MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evpmss Structured version   Unicode version

Theorem evpmss 19076
Description: Even permutations are permutations. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
evpmss.p  |-  P  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
evpmss  |-  (pmEven `  D )  C_  P

Proof of Theorem evpmss
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (pmSgn `  d )  =  (pmSgn `  D ) )
21cnveqd 5030 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  `' (pmSgn `  d )  =  `' (pmSgn `  D )
)
32imaeq1d 5187 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  ( `' (pmSgn `  d ) " { 1 } )  =  ( `' (pmSgn `  D ) " {
1 } ) )
4 df-evpm 17075 . . . 4  |- pmEven  =  ( d  e.  _V  |->  ( `' (pmSgn `  d ) " { 1 } ) )
5 fvex 5891 . . . . . 6  |-  (pmSgn `  D )  e.  _V
65cnvex 6754 . . . . 5  |-  `' (pmSgn `  D )  e.  _V
7 imaexg 6744 . . . . 5  |-  ( `' (pmSgn `  D )  e.  _V  ->  ( `' (pmSgn `  D ) " { 1 } )  e.  _V )
86, 7ax-mp 5 . . . 4  |-  ( `' (pmSgn `  D ) " { 1 } )  e.  _V
93, 4, 8fvmpt 5964 . . 3  |-  ( D  e.  _V  ->  (pmEven `  D )  =  ( `' (pmSgn `  D ) " { 1 } ) )
10 cnvimass 5208 . . . 4  |-  ( `' (pmSgn `  D ) " { 1 } ) 
C_  dom  (pmSgn `  D
)
11 evpmss.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( SymGrp `  D )
12 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  (pmSgn `  D )  =  (pmSgn `  D )
13 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( Ss  dom  (pmSgn `  D )
)  =  ( Ss  dom  (pmSgn `  D )
)
14 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )  =  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } )
1511, 12, 13, 14psgnghm 19070 . . . . . 6  |-  ( D  e.  _V  ->  (pmSgn `  D )  e.  ( ( Ss  dom  (pmSgn `  D
) )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) ) )
16 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D
) ) )  =  ( Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D )
) )
17 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  =  ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )
1816, 17ghmf 16829 . . . . . 6  |-  ( (pmSgn `  D )  e.  ( ( Ss  dom  (pmSgn `  D
) )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  (pmSgn `  D
) : ( Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D
) ) ) --> (
Base `  ( (mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u 1 } ) ) )
19 fdm 5750 . . . . . 6  |-  ( (pmSgn `  D ) : (
Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D ) ) ) --> ( Base `  (
(mulGrp ` fld )s  { 1 ,  -u
1 } ) )  ->  dom  (pmSgn `  D
)  =  ( Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D
) ) ) )
2015, 18, 193syl 18 . . . . 5  |-  ( D  e.  _V  ->  dom  (pmSgn `  D )  =  ( Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D )
) ) )
21 evpmss.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  S
)
2213, 21ressbasss 15134 . . . . 5  |-  ( Base `  ( Ss  dom  (pmSgn `  D
) ) )  C_  P
2320, 22syl6eqss 3520 . . . 4  |-  ( D  e.  _V  ->  dom  (pmSgn `  D )  C_  P )
2410, 23syl5ss 3481 . . 3  |-  ( D  e.  _V  ->  ( `' (pmSgn `  D ) " { 1 } ) 
C_  P )
259, 24eqsstrd 3504 . 2  |-  ( D  e.  _V  ->  (pmEven `  D )  C_  P
)
26 fvprc 5875 . . 3  |-  ( -.  D  e.  _V  ->  (pmEven `  D )  =  (/) )
27 0ss 3797 . . 3  |-  (/)  C_  P
2826, 27syl6eqss 3520 . 2  |-  ( -.  D  e.  _V  ->  (pmEven `  D )  C_  P
)
2925, 28pm2.61i 167 1  |-  (pmEven `  D )  C_  P
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {csn 4002   {cpr 4004   `'ccnv 4853   dom cdm 4854   "cima 4857   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1c1 9539   -ucneg 9860   Basecbs 15075   ↾s cress 15076    GrpHom cghm 16822   SymGrpcsymg 16960  pmSgncpsgn 17072  pmEvencevpm 17073  mulGrpcmgp 17649  ℂfldccnfld 18896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-xor 1401  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-word 12651  df-lsw 12652  df-concat 12653  df-s1 12654  df-substr 12655  df-splice 12656  df-reverse 12657  df-s2 12929  df-struct 15077  df-ndx 15078  df-slot 15079  df-base 15080  df-sets 15081  df-ress 15082  df-plusg 15156  df-mulr 15157  df-starv 15158  df-tset 15162  df-ple 15163  df-ds 15165  df-unif 15166  df-0g 15290  df-gsum 15291  df-mre 15434  df-mrc 15435  df-acs 15437  df-mgm 16430  df-sgrp 16469  df-mnd 16479  df-mhm 16524  df-submnd 16525  df-grp 16615  df-minusg 16616  df-subg 16756  df-ghm 16823  df-gim 16865  df-oppg 16939  df-symg 16961  df-pmtr 17025  df-psgn 17074  df-evpm 17075  df-cmn 17358  df-abl 17359  df-mgp 17650  df-ur 17662  df-ring 17708  df-cring 17709  df-oppr 17777  df-dvdsr 17795  df-unit 17796  df-invr 17826  df-dvr 17837  df-drng 17903  df-cnfld 18897
This theorem is referenced by:  zrhpsgnevpm  19081  evpmodpmf1o  19086  mdetralt  19555
  Copyright terms: Public domain W3C validator