Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evpmss Structured version   Unicode version

Theorem evpmss 19076
 Description: Even permutations are permutations. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s
evpmss.p
Assertion
Ref Expression
evpmss pmEven

Proof of Theorem evpmss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5881 . . . . . 6 pmSgn pmSgn
21cnveqd 5030 . . . . 5 pmSgn pmSgn
32imaeq1d 5187 . . . 4 pmSgn pmSgn
4 df-evpm 17075 . . . 4 pmEven pmSgn
5 fvex 5891 . . . . . 6 pmSgn
65cnvex 6754 . . . . 5 pmSgn
7 imaexg 6744 . . . . 5 pmSgn pmSgn
86, 7ax-mp 5 . . . 4 pmSgn
93, 4, 8fvmpt 5964 . . 3 pmEven pmSgn
10 cnvimass 5208 . . . 4 pmSgn pmSgn
11 evpmss.s . . . . . . 7
12 eqid 2429 . . . . . . 7 pmSgn pmSgn
13 eqid 2429 . . . . . . 7 s pmSgn s pmSgn
14 eqid 2429 . . . . . . 7 mulGrpflds mulGrpflds
1511, 12, 13, 14psgnghm 19070 . . . . . 6 pmSgn s pmSgn mulGrpflds
16 eqid 2429 . . . . . . 7 s pmSgn s pmSgn
17 eqid 2429 . . . . . . 7 mulGrpflds mulGrpflds
1816, 17ghmf 16829 . . . . . 6 pmSgn s pmSgn mulGrpflds pmSgns pmSgnmulGrpflds
19 fdm 5750 . . . . . 6 pmSgns pmSgnmulGrpflds pmSgn s pmSgn
2015, 18, 193syl 18 . . . . 5 pmSgn s pmSgn
21 evpmss.p . . . . . 6
2213, 21ressbasss 15134 . . . . 5 s pmSgn
2320, 22syl6eqss 3520 . . . 4 pmSgn
2410, 23syl5ss 3481 . . 3 pmSgn
259, 24eqsstrd 3504 . 2 pmEven
26 fvprc 5875 . . 3 pmEven
27 0ss 3797 . . 3
2826, 27syl6eqss 3520 . 2 pmEven
2925, 28pm2.61i 167 1 pmEven
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wceq 1437   wcel 1870  cvv 3087   wss 3442  c0 3767  csn 4002  cpr 4004  ccnv 4853   cdm 4854  cima 4857  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  c1 9539  cneg 9860  cbs 15075   ↾s cress 15076   cghm 16822  csymg 16960  pmSgncpsgn 17072  pmEvencevpm 17073  mulGrpcmgp 17649  ℂfldccnfld 18896 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-addf 9617  ax-mulf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-xor 1401  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-word 12651  df-lsw 12652  df-concat 12653  df-s1 12654  df-substr 12655  df-splice 12656  df-reverse 12657  df-s2 12929  df-struct 15077  df-ndx 15078  df-slot 15079  df-base 15080  df-sets 15081  df-ress 15082  df-plusg 15156  df-mulr 15157  df-starv 15158  df-tset 15162  df-ple 15163  df-ds 15165  df-unif 15166  df-0g 15290  df-gsum 15291  df-mre 15434  df-mrc 15435  df-acs 15437  df-mgm 16430  df-sgrp 16469  df-mnd 16479  df-mhm 16524  df-submnd 16525  df-grp 16615  df-minusg 16616  df-subg 16756  df-ghm 16823  df-gim 16865  df-oppg 16939  df-symg 16961  df-pmtr 17025  df-psgn 17074  df-evpm 17075  df-cmn 17358  df-abl 17359  df-mgp 17650  df-ur 17662  df-ring 17708  df-cring 17709  df-oppr 17777  df-dvdsr 17795  df-unit 17796  df-invr 17826  df-dvr 17837  df-drng 17903  df-cnfld 18897 This theorem is referenced by:  zrhpsgnevpm  19081  evpmodpmf1o  19086  mdetralt  19555
 Copyright terms: Public domain W3C validator