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Theorem evlsval 17954
Description: Value of the polynomial evaluation map function. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsval.q  |-  Q  =  ( ( I evalSub  S
) `  R )
evlsval.w  |-  W  =  ( I mPoly  U )
evlsval.v  |-  V  =  ( I mVar  U )
evlsval.u  |-  U  =  ( Ss  R )
evlsval.t  |-  T  =  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) )
evlsval.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
evlsval.a  |-  A  =  (algSc `  W )
evlsval.x  |-  X  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  {
x } ) )
evlsval.y  |-  Y  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
evlsval  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  Q  =  ( iota_ f  e.  ( W RingHom  T ) ( ( f  o.  A )  =  X  /\  (
f  o.  V )  =  Y ) ) )
Distinct variable groups:    f, I,
g, x    R, f, x    S, f, g, x    T, f    f, W
Allowed substitution hints:    A( x, f, g)    B( x, f, g)    Q( x, f, g)    R( g)    T( x, g)    U( x, f, g)    V( x, f, g)    W( x, g)    X( x, f, g)    Y( x, f, g)

Proof of Theorem evlsval
Dummy variables  b 
i  r  s  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsval.q . . . 4  |-  Q  =  ( ( I evalSub  S
) `  R )
2 fveq2 5859 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  ( Base `  S
) )
32adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( Base `  s
)  =  ( Base `  S ) )
43csbeq1d 3437 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ ( r  e.  (SubRing `  s )  |->  [_ (
i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  [_ ( Base `  S )  /  b ]_ (
r  e.  (SubRing `  s
)  |->  [_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
5 fvex 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  S )  e.  _V
65a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  ( Base `  S
)  e.  _V )
7 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  s  =  S )
87fveq2d 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  (SubRing `  s )  =  (SubRing `  S ) )
9 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  i  =  I )
10 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  S  ->  (
ss  r )  =  ( Ss  r ) )
1110ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  (
ss  r )  =  ( Ss  r ) )
129, 11oveq12d 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  (
i mPoly  ( ss  r ) )  =  ( I mPoly 
( Ss  r ) ) )
1312csbeq1d 3437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  [_ (
i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  [_ (
I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
14 ovex 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I mPoly 
( Ss  r ) )  e.  _V
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  (
I mPoly  ( Ss  r ) )  e.  _V )
16 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) )
17 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  s  =  S )
18 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  b  =  (
Base `  S )
)
19 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  i  =  I )
2018, 19oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( b  ^m  i )  =  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
)
2117, 20oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
)  =  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) )
2216, 21oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( w RingHom  (
s  ^s  ( b  ^m  i
) ) )  =  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) )
2316fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  (algSc `  w
)  =  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )
2423coeq2d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( f  o.  (algSc `  w )
)  =  ( f  o.  (algSc `  (
I mPoly  ( Ss  r ) ) ) ) )
2520xpeq1d 5017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( ( b  ^m  i )  X. 
{ x } )  =  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )
2625mpteq2dv 4529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i )  X. 
