MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evth2 Structured version   Unicode version

Theorem evth2 21333
Description: The Extreme Value Theorem, minimum version. A continuous function from a nonempty compact topological space to the reals attains its minimum at some point in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bndth.1  |-  X  = 
U. J
bndth.2  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
bndth.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
bndth.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
evth.5  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
evth2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    y, K    ph, x, y   
x, X, y    x, J, y
Allowed substitution hint:    K( x)

Proof of Theorem evth2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndth.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 bndth.2 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 bndth.3 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
4 cmptop 19768 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
61toptopon 19307 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
75, 6sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
8 bndth.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
9 uniretop 21142 . . . . . . . . 9  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
102unieqi 4243 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
119, 10eqtr4i 2475 . . . . . . . 8  |-  RR  =  U. K
121, 11cnf 19620 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> RR )
138, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
1413feqmptd 5911 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  X  |->  ( F `
 z ) ) )
1514, 8eqeltrrd 2532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X  |->  ( F `  z
) )  e.  ( J  Cn  K ) )
16 retopon 21143 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
172, 16eqeltri 2527 . . . . 5  |-  K  e.  (TopOn `  RR )
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  RR ) )
19 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2019cnfldtopon 21163 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
2120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
22 0cnd 9592 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
2318, 21, 22cnmptc 20036 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  0 )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
2419tgioo2 21181 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
252, 24eqtri 2472 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
26 ax-resscn 9552 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
2726a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
2821cnmptid 20035 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  y )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
2925, 21, 27, 28cnmpt1res 20050 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  y )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
3019subcn 21243 . . . . . . . 8  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
3218, 23, 29, 31cnmpt12f 20040 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
33 df-neg 9813 . . . . . . . . . . 11  |-  -u y  =  ( 0  -  y )
34 renegcl 9887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
3533, 34syl5eqelr 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  -  y )  e.  RR )
3635adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( 0  -  y )  e.  RR )
37 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )
3836, 37fmptd 6040 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) ) : RR --> RR )
39 frn 5727 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) ) : RR --> RR  ->  ran  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  C_  RR )
4038, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  C_  RR )
41 cnrest2 19660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ran  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) ) )
4221, 40, 27, 41syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) ) )
4332, 42mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  e.  ( K  Cn  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) ) )
4425oveq2i 6292 . . . . 5  |-  ( K  Cn  K )  =  ( K  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
4543, 44syl6eleqr 2542 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  e.  ( K  Cn  K ) )
46 negeq 9817 . . . . 5  |-  ( y  =  ( F `  z )  ->  -u y  =  -u ( F `  z ) )
4733, 46syl5eqr 2498 . . . 4  |-  ( y  =  ( F `  z )  ->  (
0  -  y )  =  -u ( F `  z ) )
487, 15, 18, 45, 47cnmpt11 20037 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
49 evth.5 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
501, 2, 3, 48, 49evth 21332 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x ) )
51 fveq2 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
5251negeqd 9819 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  -u ( F `  z )  =  -u ( F `  y ) )
53 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z )
)  =  ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z )
)
54 negex 9823 . . . . . . . 8  |-  -u ( F `  y )  e.  _V
5552, 53, 54fvmpt 5941 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  y )  =  -u ( F `  y ) )
5655adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  y )  =  -u ( F `  y ) )
57 fveq2 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
5857negeqd 9819 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  -u ( F `  z )  =  -u ( F `  x ) )
59 negex 9823 . . . . . . . 8  |-  -u ( F `  x )  e.  _V
6058, 53, 59fvmpt 5941 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  =  -u ( F `  x ) )
6160ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  =  -u ( F `  x ) )
6256, 61breq12d 4450 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  <->  -u ( F `
 y )  <_  -u ( F `  x
) ) )
6313ffvelrnda 6016 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
6463adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
6513ffvelrnda 6016 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
6665adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
6764, 66lenegd 10137 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  y )  <->  -u ( F `
 y )  <_  -u ( F `  x
) ) )
6862, 67bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  <->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
6968ralbidva 2879 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  <->  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
7069rexbidva 2951 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z )
) `  y )  <_  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  x )  <->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
7150, 70mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794    C_ wss 3461   (/)c0 3770   U.cuni 4234   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   ran crn 4990   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495    <_ cle 9632    - cmin 9810   -ucneg 9811   (,)cioo 11538   ↾t crest 14695   TopOpenctopn 14696   topGenctg 14712  ℂfldccnfld 18294   Topctop 19267  TopOnctopon 19268    Cn ccn 19598   Compccmp 19759    tX ctx 19934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-xrs 14776  df-qtop 14781  df-imas 14782  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-cmp 19760  df-tx 19936  df-hmeo 20129  df-xms 20696  df-ms 20697  df-tms 20698
This theorem is referenced by:  lebnumlem3  21336  evthicc  21744  ftalem3  23220  evth2f  31344  stoweidlem28  31699
  Copyright terms: Public domain W3C validator