Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlsval2 Structured version   Unicode version

Theorem evlsval2 18731
 Description: Characterizing properties of the polynomial evaluation map function. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsval.q evalSub
evlsval.w mPoly
evlsval.v mVar
evlsval.u s
evlsval.t s
evlsval.b
evlsval.a algSc
evlsval.x
evlsval.y
Assertion
Ref Expression
evlsval2 SubRing RingHom
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem evlsval2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsval.q . . . 4 evalSub
2 evlsval.w . . . 4 mPoly
3 evlsval.v . . . 4 mVar
4 evlsval.u . . . 4 s
5 evlsval.t . . . 4 s
6 evlsval.b . . . 4
7 evlsval.a . . . 4 algSc
8 evlsval.x . . . 4
9 evlsval.y . . . 4
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9evlsval 18730 . . 3 SubRing RingHom
11 eqid 2422 . . . . 5
12 simp1 1005 . . . . 5 SubRing
134subrgcrng 18000 . . . . . 6 SubRing
14133adant1 1023 . . . . 5 SubRing
15 simp2 1006 . . . . . 6 SubRing
16 ovex 6330 . . . . . 6
175pwscrng 17833 . . . . . 6
1815, 16, 17sylancl 666 . . . . 5 SubRing
196subrgss 17997 . . . . . . . . 9 SubRing
20193ad2ant3 1028 . . . . . . . 8 SubRing
2120resmptd 5172 . . . . . . 7 SubRing
2221, 8syl6eqr 2481 . . . . . 6 SubRing
23 crngring 17779 . . . . . . . . 9
24233ad2ant2 1027 . . . . . . . 8 SubRing
25 eqid 2422 . . . . . . . . 9
265, 6, 25pwsdiagrhm 18029 . . . . . . . 8 RingHom
2724, 16, 26sylancl 666 . . . . . . 7 SubRing RingHom
28 simp3 1007 . . . . . . 7 SubRing SubRing
294resrhm 18025 . . . . . . 7 RingHom SubRing RingHom
3027, 28, 29syl2anc 665 . . . . . 6 SubRing RingHom
3122, 30eqeltrrd 2511 . . . . 5 SubRing RingHom
32 fvex 5888 . . . . . . . . . . . 12
336, 32eqeltri 2506 . . . . . . . . . . 11
34 simpl1 1008 . . . . . . . . . . 11 SubRing
35 elmapg 7490 . . . . . . . . . . 11
3633, 34, 35sylancr 667 . . . . . . . . . 10 SubRing
3736biimpa 486 . . . . . . . . 9 SubRing
38 simplr 760 . . . . . . . . 9 SubRing
3937, 38ffvelrnd 6035 . . . . . . . 8 SubRing
40 eqid 2422 . . . . . . . 8
4139, 40fmptd 6058 . . . . . . 7 SubRing
42 simpl2 1009 . . . . . . . 8 SubRing
435, 6, 11pwselbasb 15374 . . . . . . . 8
4442, 16, 43sylancl 666 . . . . . . 7 SubRing
4541, 44mpbird 235 . . . . . 6 SubRing
4645, 9fmptd 6058 . . . . 5 SubRing
472, 11, 7, 3, 12, 14, 18, 31, 46evlseu 18727 . . . 4 SubRing RingHom
48 riotacl2 6277 . . . 4 RingHom RingHom RingHom
4947, 48syl 17 . . 3 SubRing RingHom RingHom
5010, 49eqeltrd 2510 . 2 SubRing RingHom
51 coeq1 5008 . . . . 5
5251eqeq1d 2424 . . . 4
53 coeq1 5008 . . . . 5
5453eqeq1d 2424 . . . 4
5552, 54anbi12d 715 . . 3
5655elrab 3229 . 2 RingHom RingHom
5750, 56sylib 199 1 SubRing RingHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1868  wreu 2777  crab 2779  cvv 3081   wss 3436  csn 3996   cmpt 4479   cxp 4848   cres 4852   ccom 4854  wf 5594  cfv 5598  crio 6263  (class class class)co 6302   cmap 7477  cbs 15109   ↾s cress 15110   s cpws 15333  crg 17768  ccrg 17769   RingHom crh 17928  SubRingcsubrg 17992  algSccascl 18523   mVar cmvr 18564   mPoly cmpl 18565   evalSub ces 18715 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-ofr 6543  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-sup 7959  df-oi 8028  df-card 8375  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-hom 15202  df-cco 15203  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-prds 15334  df-pws 15336  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-mhm 16570  df-submnd 16571  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-sbg 16663  df-mulg 16664  df-subg 16802  df-ghm 16869  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-abl 17421  df-mgp 17712  df-ur 17724  df-srg 17728  df-ring 17770  df-cring 17771  df-rnghom 17931  df-subrg 17994  df-lmod 18081  df-lss 18144  df-lsp 18183  df-assa 18524  df-asp 18525  df-ascl 18526  df-psr 18568  df-mvr 18569  df-mpl 18570  df-evls 18717 This theorem is referenced by:  evlsrhm  18732  evlssca  18733  evlsvar  18734
 Copyright terms: Public domain W3C validator