{ x } ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) ) )
2724, 26eqeq12d 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( ( f  o.  (algSc `  w
) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( b  ^m  i
)  X.  { x } ) )  <->  ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) ) ) )
2817oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( ss  r )  =  ( Ss  r ) )
2919, 28oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( i mVar  (
ss  r ) )  =  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )
3029coeq2d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( f  o.  (
I mVar  ( Ss  r ) ) ) )
3120mpteq1d 4523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( g  e.  ( b  ^m  i
)  |->  ( g `  x ) )  =  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) )
3219, 31mpteq12dv 4520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( x  e.  i  |->  ( g  e.  ( b  ^m  i
)  |->  ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) )
3330, 32eqeq12d 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( ( f  o.  ( i mVar  (
ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i  |->  ( g  e.  ( b  ^m  i
)  |->  ( g `  x ) ) )  <-> 
( f  o.  (
I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( (
Base `  S )  ^m  I )  |->  ( g `
 x ) ) ) ) )
3427, 33anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) )  <-> 
( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
3522, 34riotaeqbidv 6241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  ( b  =  ( Base `  S
)  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  ->  ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly 
( Ss  r ) ) RingHom 
( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
3635anassrs 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  /\  w  =  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) )  ->  ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly 
( Ss  r ) ) RingHom 
( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
3715, 36csbied 3457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  [_ (
I mPoly  ( Ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly 
( Ss  r ) ) RingHom 
( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
3813, 37eqtrd 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  [_ (
i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly 
( Ss  r ) ) RingHom 
( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
398, 38mpteq12dv 4520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  /\  b  =  ( Base `  S
) )  ->  (
r  e.  (SubRing `  s
)  |->  [_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
406, 39csbied 3457 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( Base `  S
)  /  b ]_ ( r  e.  (SubRing `  s )  |->  [_ (
i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
414, 40eqtrd 2503 . . . . . 6  |-  ( ( i  =  I  /\  s  =  S )  ->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ ( r  e.  (SubRing `  s )  |->  [_ (
i mPoly  ( ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  (
b  ^m  i )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
42 df-evls 17937 . . . . . 6  |- evalSub  =  ( i  e.  _V , 
s  e.  CRing  |->  [_ ( Base `  s )  / 
b ]_ ( r  e.  (SubRing `  s )  |-> 
[_ ( i mPoly  (
ss  r ) )  /  w ]_ ( iota_ f  e.  ( w RingHom  ( s  ^s  ( b  ^m  i
) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  w ) )  =  ( x  e.  r 
|->  ( ( b  ^m  i )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( i mVar  ( ss  r ) ) )  =  ( x  e.  i 
|->  ( g  e.  ( b  ^m  i ) 
|->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
43 fvex 5869 . . . . . . 7  |-  (SubRing `  S
)  e.  _V
4443mptex 6124 . . . . . 6  |-  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  e.  _V
4541, 42, 44ovmpt2a 6410 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  -> 
( I evalSub  S )  =  ( r  e.  (SubRing `  S )  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) )
4645fveq1d 5861 . . . 4  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  -> 
( ( I evalSub  S
) `  R )  =  ( ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) `  R
) )
471, 46syl5eq 2515 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing )  ->  Q  =  ( (
r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) `  R
) )
48473adant3 1011 . 2  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  Q  =  ( ( r  e.  (SubRing `  S )  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) `  R
) )
49 oveq2 6285 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ( Ss  r )  =  ( Ss  R ) )
5049oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
I mPoly  ( Ss  r ) )  =  ( I mPoly 
( Ss  R ) ) )
5150oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
( I mPoly  ( Ss  r
) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) )  =  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) )
5250fveq2d 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) )  =  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
5352coeq2d 5158 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) ) )
54 mpteq1 4522 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) ) )
5553, 54eqeq12d 2484 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  <-> 
( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) ) ) )
5649oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
I mVar  ( Ss  r ) )  =  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )
5756coeq2d 5158 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) ) )
5857eqeq1d 2464 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
( f  o.  (
I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( (
Base `  S )  ^m  I )  |->  ( g `
 x ) ) )  <->  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) )
5955, 58anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) )  <-> 
( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
6051, 59riotaeqbidv 6241 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  (
( Base `  S )  ^m  I ) ) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r ) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) )  =  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly 
( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
