Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evthf Structured version   Unicode version

Theorem evthf 31605
Description: A version of evth 21585 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
evthf.1  |-  F/_ x F
evthf.2  |-  F/_ y F
evthf.3  |-  F/_ x X
evthf.4  |-  F/_ y X
evthf.5  |-  F/ x ph
evthf.6  |-  F/ y
ph
evthf.7  |-  X  = 
U. J
evthf.8  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
evthf.9  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
evthf.10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
evthf.11  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
evthf  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  y )  <_  ( F `  x ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    F( x, y)    J( x, y)    K( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem evthf
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evthf.7 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 evthf.8 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 evthf.9 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
4 evthf.10 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
5 evthf.11 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
61, 2, 3, 4, 5evth 21585 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  b )  <_  ( F `  a ) )
7 nfcv 2619 . . . . 5  |-  F/_ b X
8 evthf.4 . . . . 5  |-  F/_ y X
9 evthf.2 . . . . . . 7  |-  F/_ y F
10 nfcv 2619 . . . . . . 7  |-  F/_ y
b
119, 10nffv 5879 . . . . . 6  |-  F/_ y
( F `  b
)
12 nfcv 2619 . . . . . 6  |-  F/_ y  <_
13 nfcv 2619 . . . . . . 7  |-  F/_ y
a
149, 13nffv 5879 . . . . . 6  |-  F/_ y
( F `  a
)
1511, 12, 14nfbr 4500 . . . . 5  |-  F/ y ( F `  b
)  <_  ( F `  a )
16 nfv 1708 . . . . 5  |-  F/ b ( F `  y
)  <_  ( F `  a )
17 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  ( F `  b )  =  ( F `  y ) )
1817breq1d 4466 . . . . 5  |-  ( b  =  y  ->  (
( F `  b
)  <_  ( F `  a )  <->  ( F `  y )  <_  ( F `  a )
) )
197, 8, 15, 16, 18cbvralf 3078 . . . 4  |-  ( A. b  e.  X  ( F `  b )  <_  ( F `  a
)  <->  A. y  e.  X  ( F `  y )  <_  ( F `  a ) )
2019rexbii 2959 . . 3  |-  ( E. a  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  b )  <_  ( F `  a
)  <->  E. a  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  y )  <_  ( F `  a ) )
21 nfcv 2619 . . . 4  |-  F/_ a X
22 evthf.3 . . . 4  |-  F/_ x X
23 evthf.1 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
24 nfcv 2619 . . . . . . 7  |-  F/_ x
y
2523, 24nffv 5879 . . . . . 6  |-  F/_ x
( F `  y
)
26 nfcv 2619 . . . . . 6  |-  F/_ x  <_
27 nfcv 2619 . . . . . . 7  |-  F/_ x
a
2823, 27nffv 5879 . . . . . 6  |-  F/_ x
( F `  a
)
2925, 26, 28nfbr 4500 . . . . 5  |-  F/ x
( F `  y
)  <_  ( F `  a )
3022, 29nfral 2843 . . . 4  |-  F/ x A. y  e.  X  ( F `  y )  <_  ( F `  a )
31 nfv 1708 . . . 4  |-  F/ a A. y  e.  X  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
32 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  ( F `  a )  =  ( F `  x ) )
3332breq2d 4468 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  (
( F `  y
)  <_  ( F `  a )  <->  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )
3433ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  ( A. y  e.  X  ( F `  y )  <_  ( F `  a )  <->  A. y  e.  X  ( F `  y )  <_  ( F `  x )
) )
3521, 22, 30, 31, 34cbvrexf 3079 . . 3  |-  ( E. a  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  y )  <_  ( F `  a
)  <->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  y )  <_  ( F `  x ) )
3620, 35bitri 249 . 2  |-  ( E. a  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  b )  <_  ( F `  a
)  <->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  y )  <_  ( F `  x ) )
376, 36sylib 196 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  y )  <_  ( F `  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395   F/wnf 1617    e. wcel 1819   F/_wnfc 2605    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   (/)c0 3793   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    <_ cle 9646   (,)cioo 11554   topGenctg 14855    Cn ccn 19852   Compccmp 20013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951
This theorem is referenced by:  rfcnnnub  31614
  Copyright terms: Public domain W3C validator