Theorem ex-pss 25447

Description: Example for df-pss 3429. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-pss	|- { 1 , 2 } C. { 1 , 2 , 3 }

Proof of Theorem ex-pss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ex-ss 25446	. 2 |- { 1 , 2 } C_ { 1 , 2 , 3 }
2		3ex 10572	. . . . 5 |- 3 e. _V
3	2	tpid3 4087	. . . 4 |- 3 e. { 1 , 2 , 3 }
4		1re 9545	. . . . . 6 |- 1 e. RR
5		1lt3 10665	. . . . . 6 |- 1 < 3
6	4, 5	gtneii 9648	. . . . 5 |- 3 =/= 1
7		2re 10566	. . . . . 6 |- 2 e. RR
8		2lt3 10664	. . . . . 6 |- 2 < 3
9	7, 8	gtneii 9648	. . . . 5 |- 3 =/= 2
10	6, 9	nelpri 3992	. . . 4 |- -. 3 e. { 1 , 2 }
11		nelne1 2732	. . . 4 |- ( ( 3 e. { 1 , 2 , 3 } /\ -. 3 e. { 1 , 2 } ) -> { 1 , 2 , 3 } =/= { 1 , 2 } )
12	3, 10, 11	mp2an 670	. . 3 |- { 1 , 2 , 3 } =/= { 1 , 2 }
13	12	necomi 2673	. 2 |- { 1 , 2 } =/= { 1 , 2 , 3 }
14		df-pss 3429	. 2 |- ( { 1 , 2 } C. { 1 , 2 , 3 } <-> ( { 1 , 2 } C_ { 1 , 2 , 3 } /\ { 1 , 2 } =/= { 1 , 2 , 3 } ) )
15	1, 13, 14	mpbir2an 921	1 |- { 1 , 2 } C. { 1 , 2 , 3 }

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1842   =/= wne 2598   C_ wss 3413   C. wpss 3414   {cpr 3973   {ctp 3975   1c1 9443   2c2 10546   3c3 10547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-2 10555  df-3 10556

This theorem is referenced by: (None)