61 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )  =  ( r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
62 riotaex 6242 . . . . 5  |-  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly 
( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) )  e.  _V
6360, 61, 62fvmpt 5943 . . . 4  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  ( (
r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) `  R
)  =  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly 
( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
64 evlsval.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  ( I mPoly  U )
65 evlsval.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( Ss  R )
6665oveq2i 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( I mPoly 
U )  =  ( I mPoly  ( Ss  R ) )
6764, 66eqtri 2491 . . . . . . . 8  |-  W  =  ( I mPoly  ( Ss  R ) )
68 evlsval.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) )
69 evlsval.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  S
)
7069oveq1i 6287 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  ^m  I )  =  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
7170oveq2i 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )  =  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
)
7268, 71eqtri 2491 . . . . . . . 8  |-  T  =  ( S  ^s  ( (
Base `  S )  ^m  I ) )
7367, 72oveq12i 6289 . . . . . . 7  |-  ( W RingHom  T )  =  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) )
7473a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( W RingHom  T )  =  ( ( I mPoly 
( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) )
75 evlsval.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  (algSc `  W )
7667fveq2i 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  (algSc `  W )  =  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )
7775, 76eqtri 2491 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) )
7877coeq2i 5156 . . . . . . . . 9  |-  ( f  o.  A )  =  ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )
79 evlsval.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  {
x } ) )
8070xpeq1i 5014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
)  =  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } )
8180mpteq2i 4525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )
8279, 81eqtri 2491 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( x  e.  R  |->  ( ( ( Base `  S )  ^m  I
)  X.  { x } ) )
8378, 82eqeq12i 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  o.  A )  =  X  <->  ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) ) )
84 evlsval.v . . . . . . . . . . 11  |-  V  =  ( I mVar  U )
8565oveq2i 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I mVar 
U )  =  ( I mVar  ( Ss  R ) )
8684, 85eqtri 2491 . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( I mVar  ( Ss  R ) )
8786coeq2i 5156 . . . . . . . . 9  |-  ( f  o.  V )  =  ( f  o.  (
I mVar  ( Ss  R ) ) )
88 evlsval.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( g `  x
) ) )
89 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g `
 x )  =  ( g `  x
)
9070, 89mpteq12i 4526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 x ) )  =  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) )
9190mpteq2i 4525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( g `
 x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S )  ^m  I
)  |->  ( g `  x ) ) )
9288, 91eqtri 2491 . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) )
9387, 92eqeq12i 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  o.  V )  =  Y  <->  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) )
9483, 93anbi12i 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  o.  A
)  =  X  /\  ( f  o.  V
)  =  Y )  <-> 
( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R ) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( ( Base `  S
)  ^m  I )  X.  { x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) )
9594a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( ( f  o.  A )  =  X  /\  ( f  o.  V )  =  Y )  <->  ( (
f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
9674, 95riotaeqbidv 6241 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( iota_ f  e.  ( W RingHom  T ) ( ( f  o.  A )  =  X  /\  (
f  o.  V )  =  Y ) )  =  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) )
9796trud 1383 . . . 4  |-  ( iota_ f  e.  ( W RingHom  T
) ( ( f  o.  A )  =  X  /\  ( f  o.  V )  =  Y ) )  =  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  R ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  R
) ) ) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  R ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) )
9863, 97syl6eqr 2521 . . 3  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  ( (
r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) `  R
)  =  ( iota_ f  e.  ( W RingHom  T
) ( ( f  o.  A )  =  X  /\  ( f  o.  V )  =  Y ) ) )
99983ad2ant3 1014 . 2  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  ( (
r  e.  (SubRing `  S
)  |->  ( iota_ f  e.  ( ( I mPoly  ( Ss  r ) ) RingHom  ( S  ^s  ( ( Base `  S
)  ^m  I )
) ) ( ( f  o.  (algSc `  ( I mPoly  ( Ss  r
) ) ) )  =  ( x  e.  r  |->  ( ( (
Base `  S )  ^m  I )  X.  {
x } ) )  /\  ( f  o.  ( I mVar  ( Ss  r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( g  e.  ( ( Base `  S
)  ^m  I )  |->  ( g `  x
) ) ) ) ) ) `  R
)  =  ( iota_ f  e.  ( W RingHom  T
) ( ( f  o.  A )  =  X  /\  ( f  o.  V )  =  Y ) ) )
10048, 99eqtrd 2503 1  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  Q  =  ( iota_ f  e.  ( W RingHom  T ) ( ( f  o.  A )  =  X  /\  (
f  o.  V )  =  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374   T. wtru 1375    e. wcel 1762   _Vcvv 3108   [_csb 3430   {csn 4022    |-> cmpt 4500    X. cxp 4992    o. ccom 4998   ` cfv 5581   iota_crio 6237  (class class class)co 6277    ^m cmap 7412   Basecbs 14481   ↾s cress 14482    ^s cpws 14693   CRingccrg 16982   RingHom crh 17140  SubRingcsubrg 17203  algSccascl 17726   mVar cmvr 17767   mPoly cmpl 17768   evalSub ces 17935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pr 4681
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-evls 17937
This theorem is referenced by:  evlsval2  17955
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