MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-dif Structured version   Unicode version

Theorem ex-dif 25849
Description: Example for df-dif 3436. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-dif  |-  ( { 1 ,  3 } 
\  { 1 ,  8 } )  =  { 3 }

Proof of Theorem ex-dif
StepHypRef Expression
1 df-pr 3996 . . 3  |-  { 1 ,  3 }  =  ( { 1 }  u.  { 3 } )
21difeq1i 3576 . 2  |-  ( { 1 ,  3 } 
\  { 1 ,  8 } )  =  ( ( { 1 }  u.  { 3 } )  \  {
1 ,  8 } )
3 difundir 3723 . 2  |-  ( ( { 1 }  u.  { 3 } )  \  { 1 ,  8 } )  =  ( ( { 1 } 
\  { 1 ,  8 } )  u.  ( { 3 } 
\  { 1 ,  8 } ) )
4 snsspr1 4143 . . . . 5  |-  { 1 }  C_  { 1 ,  8 }
5 ssdif0 3848 . . . . 5  |-  ( { 1 }  C_  { 1 ,  8 }  <->  ( {
1 }  \  {
1 ,  8 } )  =  (/) )
64, 5mpbi 211 . . . 4  |-  ( { 1 }  \  {
1 ,  8 } )  =  (/)
7 incom 3652 . . . . . . 7  |-  ( { 3 }  i^i  {
1 ,  8 } )  =  ( { 1 ,  8 }  i^i  { 3 } )
8 1re 9638 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
9 1lt3 10774 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  3
108, 9gtneii 9742 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  1
11 3re 10679 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
12 3lt8 10797 . . . . . . . . . 10  |-  3  <  8
1311, 12ltneii 9743 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  8
1410, 13nelpri 4014 . . . . . . . 8  |-  -.  3  e.  { 1 ,  8 }
15 disjsn 4054 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 1 ,  8 }  i^i  { 3 } )  =  (/)  <->  -.  3  e.  { 1 ,  8 } )
1614, 15mpbir 212 . . . . . . 7  |-  ( { 1 ,  8 }  i^i  { 3 } )  =  (/)
177, 16eqtri 2449 . . . . . 6  |-  ( { 3 }  i^i  {
1 ,  8 } )  =  (/)
18 disj3 3834 . . . . . 6  |-  ( ( { 3 }  i^i  { 1 ,  8 } )  =  (/)  <->  { 3 }  =  ( {
3 }  \  {
1 ,  8 } ) )
1917, 18mpbi 211 . . . . 5  |-  { 3 }  =  ( { 3 }  \  {
1 ,  8 } )
2019eqcomi 2433 . . . 4  |-  ( { 3 }  \  {
1 ,  8 } )  =  { 3 }
216, 20uneq12i 3615 . . 3  |-  ( ( { 1 }  \  { 1 ,  8 } )  u.  ( { 3 }  \  { 1 ,  8 } ) )  =  ( (/)  u.  { 3 } )
22 uncom 3607 . . 3  |-  ( (/)  u. 
{ 3 } )  =  ( { 3 }  u.  (/) )
23 un0 3784 . . 3  |-  ( { 3 }  u.  (/) )  =  { 3 }
2421, 22, 233eqtri 2453 . 2  |-  ( ( { 1 }  \  { 1 ,  8 } )  u.  ( { 3 }  \  { 1 ,  8 } ) )  =  { 3 }
252, 3, 243eqtri 2453 1  |-  ( { 1 ,  3 } 
\  { 1 ,  8 } )  =  { 3 }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1437    e. wcel 1867    \ cdif 3430    u. cun 3431    i^i cin 3432    C_ wss 3433   (/)c0 3758   {csn 3993   {cpr 3995   1c1 9536   3c3 10656   8c8 10661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-2 10664  df-3 10665  df-4 10666  df-5 10667  df-6 10668  df-7 10669  df-8 10670
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator