MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evthicc Structured version   Unicode version

Theorem evthicc 22317
Description: Specialization of the Extreme Value Theorem to a closed interval of  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
evthicc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
evthicc.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
evthicc.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
evthicc.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
Assertion
Ref Expression
evthicc  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  x )  /\  E. z  e.  ( A [,] B ) A. w  e.  ( A [,] B ) ( F `  z
)  <_  ( F `  w ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    z, w, A    x, B, y    w, B, z   
x, F, y    ph, x, y    ph, w, z    w, F, z

Proof of Theorem evthicc
StepHypRef Expression
1 eqid 2420 . . . 4  |-  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =  U. ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )
2 eqid 2420 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
3 evthicc.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 evthicc.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 eqid 2420 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )
62, 5icccmp 21780 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  e.  Comp )
73, 4, 6syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  e.  Comp )
8 evthicc.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
9 iccssre 11705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
103, 4, 9syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
11 ax-resscn 9585 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
1210, 11syl6ss 3473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
13 eqid 2420 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) )
14 eqid 2420 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
15 eqid 2420 . . . . . . . 8  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )
16 eqid 2420 . . . . . . . . 9  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
1714, 16tgioo 21751 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
1813, 14, 15, 17cncfmet 21862 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
( A [,] B
) -cn-> RR )  =  ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
1912, 11, 18sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  =  ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
202, 15resubmet 21757 . . . . . . . 8  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  RR  ->  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )
2110, 20syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )
2221oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)  =  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
2319, 22eqtrd 2461 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
248, 23eleqtrd 2510 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
25 retop 21719 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
26 uniretop 21720 . . . . . . 7  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
2726restuni 20115 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR )  ->  ( A [,] B )  = 
U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )
2825, 10, 27sylancr 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  =  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )
293rexrd 9679 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
304rexrd 9679 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
31 evthicc.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
32 lbicc2 11735 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
3329, 30, 31, 32syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
34 ne0i 3764 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( A [,] B )  ->  ( A [,] B )  =/=  (/) )
3533, 34syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  =/=  (/) )
3628, 35eqnetrrd 2716 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
371, 2, 7, 24, 36evth 21909 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  U. ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) A. y  e.  U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ( F `  y )  <_  ( F `  x ) )
3828raleqdv 3029 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  x )  <->  A. y  e.  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ( F `  y
)  <_  ( F `  x ) ) )
3928, 38rexeqbidv 3038 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  x )  <->  E. x  e.  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) A. y  e.  U. ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) ( F `
 y )  <_ 
( F `  x
) ) )
4037, 39mpbird 235 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  x ) )
411, 2, 7, 24, 36evth2 21910 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  U. ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) A. w  e.  U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ( F `  z )  <_  ( F `  w ) )
4228raleqdv 3029 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. w  e.  ( A [,] B
) ( F `  z )  <_  ( F `  w )  <->  A. w  e.  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ( F `  z
)  <_  ( F `  w ) ) )
4328, 42rexeqbidv 3038 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B
) A. w  e.  ( A [,] B
) ( F `  z )  <_  ( F `  w )  <->  E. z  e.  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) A. w  e.  U. ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) ( F `
 z )  <_ 
( F `  w
) ) )
4441, 43mpbird 235 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( A [,] B ) A. w  e.  ( A [,] B ) ( F `  z
)  <_  ( F `  w ) )
4540, 44jca 534 1  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  x )  /\  E. z  e.  ( A [,] B ) A. w  e.  ( A [,] B ) ( F `  z
)  <_  ( F `  w ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774    C_ wss 3433   (/)c0 3758   U.cuni 4213   class class class wbr 4417    X. cxp 4843   ran crn 4846    |` cres 4847    o. ccom 4849   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   RR*cxr 9663    <_ cle 9665    - cmin 9849   (,)cioo 11624   [,]cicc 11627   abscabs 13265   ↾t crest 15279   topGenctg 15296   MetOpencmopn 18901   Topctop 19854    Cn ccn 20177   Compccmp 20338   -cn->ccncf 21830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ioo 11628  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-struct 15083  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-plusg 15163  df-mulr 15164  df-starv 15165  df-sca 15166  df-vsca 15167  df-ip 15168  df-tset 15169  df-ple 15170  df-ds 15172  df-unif 15173  df-hom 15174  df-cco 15175  df-rest 15281  df-topn 15282  df-0g 15300  df-gsum 15301  df-topgen 15302  df-pt 15303  df-prds 15306  df-xrs 15360  df-qtop 15365  df-imas 15366  df-xps 15368  df-mre 15444  df-mrc 15445  df-acs 15447  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-submnd 16535  df-mulg 16628  df-cntz 16923  df-cmn 17373  df-psmet 18903  df-xmet 18904  df-met 18905  df-bl 18906  df-mopn 18907  df-cnfld 18912  df-top 19858  df-bases 19859  df-topon 19860  df-topsp 19861  df-cn 20180  df-cnp 20181  df-cmp 20339  df-tx 20514  df-hmeo 20707  df-xms 21272  df-ms 21273  df-tms 21274  df-cncf 21832
This theorem is referenced by:  evthicc2  22318  cniccbdd  22319  rolle  22849  dvivthlem1  22867  itgsubst  22908  evthiccabs  37226  cncficcgt0  37386
  Copyright terms: Public domain W3C validator