Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evth2f Structured version   Unicode version

Theorem evth2f 30996
Description: A version of evth2 21223 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
evth2f.1  |-  F/_ x F
evth2f.2  |-  F/_ y F
evth2f.3  |-  F/_ x X
evth2f.4  |-  F/_ y X
evth2f.5  |-  X  = 
U. J
evth2f.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
evth2f.7  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
evth2f.8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
evth2f.9  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
evth2f  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    F( x, y)    J( x, y)    K( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem evth2f
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evth2f.5 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 evth2f.6 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 evth2f.7 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
4 evth2f.8 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
5 evth2f.9 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
61, 2, 3, 4, 5evth2 21223 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b ) )
7 nfcv 2629 . . . 4  |-  F/_ a X
8 evth2f.3 . . . 4  |-  F/_ x X
9 evth2f.1 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
10 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x
a
119, 10nffv 5873 . . . . . 6  |-  F/_ x
( F `  a
)
12 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ x  <_
13 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x
b
149, 13nffv 5873 . . . . . 6  |-  F/_ x
( F `  b
)
1511, 12, 14nfbr 4491 . . . . 5  |-  F/ x
( F `  a
)  <_  ( F `  b )
168, 15nfral 2850 . . . 4  |-  F/ x A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b )
17 nfv 1683 . . . 4  |-  F/ a A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b )
18 fveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  ( F `  a )  =  ( F `  x ) )
1918breq1d 4457 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  (
( F `  a
)  <_  ( F `  b )  <->  ( F `  x )  <_  ( F `  b )
) )
2019ralbidv 2903 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  ( A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b )  <->  A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b )
) )
217, 8, 16, 17, 20cbvrexf 3083 . . 3  |-  ( E. a  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b
)  <->  E. x  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b ) )
22 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ b X
23 evth2f.4 . . . . 5  |-  F/_ y X
24 evth2f.2 . . . . . . 7  |-  F/_ y F
25 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ y
x
2624, 25nffv 5873 . . . . . 6  |-  F/_ y
( F `  x
)
27 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ y  <_
28 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ y
b
2924, 28nffv 5873 . . . . . 6  |-  F/_ y
( F `  b
)
3026, 27, 29nfbr 4491 . . . . 5  |-  F/ y ( F `  x
)  <_  ( F `  b )
31 nfv 1683 . . . . 5  |-  F/ b ( F `  x
)  <_  ( F `  y )
32 fveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  ( F `  b )  =  ( F `  y ) )
3332breq2d 4459 . . . . 5  |-  ( b  =  y  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  b )  <->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
3422, 23, 30, 31, 33cbvralf 3082 . . . 4  |-  ( A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b
)  <->  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
3534rexbii 2965 . . 3  |-  ( E. x  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b
)  <->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
3621, 35bitri 249 . 2  |-  ( E. a  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b
)  <->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
376, 36sylib 196 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   (/)c0 3785   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    <_ cle 9629   (,)cioo 11529   topGenctg 14693    Cn ccn 19519   Compccmp 19680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-cmp 19681  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588
This theorem is referenced by:  stoweidlem29  31357
  Copyright terms: Public domain W3C validator