MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-pss Structured version   Unicode version

Theorem ex-pss 25447
Description: Example for df-pss 3429. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-pss  |-  { 1 ,  2 }  C.  { 1 ,  2 ,  3 }

Proof of Theorem ex-pss
StepHypRef Expression
1 ex-ss 25446 . 2  |-  { 1 ,  2 }  C_  { 1 ,  2 ,  3 }
2 3ex 10572 . . . . 5  |-  3  e.  _V
32tpid3 4087 . . . 4  |-  3  e.  { 1 ,  2 ,  3 }
4 1re 9545 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
5 1lt3 10665 . . . . . 6  |-  1  <  3
64, 5gtneii 9648 . . . . 5  |-  3  =/=  1
7 2re 10566 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
8 2lt3 10664 . . . . . 6  |-  2  <  3
97, 8gtneii 9648 . . . . 5  |-  3  =/=  2
106, 9nelpri 3992 . . . 4  |-  -.  3  e.  { 1 ,  2 }
11 nelne1 2732 . . . 4  |-  ( ( 3  e.  { 1 ,  2 ,  3 }  /\  -.  3  e.  { 1 ,  2 } )  ->  { 1 ,  2 ,  3 }  =/=  { 1 ,  2 } )
123, 10, 11mp2an 670 . . 3  |-  { 1 ,  2 ,  3 }  =/=  { 1 ,  2 }
1312necomi 2673 . 2  |-  { 1 ,  2 }  =/=  { 1 ,  2 ,  3 }
14 df-pss 3429 . 2  |-  ( { 1 ,  2 } 
C.  { 1 ,  2 ,  3 }  <-> 
( { 1 ,  2 }  C_  { 1 ,  2 ,  3 }  /\  { 1 ,  2 }  =/=  { 1 ,  2 ,  3 } ) )
151, 13, 14mpbir2an 921 1  |-  { 1 ,  2 }  C.  { 1 ,  2 ,  3 }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1842    =/= wne 2598    C_ wss 3413    C. wpss 3414   {cpr 3973   {ctp 3975   1c1 9443   2c2 10546   3c3 10547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-2 10555  df-3 10556
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator