Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evpmodpmf1o Structured version   Unicode version

Theorem evpmodpmf1o 18501
 Description: The function for performing an even permutation after a fixed odd permutation is one to one onto all odd permutations. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmodpmf1o.s
evpmodpmf1o.p
Assertion
Ref Expression
evpmodpmf1o pmEven pmEven pmEven pmEven
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem evpmodpmf1o
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . 4 pmEven pmEven
2 evpmodpmf1o.s . . . . . . 7
32symggrp 16297 . . . . . 6
43ad2antrr 725 . . . . 5 pmEven pmEven
5 eldifi 3631 . . . . . 6 pmEven
65ad2antlr 726 . . . . 5 pmEven pmEven
7 evpmodpmf1o.p . . . . . . . 8
82, 7evpmss 18491 . . . . . . 7 pmEven
98sseli 3505 . . . . . 6 pmEven
109adantl 466 . . . . 5 pmEven pmEven
11 eqid 2467 . . . . . 6
127, 11grpcl 15935 . . . . 5
134, 6, 10, 12syl3anc 1228 . . . 4 pmEven pmEven
14 eqid 2467 . . . . . . . 8 pmSgn pmSgn
15 eqid 2467 . . . . . . . 8 mulGrpflds mulGrpflds
162, 14, 15psgnghm2 18486 . . . . . . 7 pmSgn mulGrpflds
1716ad2antrr 725 . . . . . 6 pmEven pmEven pmSgn mulGrpflds
18 prex 4695 . . . . . . . 8
19 eqid 2467 . . . . . . . . . 10 mulGrpfld mulGrpfld
20 cnfldmul 18296 . . . . . . . . . 10 fld
2119, 20mgpplusg 17017 . . . . . . . . 9 mulGrpfld
2215, 21ressplusg 14614 . . . . . . . 8 mulGrpflds
2318, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 mulGrpflds
247, 11, 23ghmlin 16144 . . . . . 6 pmSgn mulGrpflds pmSgn pmSgn pmSgn
2517, 6, 10, 24syl3anc 1228 . . . . 5 pmEven pmEven pmSgn pmSgn pmSgn
262, 7, 14psgnodpm 18493 . . . . . . . 8 pmEven pmSgn
2726adantr 465 . . . . . . 7 pmEven pmEven pmSgn
282, 7, 14psgnevpm 18494 . . . . . . . 8 pmEven pmSgn
2928adantlr 714 . . . . . . 7 pmEven pmEven pmSgn
3027, 29oveq12d 6313 . . . . . 6 pmEven pmEven pmSgn pmSgn
31 ax-1cn 9562 . . . . . . 7
3231mulm1i 10013 . . . . . 6
3330, 32syl6eq 2524 . . . . 5 pmEven pmEven pmSgn pmSgn
3425, 33eqtrd 2508 . . . 4 pmEven pmEven pmSgn
352, 7, 14psgnodpmr 18495 . . . 4 pmSgn pmEven
361, 13, 34, 35syl3anc 1228 . . 3 pmEven pmEven pmEven
37 eqid 2467 . . 3 pmEven pmEven
3836, 37fmptd 6056 . 2 pmEven pmEven pmEven pmEven
393ad2antrr 725 . . . . 5 pmEven pmEven
403adantr 465 . . . . . . 7 pmEven
415adantl 466 . . . . . . 7 pmEven
42 eqid 2467 . . . . . . . 8
437, 42grpinvcl 15967 . . . . . . 7
4440, 41, 43syl2anc 661 . . . . . 6 pmEven
4544adantr 465 . . . . 5 pmEven pmEven
46 eldifi 3631 . . . . . 6 pmEven
4746adantl 466 . . . . 5 pmEven pmEven
487, 11grpcl 15935 . . . . 5
4939, 45, 47, 48syl3anc 1228 . . . 4 pmEven pmEven
5016ad2antrr 725 . . . . . 6 pmEven pmEven pmSgn mulGrpflds
517, 11, 23ghmlin 16144 . . . . . 6 pmSgn mulGrpflds pmSgn pmSgn pmSgn
5250, 45, 47, 51syl3anc 1228 . . . . 5 pmEven pmEven pmSgn pmSgn pmSgn
532, 7, 42symginv 16299 . . . . . . . . 9
545, 53syl 16 . . . . . . . 8 pmEven
5554ad2antlr 726 . . . . . . 7 pmEven pmEven
5655fveq2d 5876 . . . . . 6 pmEven pmEven pmSgn pmSgn
572, 7, 14psgnodpm 18493 . . . . . . 7 pmEven pmSgn
5857adantlr 714 . . . . . 6 pmEven pmEven pmSgn
5956, 58oveq12d 6313 . . . . 5 pmEven pmEven pmSgn pmSgn pmSgn
60 simpll 753 . . . . . . . . 9 pmEven pmEven
615ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 pmEven pmEven
622, 14, 7psgninv 18487 . . . . . . . . 9 pmSgn pmSgn
6360, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . 8 pmEven pmEven pmSgn pmSgn
