 e. { 1 , 2 , 3 }
4		1re 9500	. . . . . 6 |- 1 e. RR
5		1lt3 10605	. . . . . 6 |- 1 < 3
6	4, 5	gtneii 9601	. . . . 5 |- 3 =/= 1
7		2re 10506	. . . . . 6 |- 2 e. RR
8		2lt3 10604	. . . . . 6 |- 2 < 3
9	7, 8	gtneii 9601	. . . . 5 |- 3 =/= 2
10	6, 9	nelpri 4009	. . . 4 |- -. 3 e. { 1 , 2 }
11		nelne1 2781	. . . 4 |- ( ( 3 e. { 1 , 2 , 3 } /\ -. 3 e. { 1 , 2 } ) -> { 1 , 2 , 3 } =/= { 1 , 2 } )
12	3, 10, 11	mp2an 672	. . 3 |- { 1 , 2 , 3 } =/= { 1 , 2 }
13	12	necomi 2722	. 2 |- { 1 , 2 } =/= { 1 , 2 , 3 }
14		df-pss 3455	. 2 |- ( { 1 , 2 } C. { 1 , 2 , 3 } <-> ( { 1 , 2 } C_ { 1 , 2 , 3 } /\ { 1 , 2 } =/= { 1 , 2 , 3 } ) )
15	1, 13, 14	mpbir2an 911	1 |- { 1 , 2 } C. { 1 , 2 , 3 }

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1758   =/= wne 2648   C_ wss 3439   C. wpss 3440   {cpr 3990   {ctp 3992   1c1 9398   2c2 10486   3c3 10487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-2 10495  df-3 10496

This theorem is referenced by: (None)