MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evth2 Structured version   Unicode version

Theorem evth2 21545
Description: The Extreme Value Theorem, minimum version. A continuous function from a nonempty compact topological space to the reals attains its minimum at some point in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bndth.1  |-  X  = 
U. J
bndth.2  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
bndth.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
bndth.4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
evth.5  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
evth2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    y, K    ph, x, y   
x, X, y    x, J, y
Allowed substitution hint:    K( x)

Proof of Theorem evth2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndth.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 bndth.2 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 bndth.3 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
4 cmptop 19981 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
61toptopon 19519 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
75, 6sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
8 bndth.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
9 uniretop 21354 . . . . . . . . 9  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
102unieqi 4172 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
119, 10eqtr4i 2414 . . . . . . . 8  |-  RR  =  U. K
121, 11cnf 19833 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : X --> RR )
138, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
1413feqmptd 5827 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  X  |->  ( F `
 z ) ) )
1514, 8eqeltrrd 2471 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X  |->  ( F `  z
) )  e.  ( J  Cn  K ) )
16 retopon 21355 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
172, 16eqeltri 2466 . . . . 5  |-  K  e.  (TopOn `  RR )
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  RR ) )
19 eqid 2382 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2019cnfldtopon 21375 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
2120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
22 0cnd 9500 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
2318, 21, 22cnmptc 20248 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  0 )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
2419tgioo2 21393 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
252, 24eqtri 2411 . . . . . . . 8  |-  K  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
26 ax-resscn 9460 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
2726a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
2821cnmptid 20247 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  y )  e.  ( ( TopOpen ` fld )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
2925, 21, 27, 28cnmpt1res 20262 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  y )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
3019subcn 21455 . . . . . . . 8  |-  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
3218, 23, 29, 31cnmpt12f 20252 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
33 df-neg 9721 . . . . . . . . . . 11  |-  -u y  =  ( 0  -  y )
34 renegcl 9795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
3533, 34syl5eqelr 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  -  y )  e.  RR )
3635adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( 0  -  y )  e.  RR )
37 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )
3836, 37fmptd 5957 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) ) : RR --> RR )
39 frn 5645 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) ) : RR --> RR  ->  ran  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  C_  RR )
4038, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  C_  RR )
41 cnrest2 19873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ran  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) ) )
4221, 40, 27, 41syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  ( TopOpen
` fld
) )  <->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y ) )  e.  ( K  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) ) )
4332, 42mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  e.  ( K  Cn  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) ) )
4425oveq2i 6207 . . . . 5  |-  ( K  Cn  K )  =  ( K  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
4543, 44syl6eleqr 2481 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( 0  -  y
) )  e.  ( K  Cn  K ) )
46 negeq 9725 . . . . 5  |-  ( y  =  ( F `  z )  ->  -u y  =  -u ( F `  z ) )
4733, 46syl5eqr 2437 . . . 4  |-  ( y  =  ( F `  z )  ->  (
0  -  y )  =  -u ( F `  z ) )
487, 15, 18, 45, 47cnmpt11 20249 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) )  e.  ( J  Cn  K
) )
49 evth.5 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
501, 2, 3, 48, 49evth 21544 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x ) )
51 fveq2 5774 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
5251negeqd 9727 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  -u ( F `  z )  =  -u ( F `  y ) )
53 eqid 2382 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z )
)  =  ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z )
)
54 negex 9731 . . . . . . . 8  |-  -u ( F `  y )  e.  _V
5552, 53, 54fvmpt 5857 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  y )  =  -u ( F `  y ) )
5655adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  y )  =  -u ( F `  y ) )
57 fveq2 5774 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
5857negeqd 9727 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  -u ( F `  z )  =  -u ( F `  x ) )
59 negex 9731 . . . . . . . 8  |-  -u ( F `  x )  e.  _V
6058, 53, 59fvmpt 5857 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  =  -u ( F `  x ) )
6160ad2antlr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  =  -u ( F `  x ) )
6256, 61breq12d 4380 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  <->  -u ( F `
 y )  <_  -u ( F `  x
) ) )
6313ffvelrnda 5933 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
6463adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
6513ffvelrnda 5933 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
6665adantlr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
6764, 66lenegd 10048 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  y )  <->  -u ( F `
 y )  <_  -u ( F `  x
) ) )
6862, 67bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  <->  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
6968ralbidva 2818 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  y )  <_  (
( z  e.  X  |-> 
-u ( F `  z ) ) `  x )  <->  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
7069rexbidva 2890 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z )
) `  y )  <_  ( ( z  e.  X  |->  -u ( F `  z ) ) `  x )  <->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y )
) )
7150, 70mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( F `  x )  <_  ( F `  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733    C_ wss 3389   (/)c0 3711   U.cuni 4163   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   ran crn 4914   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403    <_ cle 9540    - cmin 9718   -ucneg 9719   (,)cioo 11450   ↾t crest 14828   TopOpenctopn 14829   topGenctg 14845  ℂfldccnfld 18533   Topctop 19479  TopOnctopon 19480    Cn ccn 19811   Compccmp 19972    tX ctx 20146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-cmp 19973  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910
This theorem is referenced by:  lebnumlem3  21548  evthicc  21956  ftalem3  23465  evth2f  31557  stoweidlem28  31976
  Copyright terms: Public domain W3C validator