Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evth2f Structured version   Unicode version

Theorem evth2f 31557
Description: A version of evth2 21545 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
evth2f.1  |-  F/_ x F
evth2f.2  |-  F/_ y F
evth2f.3  |-  F/_ x X
evth2f.4  |-  F/_ y X
evth2f.5  |-  X  = 
U. J
evth2f.6  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
evth2f.7  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
evth2f.8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
evth2f.9  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
evth2f  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    F( x, y)    J( x, y)    K( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem evth2f
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evth2f.5 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 evth2f.6 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 evth2f.7 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
4 evth2f.8 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
5 evth2f.9 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
61, 2, 3, 4, 5evth2 21545 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b ) )
7 nfcv 2544 . . . 4  |-  F/_ a X
8 evth2f.3 . . . 4  |-  F/_ x X
9 evth2f.1 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
10 nfcv 2544 . . . . . . 7  |-  F/_ x
a
119, 10nffv 5781 . . . . . 6  |-  F/_ x
( F `  a
)
12 nfcv 2544 . . . . . 6  |-  F/_ x  <_
13 nfcv 2544 . . . . . . 7  |-  F/_ x
b
149, 13nffv 5781 . . . . . 6  |-  F/_ x
( F `  b
)
1511, 12, 14nfbr 4411 . . . . 5  |-  F/ x
( F `  a
)  <_  ( F `  b )
168, 15nfral 2768 . . . 4  |-  F/ x A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b )
17 nfv 1715 . . . 4  |-  F/ a A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b )
18 fveq2 5774 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  ( F `  a )  =  ( F `  x ) )
1918breq1d 4377 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  (
( F `  a
)  <_  ( F `  b )  <->  ( F `  x )  <_  ( F `  b )
) )
2019ralbidv 2821 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  ( A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b )  <->  A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b )
) )
217, 8, 16, 17, 20cbvrexf 3004 . . 3  |-  ( E. a  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b
)  <->  E. x  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b ) )
22 nfcv 2544 . . . . 5  |-  F/_ b X
23 evth2f.4 . . . . 5  |-  F/_ y X
24 evth2f.2 . . . . . . 7  |-  F/_ y F
25 nfcv 2544 . . . . . . 7  |-  F/_ y
x
2624, 25nffv 5781 . . . . . 6  |-  F/_ y
( F `  x
)
27 nfcv 2544 . . . . . 6  |-  F/_ y  <_
28 nfcv 2544 . . . . . . 7  |-  F/_ y
b
2924, 28nffv 5781 . . . . . 6  |-  F/_ y
( F `  b
)
3026, 27, 29nfbr 4411 . . . . 5  |-  F/ y ( F `  x
)  <_  ( F `  b )
31 nfv 1715 . . . . 5  |-  F/ b ( F `  x
)  <_  ( F `  y )
32 fveq2 5774 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  ( F `  b )  =  ( F `  y ) )
3332breq2d 4379 . . . . 5  |-  ( b  =  y  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  b )  <->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
3422, 23, 30, 31, 33cbvralf 3003 . . . 4  |-  ( A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b
)  <->  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
3534rexbii 2884 . . 3  |-  ( E. x  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  b
)  <->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
3621, 35bitri 249 . 2  |-  ( E. a  e.  X  A. b  e.  X  ( F `  a )  <_  ( F `  b
)  <->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
376, 36sylib 196 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1826   F/_wnfc 2530    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   (/)c0 3711   U.cuni 4163   class class class wbr 4367   ran crn 4914   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    <_ cle 9540   (,)cioo 11450   topGenctg 14845    Cn ccn 19811   Compccmp 19972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-cmp 19973  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910
This theorem is referenced by:  stoweidlem29  31977
  Copyright terms: Public domain W3C validator