MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evpmss Structured version   Unicode version

Theorem evpmss 18389
Description: Even permutations are permutations. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
evpmss.p  |-  P  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
evpmss  |-  (pmEven `  D )  C_  P

Proof of Theorem evpmss
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5864 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (pmSgn `  d )  =  (pmSgn `  D ) )
21cnveqd 5176 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  `' (pmSgn `  d )  =  `' (pmSgn `  D )
)
32imaeq1d 5334 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  ( `' (pmSgn `  d ) " { 1 } )  =  ( `' (pmSgn `  D ) " {
1 } ) )
4 df-evpm 16313 . . . 4  |- pmEven  =  ( d  e.  _V  |->  ( `' (pmSgn `  d ) " { 1 } ) )
5 fvex 5874 . . . . . 6  |-  (pmSgn `  D )  e.  _V
65cnvex 6728 . . . . 5  |-  `' (pmSgn `  D )  e.  _V
7 imaexg 6718 . . . . 5  |-  ( `' (pmSgn `  D )  e.  _V  ->  ( `' (pmSgn `  D ) " { 1 } )  e.  _V )
86, 7ax-mp 5 . . . 4  |-  ( `' (pmSgn `  D ) " { 1 } )  e.  _V
93, 4, 8fvmpt 5948 . . 3  |-  ( D  e.  _V  ->  (pmEven `  D )  =  ( `' (pmSgn `  D ) " { 1 } ) )
10 cnvimass 5355 . . . 4  |-  ( `' (pmSgn `  D ) " { 1 } ) 
C_  dom  (pmSgn `  D
)
11 evpmss.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
12 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  (pmSgn `  D )  =  (pmSgn `  D )
13 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Ss  dom  (pmSgn `  D )
)  =  ( Ss  dom  (pmSgn `  D )
)
14 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
1511, 12, 13, 14psgnghm 18383 . . . . . 6  |-  ( D  e.  _V  ->  (pmSgn `  D )  e.  ( ( Ss  dom  (pmSgn `  D
) )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
16 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D
) ) )  =  ( Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D )
) )
17 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  =  ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
1816, 17ghmf 16066 . . . . . 6  |-  ( (pmSgn `  D )  e.  ( ( Ss  dom  (pmSgn `  D
) )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  (pmSgn `  D
) : ( Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D
) ) ) --> (
Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u 1 } ) ) )
19 fdm 5733 . . . . . 6  |-  ( (pmSgn `  D ) : (
Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D ) ) ) --> ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  dom  (pmSgn `  D
)  =  ( Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D
) ) ) )
2015, 18, 193syl 20 . . . . 5  |-  ( D  e.  _V  ->  dom  (pmSgn `  D )  =  ( Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D )
) ) )
21 evpmss.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  S
)
2213, 21ressbasss 14543 . . . . 5  |-  ( Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D
) ) )  C_  P
2320, 22syl6eqss 3554 . . . 4  |-  ( D  e.  _V  ->  dom  (pmSgn `  D )  C_  P )
2410, 23syl5ss 3515 . . 3  |-  ( D  e.  _V  ->  ( `' (pmSgn `  D ) " { 1 } ) 
C_  P )
259, 24eqsstrd 3538 . 2  |-  ( D  e.  _V  ->  (pmEven `  D )  C_  P
)
26 fvprc 5858 . . 3  |-  ( -.  D  e.  _V  ->  (pmEven `  D )  =  (/) )
27 0ss 3814 . . 3  |-  (/)  C_  P
2826, 27syl6eqss 3554 . 2  |-  ( -.  D  e.  _V  ->  (pmEven `  D )  C_  P
)
2925, 28pm2.61i 164 1  |-  (pmEven `  D )  C_  P
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1c1 9489   -ucneg 9802   Basecbs 14486   ↾s cress 14487    GrpHom cghm 16059   SymGrpcsymg 16197  pmSgncpsgn 16310  pmEvencevpm 16311  mulGrpcmgp 16931  ℂfldccnfld 18191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-word 12504  df-concat 12506  df-s1 12507  df-substr 12508  df-splice 12509  df-reverse 12510  df-s2 12772  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-subg 15993  df-ghm 16060  df-gim 16102  df-oppg 16176  df-symg 16198  df-pmtr 16263  df-psgn 16312  df-evpm 16313  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105  df-dvr 17116  df-drng 17181  df-cnfld 18192
This theorem is referenced by:  zrhpsgnevpm  18394  evpmodpmf1o  18399  mdetralt  18877
  Copyright terms: Public domain W3C validator