6426adantr 465 . . . . . . . 8 pmEven pmEven pmSgn
6563, 64eqtrd 2508 . . . . . . 7 pmEven pmEven pmSgn
6665oveq1d 6310 . . . . . 6 pmEven pmEven pmSgn
6731, 31mul2negi 10016 . . . . . . 7
68 1t1e1 10695 . . . . . . 7
6967, 68eqtri 2496 . . . . . 6
7066, 69syl6eq 2524 . . . . 5 pmEven pmEven pmSgn
7152, 59, 703eqtrd 2512 . . . 4 pmEven pmEven pmSgn
722, 7, 14psgnevpmb 18492 . . . . 5 pmEven pmSgn
7372ad2antrr 725 . . . 4 pmEven pmEven pmEven pmSgn
7449, 71, 73mpbir2and 920 . . 3 pmEven pmEven pmEven
75 eqid 2467 . . 3 pmEven pmEven
7674, 75fmptd 6056 . 2 pmEven pmEven pmEvenpmEven
77 eqidd 2468 . . . . 5 pmEven pmEven pmEven
78 eqidd 2468 . . . . 5 pmEven pmEven pmEven
79 oveq2 6303 . . . . 5
8074, 77, 78, 79fmptco 6065 . . . 4 pmEven pmEven pmEven pmEven
81 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
827, 11, 81, 42grprinv 15969 . . . . . . . . 9
8340, 41, 82syl2anc 661 . . . . . . . 8 pmEven
8483oveq1d 6310 . . . . . . 7 pmEven
8584adantr 465 . . . . . 6 pmEven pmEven
867, 11grpass 15936 . . . . . . 7
8739, 61, 45, 47, 86syl13anc 1230 . . . . . 6 pmEven pmEven
887, 11, 81grplid 15952 . . . . . . 7
8939, 47, 88syl2anc 661 . . . . . 6 pmEven pmEven
9085, 87, 893eqtr3d 2516 . . . . 5 pmEven pmEven
9190mpteq2dva 4539 . . . 4 pmEven pmEven pmEven
9280, 91eqtrd 2508 . . 3 pmEven pmEven pmEven pmEven
93 mptresid 5334 . . 3 pmEven pmEven
9492, 93syl6eq 2524 . 2 pmEven pmEven pmEven pmEven
95 oveq2 6303 . . . . 5
9636, 78, 77, 95fmptco 6065 . . . 4 pmEven pmEven pmEven pmEven
977, 11, 81, 42grplinv 15968 . . . . . . . 8
984, 6, 97syl2anc 661 . . . . . . 7 pmEven pmEven
9998oveq1d 6310 . . . . . 6 pmEven pmEven
10044adantr 465 . . . . . . 7 pmEven pmEven
1017, 11grpass 15936 . . . . . . 7
1024, 100, 6, 10, 101syl13anc 1230 . . . . . 6 pmEven pmEven
1037, 11, 81grplid 15952 . . . . . . 7
1044, 10, 103syl2anc 661 . . . . . 6 pmEven pmEven
10599, 102, 1043eqtr3d 2516 . . . . 5 pmEven pmEven
106105mpteq2dva 4539 . . . 4 pmEven pmEven pmEven
10796, 106eqtrd 2508 . . 3 pmEven pmEven pmEven pmEven
108 mptresid 5334 . . 3 pmEven pmEven
109107, 108syl6eq 2524 . 2 pmEven pmEven pmEven pmEven
110 fcof1o 6198 . . 3 pmEven pmEven pmEven pmEven pmEvenpmEven pmEven pmEven pmEven pmEven pmEven pmEven pmEven pmEven pmEven pmEven pmEven
111110simpld 459 . 2 pmEven pmEven pmEven pmEven pmEvenpmEven pmEven pmEven pmEven pmEven pmEven pmEven pmEven pmEven pmEven
11238, 76, 94, 109, 111syl22anc 1229 1 pmEven pmEven pmEven pmEven
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3118   cdif 3478  cpr 4035   cmpt 4511   cid 4796  ccnv 5004   cres 5007   ccom 5009  wf 5590  wf1o 5593  cfv 5594  (class class class)co 6295  cfn 7528  c1 9505   cmul 9509  cneg 9818  cbs 14507   ↾s cress 14508   cplusg 14572  c0g 14712  cgrp 15925  cminusg 15926   cghm 16136  csymg 16274  pmSgncpsgn 16387  pmEvencevpm 16388  mulGrpcmgp 17013  ℂfldccnfld 18290 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-addf 9583  ax-mulf 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-s1 12526  df-substr 12527  df-splice 12528  df-reverse 12529  df-s2 12793  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-gim 16179  df-oppg 16253  df-symg 16275  df-pmtr 16340  df-psgn 16389  df-evpm 16390  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-drng 17269  df-cnfld 18291 This theorem is referenced by:  mdetralt  18979
 Copyright terms: Public domain W3C validator