Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlssca Structured version   Unicode version

Theorem evlssca 18061
 Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlssca.q evalSub
evlssca.w mPoly
evlssca.u s
evlssca.b
evlssca.a algSc
evlssca.i
evlssca.s
evlssca.r SubRing
evlssca.x
Assertion
Ref Expression
evlssca

Proof of Theorem evlssca
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlssca.i . . . . . . 7
2 elex 3127 . . . . . . 7
31, 2syl 16 . . . . . 6
4 evlssca.s . . . . . 6
5 evlssca.r . . . . . 6 SubRing
6 evlssca.q . . . . . . 7 evalSub
7 evlssca.w . . . . . . 7 mPoly
8 eqid 2467 . . . . . . 7 mVar mVar
9 evlssca.u . . . . . . 7 s
10 eqid 2467 . . . . . . 7 s s
11 evlssca.b . . . . . . 7
12 evlssca.a . . . . . . 7 algSc
13 eqid 2467 . . . . . . 7
14 eqid 2467 . . . . . . 7
156, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14evlsval2 18059 . . . . . 6 SubRing RingHom s mVar
163, 4, 5, 15syl3anc 1228 . . . . 5 RingHom s mVar
1716simprd 463 . . . 4 mVar
1817simpld 459 . . 3
1918fveq1d 5874 . 2
20 eqid 2467 . . . . 5
21 eqid 2467 . . . . 5
229subrgring 17303 . . . . . 6 SubRing
235, 22syl 16 . . . . 5
247, 20, 21, 12, 1, 23mplasclf 18032 . . . 4
2511subrgss 17301 . . . . . 6 SubRing
269, 11ressbas2 14563 . . . . . 6
275, 25, 263syl 20 . . . . 5
2827feq2d 5724 . . . 4
2924, 28mpbird 232 . . 3
30 evlssca.x . . 3
31 fvco3 5951 . . 3
3229, 30, 31syl2anc 661 . 2
33 sneq 4043 . . . . 5
3433xpeq2d 5029 . . . 4
35 ovex 6320 . . . . 5
36 snex 4694 . . . . 5
3735, 36xpex 6599 . . . 4
3834, 13, 37fvmpt 5957 . . 3
3930, 38syl 16 . 2
4019, 32, 393eqtr3d 2516 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3118   wss 3481  csn 4033   cmpt 4511   cxp 5003   ccom 5009  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295   cmap 7432  cbs 14507   ↾s cress 14508   s cpws 14719  crg 17070  ccrg 17071   RingHom crh 17233  SubRingcsubrg 17296  algSccascl 17830   mVar cmvr 17871   mPoly cmpl 17872   evalSub ces 18039 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-srg 17030  df-ring 17072  df-cring 17073  df-rnghom 17236  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-assa 17831  df-asp 17832  df-ascl 17833  df-psr 17875  df-mvr 17876  df-mpl 17877  df-evls 18041 This theorem is referenced by:  evlsscasrng  18065  evlsca  18066  mpfconst  18069  mpfind  18075  evls1sca  18230  evl1sca  18240  pf1ind  18261
 Copyright terms: Public domain W3C validator