MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlsvar Structured version   Unicode version

Theorem evlsvar 18062
Description: Polynomial evaluation maps variables to projections. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsvar.q  |-  Q  =  ( ( I evalSub  S
) `  R )
evlsvar.v  |-  V  =  ( I mVar  U )
evlsvar.u  |-  U  =  ( Ss  R )
evlsvar.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
evlsvar.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
evlsvar.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evlsvar.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
evlsvar.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
evlsvar  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( V `  X )
)  =  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 X ) ) )
Distinct variable groups:    B, g    g, I    R, g    S, g   
g, X
Allowed substitution hints:    ph( g)    Q( g)    U( g)    V( g)    W( g)

Proof of Theorem evlsvar
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsvar.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
2 elex 3127 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  W  ->  I  e.  _V )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4 evlsvar.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
5 evlsvar.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
6 evlsvar.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( ( I evalSub  S
) `  R )
7 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( I mPoly 
U )  =  ( I mPoly  U )
8 evlsvar.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( I mVar  U )
9 evlsvar.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( Ss  R )
10 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )  =  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )
11 evlsvar.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  S
)
12 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  (algSc `  ( I mPoly  U ) )  =  (algSc `  (
I mPoly  U ) )
13 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I
)  X.  { x } ) )
14 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 x ) ) )
156, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14evlsval2 18059 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  ( Q  e.  ( ( I mPoly  U
) RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  /\  ( ( Q  o.  (algSc `  ( I mPoly  U ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) )  /\  ( Q  o.  V )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )
163, 4, 5, 15syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( ( I mPoly  U ) RingHom 
( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  /\  ( ( Q  o.  (algSc `  ( I mPoly  U ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) )  /\  ( Q  o.  V )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( g `  x ) ) ) ) ) )
1716simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  (algSc `  ( I mPoly  U
) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( Q  o.  V )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  x ) ) ) ) )
1817simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  o.  V
)  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 x ) ) ) )
1918fveq1d 5874 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  V ) `  X
)  =  ( ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  x ) ) ) `  X
) )
20 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  ( I mPoly  U ) )  =  ( Base `  ( I mPoly  U ) )
219subrgring 17303 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  U  e.  Ring )
225, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Ring )
237, 8, 20, 1, 22mvrf2 18027 . . . 4  |-  ( ph  ->  V : I --> ( Base `  ( I mPoly  U ) ) )
24 ffn 5737 . . . 4  |-  ( V : I --> ( Base `  ( I mPoly  U ) )  ->  V  Fn  I )
2523, 24syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  V  Fn  I )
26 evlsvar.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
27 fvco2 5949 . . 3  |-  ( ( V  Fn  I  /\  X  e.  I )  ->  ( ( Q  o.  V ) `  X
)  =  ( Q `
 ( V `  X ) ) )
2825, 26, 27syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  V ) `  X
)  =  ( Q `
 ( V `  X ) ) )
29 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
g `  x )  =  ( g `  X ) )
3029mpteq2dv 4540 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  x ) )  =  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 X ) ) )
31 ovex 6320 . . . . 5  |-  ( B  ^m  I )  e. 
_V
3231mptex 6142 . . . 4  |-  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 X ) )  e.  _V
3330, 14, 32fvmpt 5957 . . 3  |-  ( X  e.  I  ->  (
( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) ) `  X )  =  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `  X ) ) )
3426, 33syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I
)  |->  ( g `  x ) ) ) `
 X )  =  ( g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( g `  X
) ) )
3519, 28, 343eqtr3d 2516 1  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( V `  X )
)  =  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   {csn 4033    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003    o. ccom 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   Basecbs 14507   ↾s cress 14508    ^s cpws 14719   Ringcrg 17070   CRingccrg 17071   RingHom crh 17233  SubRingcsubrg 17296  algSccascl 17830   mVar cmvr 17871   mPoly cmpl 17872   evalSub ces 18039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-srg 17030  df-ring 17072  df-cring 17073  df-rnghom 17236  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-assa 17831  df-asp 17832  df-ascl 17833  df-psr 17875  df-mvr 17876  df-mpl 17877  df-evls 18041
This theorem is referenced by:  evlsvarsrng  18067  evlvar  18068  mpfproj  18070  mpfind  18075  evl1var  18242
  Copyright terms: Public domain W3C validator