MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlssca Structured version   Unicode version

Theorem evlssca 17630
Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlssca.q  |-  Q  =  ( ( I evalSub  S
) `  R )
evlssca.w  |-  W  =  ( I mPoly  U )
evlssca.u  |-  U  =  ( Ss  R )
evlssca.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
evlssca.a  |-  A  =  (algSc `  W )
evlssca.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
evlssca.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evlssca.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
evlssca.x  |-  ( ph  ->  X  e.  R )
Assertion
Ref Expression
evlssca  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( A `  X )
)  =  ( ( B  ^m  I )  X.  { X }
) )

Proof of Theorem evlssca
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlssca.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
2 elex 3002 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
4 evlssca.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
5 evlssca.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
6 evlssca.q . . . . . . 7  |-  Q  =  ( ( I evalSub  S
) `  R )
7 evlssca.w . . . . . . 7  |-  W  =  ( I mPoly  U )
8 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( I mVar 
U )  =  ( I mVar  U )
9 evlssca.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( Ss  R )
10 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )  =  ( S  ^s  ( B  ^m  I
) )
11 evlssca.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  S
)
12 evlssca.a . . . . . . 7  |-  A  =  (algSc `  W )
13 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I
)  X.  { x } ) )
14 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( y `
 x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( y `
 x ) ) )
156, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14evlsval2 17628 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  S  e.  CRing  /\  R  e.  (SubRing `  S )
)  ->  ( Q  e.  ( W RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  /\  (
( Q  o.  A
)  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) )  /\  ( Q  o.  ( I mVar  U ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( y `  x ) ) ) ) ) )
163, 4, 5, 15syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  ( W RingHom  ( S  ^s  ( B  ^m  I ) ) )  /\  ( ( Q  o.  A )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X. 
{ x } ) )  /\  ( Q  o.  ( I mVar  U
) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  ( B  ^m  I )  |->  ( y `  x ) ) ) ) ) )
1716simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  A )  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I
)  X.  { x } ) )  /\  ( Q  o.  (
I mVar  U ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( y  e.  ( B  ^m  I ) 
|->  ( y `  x
) ) ) ) )
1817simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  o.  A
)  =  ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  { x }
) ) )
1918fveq1d 5714 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  A ) `  X
)  =  ( ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I
)  X.  { x } ) ) `  X ) )
20 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
21 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
229subrgrng 16890 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  U  e.  Ring )
235, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Ring )
247, 20, 21, 12, 1, 23mplasclf 17601 . . . 4  |-  ( ph  ->  A : ( Base `  U ) --> ( Base `  W ) )
2511subrgss 16888 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  R  C_  B
)
269, 11ressbas2 14250 . . . . . 6  |-  ( R 
C_  B  ->  R  =  ( Base `  U
) )
275, 25, 263syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  =  ( Base `  U ) )
2827feq2d 5568 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A : R --> ( Base `  W )  <->  A : ( Base `  U
) --> ( Base `  W
) ) )
2924, 28mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  A : R --> ( Base `  W ) )
30 evlssca.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  R )
31 fvco3 5789 . . 3  |-  ( ( A : R --> ( Base `  W )  /\  X  e.  R )  ->  (
( Q  o.  A
) `  X )  =  ( Q `  ( A `  X ) ) )
3229, 30, 31syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  o.  A ) `  X
)  =  ( Q `
 ( A `  X ) ) )
33 sneq 3908 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  { x }  =  { X } )
3433xpeq2d 4885 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( B  ^m  I
)  X.  { x } )  =  ( ( B  ^m  I
)  X.  { X } ) )
35 ovex 6137 . . . . 5  |-  ( B  ^m  I )  e. 
_V
36 snex 4554 . . . . 5  |-  { X }  e.  _V
3735, 36xpex 6529 . . . 4  |-  ( ( B  ^m  I )  X.  { X }
)  e.  _V
3834, 13, 37fvmpt 5795 . . 3  |-  ( X  e.  R  ->  (
( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X.  {
x } ) ) `
 X )  =  ( ( B  ^m  I )  X.  { X } ) )
3930, 38syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  R  |->  ( ( B  ^m  I )  X. 
{ x } ) ) `  X )  =  ( ( B  ^m  I )  X. 
{ X } ) )
4019, 32, 393eqtr3d 2483 1  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( A `  X )
)  =  ( ( B  ^m  I )  X.  { X }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2993    C_ wss 3349   {csn 3898    e. cmpt 4371    X. cxp 4859    o. ccom 4865   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    ^m cmap 7235   Basecbs 14195   ↾s cress 14196    ^s cpws 14406   Ringcrg 16667   CRingccrg 16668   RingHom crh 16826  SubRingcsubrg 16883  algSccascl 17405   mVar cmvr 17441   mPoly cmpl 17442   evalSub ces 17608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-ofr 6342  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-hash 12125  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-hom 14283  df-cco 14284  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-prds 14407  df-pws 14409  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-mhm 15485  df-submnd 15486  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-mulg 15569  df-subg 15699  df-ghm 15766  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-abl 16301  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-srg 16630  df-rng 16669  df-cring 16670  df-rnghom 16828  df-subrg 16885  df-lmod 16972  df-lss 17036  df-lsp 17075  df-assa 17406  df-asp 17407  df-ascl 17408  df-psr 17445  df-mvr 17446  df-mpl 17447  df-evls 17610
This theorem is referenced by:  evlsscasrng  17634  evlsca  17635  mpfconst  17638  mpfind  17644  evls1sca  17780  evl1sca  17790  pf1ind  17811
  Copyright terms: Public domain W3C validator