Theorem ex-pss 25934

Description: Example for df-pss 3432. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-pss	|- { 1 , 2 } C. { 1 , 2 , 3 }

Proof of Theorem ex-pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ex-ss 25933	. 2 |- { 1 , 2 } C_ { 1 , 2 , 3 }
2		3ex 10718	. . . . 5 |- 3 e. _V
3	2	tpid3 4101	. . . 4 |- 3 e. { 1 , 2 , 3 }
4		1re 9673	. . . . . 6 |- 1 e. RR
5		1lt3 10812	. . . . . 6 |- 1 < 3
6	4, 5	gtneii 9777	. . . . 5 |- 3 =/= 1
7		2re 10712	. . . . . 6 |- 2 e. RR
8		2lt3 10811	. . . . . 6 |- 2 < 3
9	7, 8	gtneii 9777	. . . . 5 |- 3 =/= 2
10	6, 9	nelpri 4000	. . . 4 |- -. 3 e. { 1 , 2 }
11		nelne1 2732	. . . 4 |- ( ( 3 e. { 1 , 2 , 3 } /\ -. 3 e. { 1 , 2 } ) -> { 1 , 2 , 3 } =/= { 1 , 2 } )
12	3, 10, 11	mp2an 683	. . 3 |- { 1 , 2 , 3 } =/= { 1 , 2 }
13	12	necomi 2690	. 2 |- { 1 , 2 } =/= { 1 , 2 , 3 }
14		df-pss 3432	. 2 |- ( { 1 , 2 } C. { 1 , 2 , 3 } <-> ( { 1 , 2 } C_ { 1 , 2 , 3 } /\ { 1 , 2 } =/= { 1 , 2 , 3 } ) )
15	1, 13, 14	mpbir2an 936	1 |- { 1 , 2 } C. { 1 , 2 , 3 }

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1898   =/= wne 2633   C_ wss 3416   C. wpss 3417   {cpr 3982   {ctp 3984   1c1 9571   2c2 10692   3c3 10693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-2 10701  df-3 10702

This theorem is referenced by: (None)