MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evpmss Structured version   Unicode version

Theorem evpmss 18127
Description: Even permutations are permutations. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
evpmss.p  |-  P  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
evpmss  |-  (pmEven `  D )  C_  P

Proof of Theorem evpmss
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5791 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (pmSgn `  d )  =  (pmSgn `  D ) )
21cnveqd 5115 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  `' (pmSgn `  d )  =  `' (pmSgn `  D )
)
32imaeq1d 5268 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  ( `' (pmSgn `  d ) " { 1 } )  =  ( `' (pmSgn `  D ) " {
1 } ) )
4 df-evpm 16102 . . . 4  |- pmEven  =  ( d  e.  _V  |->  ( `' (pmSgn `  d ) " { 1 } ) )
5 fvex 5801 . . . . . 6  |-  (pmSgn `  D )  e.  _V
65cnvex 6627 . . . . 5  |-  `' (pmSgn `  D )  e.  _V
7 imaexg 6617 . . . . 5  |-  ( `' (pmSgn `  D )  e.  _V  ->  ( `' (pmSgn `  D ) " { 1 } )  e.  _V )
86, 7ax-mp 5 . . . 4  |-  ( `' (pmSgn `  D ) " { 1 } )  e.  _V
93, 4, 8fvmpt 5875 . . 3  |-  ( D  e.  _V  ->  (pmEven `  D )  =  ( `' (pmSgn `  D ) " { 1 } ) )
10 cnvimass 5289 . . . 4  |-  ( `' (pmSgn `  D ) " { 1 } ) 
C_  dom  (pmSgn `  D
)
11 evpmss.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
12 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  (pmSgn `  D )  =  (pmSgn `  D )
13 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( Ss  dom  (pmSgn `  D )
)  =  ( Ss  dom  (pmSgn `  D )
)
14 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
1511, 12, 13, 14psgnghm 18121 . . . . . 6  |-  ( D  e.  _V  ->  (pmSgn `  D )  e.  ( ( Ss  dom  (pmSgn `  D
) )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
16 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D
) ) )  =  ( Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D )
) )
17 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  =  ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
1816, 17ghmf 15855 . . . . . 6  |-  ( (pmSgn `  D )  e.  ( ( Ss  dom  (pmSgn `  D
) )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  (pmSgn `  D
) : ( Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D
) ) ) --> (
Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u 1 } ) ) )
19 fdm 5663 . . . . . 6  |-  ( (pmSgn `  D ) : (
Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D ) ) ) --> ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  dom  (pmSgn `  D
)  =  ( Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D
) ) ) )
2015, 18, 193syl 20 . . . . 5  |-  ( D  e.  _V  ->  dom  (pmSgn `  D )  =  ( Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D )
) ) )
21 evpmss.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  S
)
2213, 21ressbasss 14334 . . . . 5  |-  ( Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D
) ) )  C_  P
2320, 22syl6eqss 3506 . . . 4  |-  ( D  e.  _V  ->  dom  (pmSgn `  D )  C_  P )
2410, 23syl5ss 3467 . . 3  |-  ( D  e.  _V  ->  ( `' (pmSgn `  D ) " { 1 } ) 
C_  P )
259, 24eqsstrd 3490 . 2  |-  ( D  e.  _V  ->  (pmEven `  D )  C_  P
)
26 fvprc 5785 . . 3  |-  ( -.  D  e.  _V  ->  (pmEven `  D )  =  (/) )
27 0ss 3766 . . 3  |-  (/)  C_  P
2826, 27syl6eqss 3506 . 2  |-  ( -.  D  e.  _V  ->  (pmEven `  D )  C_  P
)
2925, 28pm2.61i 164 1  |-  (pmEven `  D )  C_  P
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3070    C_ wss 3428   (/)c0 3737   {csn 3977   {cpr 3979   `'ccnv 4939   dom cdm 4940   "cima 4943   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   1c1 9386   -ucneg 9699   Basecbs 14278   ↾s cress 14279    GrpHom cghm 15848   SymGrpcsymg 15986  pmSgncpsgn 16099  pmEvencevpm 16100  mulGrpcmgp 16698  ℂfldccnfld 17929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1352  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-ot 3986  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-tpos 6847  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-rp 11095  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-word 12333  df-concat 12335  df-s1 12336  df-substr 12337  df-splice 12338  df-reverse 12339  df-s2 12579  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-mhm 15568  df-submnd 15569  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-subg 15782  df-ghm 15849  df-gim 15891  df-oppg 15965  df-symg 15987  df-pmtr 16052  df-psgn 16101  df-evpm 16102  df-cmn 16385  df-abl 16386  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-cring 16756  df-oppr 16823  df-dvdsr 16841  df-unit 16842  df-invr 16872  df-dvr 16883  df-drng 16942  df-cnfld 17930
This theorem is referenced by:  zrhpsgnevpm  18132  evpmodpmf1o  18137  mdetralt  18532
  Copyright terms: Public domain W3C validator