MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evthicc Structured version   Unicode version

Theorem evthicc 21698
Description: Specialization of the Extreme Value Theorem to a closed interval of  RR. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
evthicc.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
evthicc.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
evthicc.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
evthicc.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
Assertion
Ref Expression
evthicc  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  x )  /\  E. z  e.  ( A [,] B ) A. w  e.  ( A [,] B ) ( F `  z
)  <_  ( F `  w ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    z, w, A    x, B, y    w, B, z   
x, F, y    ph, x, y    ph, w, z    w, F, z

Proof of Theorem evthicc
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =  U. ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
3 evthicc.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 evthicc.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )
62, 5icccmp 21157 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  e.  Comp )
73, 4, 6syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) )  e.  Comp )
8 evthicc.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> RR ) )
9 iccssre 11607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
103, 4, 9syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
11 ax-resscn 9550 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
1210, 11syl6ss 3516 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
13 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) )
14 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
15 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )
16 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
1714, 16tgioo 21128 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
1813, 14, 15, 17cncfmet 21239 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
( A [,] B
) -cn-> RR )  =  ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
1912, 11, 18sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  =  ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
202, 15resubmet 21134 . . . . . . . 8  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  RR  ->  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )
2110, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )
2221oveq1d 6300 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
)  =  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
2319, 22eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
248, 23eleqtrd 2557 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
25 retop 21095 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
26 uniretop 21096 . . . . . . 7  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
2726restuni 19469 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR )  ->  ( A [,] B )  = 
U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )
2825, 10, 27sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  =  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) )
293rexrd 9644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
304rexrd 9644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
31 evthicc.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
32 lbicc2 11637 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  ( A [,] B
) )
3329, 30, 31, 32syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( A [,] B ) )
34 ne0i 3791 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( A [,] B )  ->  ( A [,] B )  =/=  (/) )
3533, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  =/=  (/) )
3628, 35eqnetrrd 2761 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) )  =/=  (/) )
371, 2, 7, 24, 36evth 21286 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  U. ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) A. y  e.  U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ( F `  y )  <_  ( F `  x ) )
3828raleqdv 3064 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  x )  <->  A. y  e.  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ( F `  y
)  <_  ( F `  x ) ) )
3928, 38rexeqbidv 3073 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  x )  <->  E. x  e.  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) A. y  e.  U. ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) ( F `
 y )  <_ 
( F `  x
) ) )
4037, 39mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( F `  y
)  <_  ( F `  x ) )
411, 2, 7, 24, 36evth2 21287 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  U. ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) A. w  e.  U. ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ( F `  z )  <_  ( F `  w ) )
4228raleqdv 3064 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. w  e.  ( A [,] B
) ( F `  z )  <_  ( F `  w )  <->  A. w  e.  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) ( F `  z
)  <_  ( F `  w ) ) )
4328, 42rexeqbidv 3073 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B
) A. w  e.  ( A [,] B
) ( F `  z )  <_  ( F `  w )  <->  E. z  e.  U. (
( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B ) ) A. w  e.  U. ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A [,] B
) ) ( F `
 z )  <_ 
( F `  w
) ) )
4441, 43mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( A [,] B ) A. w  e.  ( A [,] B ) ( F `  z
)  <_  ( F `  w ) )
4540, 44jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( F `  y )  <_  ( F `  x )  /\  E. z  e.  ( A [,] B ) A. w  e.  ( A [,] B ) ( F `  z
)  <_  ( F `  w ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   (/)c0 3785   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   ran crn 5000    |` cres 5001    o. ccom 5003   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   RR*cxr 9628    <_ cle 9630    - cmin 9806   (,)cioo 11530   [,]cicc 11533   abscabs 13033   ↾t crest 14679   topGenctg 14696   MetOpencmopn 18219   Topctop 19201    Cn ccn 19531   Compccmp 19692   -cn->ccncf 21207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-mulg 15874  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-cmp 19693  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652  df-cncf 21209
This theorem is referenced by:  evthicc2  21699  cniccbdd  21700  rolle  22218  dvivthlem1  22236  itgsubst  22277  evthiccabs  31320  cncficcgt0  31454
  Copyright terms: Public domain W3C validator