MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-pss Structured version   Unicode version

Theorem ex-pss 25876
Description: Example for df-pss 3452. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-pss  |-  { 1 ,  2 }  C.  { 1 ,  2 ,  3 }

Proof of Theorem ex-pss
StepHypRef Expression
1 ex-ss 25875 . 2  |-  { 1 ,  2 }  C_  { 1 ,  2 ,  3 }
2 3ex 10692 . . . . 5  |-  3  e.  _V
32tpid3 4116 . . . 4  |-  3  e.  { 1 ,  2 ,  3 }
4 1re 9649 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
5 1lt3 10785 . . . . . 6  |-  1  <  3
64, 5gtneii 9753 . . . . 5  |-  3  =/=  1
7 2re 10686 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
8 2lt3 10784 . . . . . 6  |-  2  <  3
97, 8gtneii 9753 . . . . 5  |-  3  =/=  2
106, 9nelpri 4018 . . . 4  |-  -.  3  e.  { 1 ,  2 }
11 nelne1 2749 . . . 4  |-  ( ( 3  e.  { 1 ,  2 ,  3 }  /\  -.  3  e.  { 1 ,  2 } )  ->  { 1 ,  2 ,  3 }  =/=  { 1 ,  2 } )
123, 10, 11mp2an 676 . . 3  |-  { 1 ,  2 ,  3 }  =/=  { 1 ,  2 }
1312necomi 2690 . 2  |-  { 1 ,  2 }  =/=  { 1 ,  2 ,  3 }
14 df-pss 3452 . 2  |-  ( { 1 ,  2 } 
C.  { 1 ,  2 ,  3 }  <-> 
( { 1 ,  2 }  C_  { 1 ,  2 ,  3 }  /\  { 1 ,  2 }  =/=  { 1 ,  2 ,  3 } ) )
151, 13, 14mpbir2an 928 1  |-  { 1 ,  2 }  C.  { 1 ,  2 ,  3 }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1872    =/= wne 2614    C_ wss 3436    C. wpss 3437   {cpr 4000   {ctp 4002   1c1 9547   2c2 10666   3c3 10667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-2 10675  df-3 10676
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator