MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evth2 Structured version   Unicode version

Theorem evth2 20432
Description: The Extreme Value Theorem, minimum version. A continuous function from a nonempty compact topological space to the reals attains its minimum at some point in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bndth.1  |-  X  = 
U. J
bndth.2  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
bndth.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
bndth.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
evth.5  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
evth2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    y, K    ph, x, y   
x, X, y    x, J, y
Allowed substitution hint:    K( x)

Proof of Theorem evth2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndth.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 bndth.2 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 bndth.3 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
4 cmptop 18898 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
61toptopon 18438 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
75, 6sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
8 bndth.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
9 uniretop 20241 . . . . . . . . 9  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
102unieqi 4097 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
119, 10eqtr4i 2464 . . . . . . . 8  |-  RR  =  U. K
121, 11cnf 18750 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> RR )
138, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
1413feqmptd 5741 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  X  |->  ( F `
 z ) ) )
1514, 8eqeltrrd 2516 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X  |->  ( F `  z
) )  e.  ( J  Cn  K ) )
16 retopon 20242 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
172, 16eqeltri 2511 . . . . 5  |-  K  e.  (TopOn `  RR )
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  RR ) )
19 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2019cnfldtopon 20262 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
2120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
22 0cnd 9375 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
2318, 21, 22cnmptc 19135 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  0 )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
2419tgioo2 20280 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
252, 24eqtri 2461 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
26 ax-resscn 9335 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
2726a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
2821cnmptid 19134 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  y )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
2925, 21, 27, 28cnmpt1res 19149 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  y )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
3019subcn 20342 . . . . . . . 8  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
3218, 23, 29, 31cnmpt12f 19139 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
33 df-neg 9594 . . . . . . . . . . 11  |-  -u y  =  ( 0  -  y )
34 renegcl 9668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
3533, 34syl5eqelr 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  -  y )  e.  RR )
3635adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( 0  -  y )  e.  RR )
37 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )
3836, 37fmptd 5864 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) ) : RR --> RR )
39 frn 5562 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) ) : RR --> RR  ->  ran  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  C_  RR )
4038, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  C_  RR )
41 cnrest2 18790 . . . . . . 7  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ran  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) ) )
4221, 40, 27, 41syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) ) )
4332, 42mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  e.  ( K  Cn  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) ) )
4425oveq2i 6101 . . . . 5  |-  ( K  Cn  K )  =  ( K  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
4543, 44syl6eleqr 2532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  e.  ( K  Cn  K ) )
46 negeq 9598 . . . . 5  |-  ( y  =  ( F `  z )  ->  -u y  =  -u ( F `  z ) )
4733, 46syl5eqr 2487 . . . 4  |-  ( y  =  ( F `  z )  ->  (
0  -  y )  =  -u ( F `  z ) )
487, 15, 18, 45, 47cnmpt11 19136 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
49 evth.5 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
501, 2, 3, 48, 49evth 20431 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x ) )
51 fveq2 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
5251negeqd 9600 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  -u ( F `  z )  =  -u ( F `  y ) )
53 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z )
)  =  ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z )
)
54 negex 9604 . . . . . . . 8  |-  -u ( F `  y )  e.  _V
5552, 53, 54fvmpt 5771 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  y )  =  -u ( F `  y ) )
5655adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  y )  =  -u ( F `  y ) )
57 fveq2 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
5857negeqd 9600 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  -u ( F `  z )  =  -u ( F `  x ) )
59 negex 9604 . . . . . . . 8  |-  -u ( F `  x )  e.  _V
6058, 53, 59fvmpt 5771 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  =  -u ( F `  x ) )
6160ad2antlr 721 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  =  -u ( F `  x ) )
6256, 61breq12d 4302 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  <->  -u ( F `
 y )  <_  -u ( F `  x
) ) )
6313ffvelrnda 5840 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
6463adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
6513ffvelrnda 5840 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
6665adantlr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
6764, 66lenegd 9914 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  y )  <->  -u ( F `
 y )  <_  -u ( F `  x
) ) )
6862, 67bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  <->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
6968ralbidva 2729 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  <->  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
7069rexbidva 2730 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z )
) `  y )  <_  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  x )  <->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
7150, 70mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714    C_ wss 3325   (/)c0 3634   U.cuni 4088   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ran crn 4837   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278    <_ cle 9415    - cmin 9591   -ucneg 9592   (,)cioo 11296   ↾t crest 14355   TopOpenctopn 14356   topGenctg 14372  ℂfldccnfld 17718   Topctop 18398  TopOnctopon 18399    Cn ccn 18728   Compccmp 18889    tX ctx 19033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-cmp 18890  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797
This theorem is referenced by:  lebnumlem3  20435  evthicc  20843  ftalem3  22355  evth2f  29646  stoweidlem28  29732
  Copyright terms: Public domain W3C validator