Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlsval2 Structured version   Unicode version

Theorem evlsval2 18036
 Description: Characterizing properties of the polynomial evaluation map function. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsval.q evalSub
evlsval.w mPoly
evlsval.v mVar
evlsval.u s
evlsval.t s
evlsval.b
evlsval.a algSc
evlsval.x
evlsval.y
Assertion
Ref Expression
evlsval2 SubRing RingHom
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem evlsval2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsval.q . . . 4 evalSub
2 evlsval.w . . . 4 mPoly
3 evlsval.v . . . 4 mVar
4 evlsval.u . . . 4 s
5 evlsval.t . . . 4 s
6 evlsval.b . . . 4
7 evlsval.a . . . 4 algSc
8 evlsval.x . . . 4
9 evlsval.y . . . 4
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9evlsval 18035 . . 3 SubRing RingHom
11 eqid 2467 . . . . 5
12 simp1 996 . . . . 5 SubRing
134subrgcrng 17281 . . . . . 6 SubRing
14133adant1 1014 . . . . 5 SubRing
15 simp2 997 . . . . . 6 SubRing
16 ovex 6319 . . . . . 6
175pwscrng 17115 . . . . . 6
1815, 16, 17sylancl 662 . . . . 5 SubRing
196subrgss 17278 . . . . . . . . 9 SubRing
20193ad2ant3 1019 . . . . . . . 8 SubRing
21 resmpt 5328 . . . . . . . 8
2220, 21syl 16 . . . . . . 7 SubRing
2322, 8syl6eqr 2526 . . . . . 6 SubRing
24 crngring 17058 . . . . . . . . 9
25243ad2ant2 1018 . . . . . . . 8 SubRing
26 eqid 2467 . . . . . . . . 9
275, 6, 26pwsdiagrhm 17310 . . . . . . . 8 RingHom
2825, 16, 27sylancl 662 . . . . . . 7 SubRing RingHom
29 simp3 998 . . . . . . 7 SubRing SubRing
304resrhm 17306 . . . . . . 7 RingHom SubRing RingHom
3128, 29, 30syl2anc 661 . . . . . 6 SubRing RingHom
3223, 31eqeltrrd 2556 . . . . 5 SubRing RingHom
33 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
346, 33eqeltri 2551 . . . . . . . . . . 11
35 simpl1 999 . . . . . . . . . . 11 SubRing
36 elmapg 7443 . . . . . . . . . . 11
3734, 35, 36sylancr 663 . . . . . . . . . 10 SubRing
3837biimpa 484 . . . . . . . . 9 SubRing
39 simplr 754 . . . . . . . . 9 SubRing
4038, 39ffvelrnd 6032 . . . . . . . 8 SubRing
41 eqid 2467 . . . . . . . 8
4240, 41fmptd 6055 . . . . . . 7 SubRing
43 simpl2 1000 . . . . . . . 8 SubRing
445, 6, 11pwselbasb 14755 . . . . . . . 8
4543, 16, 44sylancl 662 . . . . . . 7 SubRing
4642, 45mpbird 232 . . . . . 6 SubRing
4746, 9fmptd 6055 . . . . 5 SubRing
482, 11, 7, 3, 12, 14, 18, 32, 47evlseu 18032 . . . 4 SubRing RingHom
49 riotacl2 6269 . . . 4 RingHom RingHom RingHom
5048, 49syl 16 . . 3 SubRing RingHom RingHom
5110, 50eqeltrd 2555 . 2 SubRing RingHom
52 coeq1 5165 . . . . 5
5352eqeq1d 2469 . . . 4
54 coeq1 5165 . . . . 5
5554eqeq1d 2469 . . . 4
5653, 55anbi12d 710 . . 3
5756elrab 3266 . 2 RingHom RingHom
5851, 57sylib 196 1 SubRing RingHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wreu 2819  crab 2821  cvv 3118   wss 3481  csn 4032   cmpt 4510   cxp 5002   cres 5006   ccom 5008  wf 5589  cfv 5593  crio 6254  (class class class)co 6294   cmap 7430  cbs 14502   ↾s cress 14503   s cpws 14714  crg 17047  ccrg 17048   RingHom crh 17210  SubRingcsubrg 17273  algSccascl 17807   mVar cmvr 17848   mPoly cmpl 17849   evalSub ces 18016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-ofr 6535  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-seq 12086  df-hash 12384  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-hom 14591  df-cco 14592  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-prds 14715  df-pws 14717  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-mhm 15819  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-sbg 15908  df-mulg 15909  df-subg 16047  df-ghm 16114  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-srg 17007  df-ring 17049  df-cring 17050  df-rnghom 17213  df-subrg 17275  df-lmod 17362  df-lss 17427  df-lsp 17466  df-assa 17808  df-asp 17809  df-ascl 17810  df-psr 17852  df-mvr 17853  df-mpl 17854  df-evls 18018 This theorem is referenced by:  evlsrhm  18037  evlssca  18038  evlsvar  18039
 Copyright terms: Public domain W3C validator