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Theorem evlslem4OLD 17944
Description: The support of a tensor product of ring element families is contained in the product of the supports. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.) Obsolete version of evlslem4 17945 as of 18-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem4.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evlslem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
evlslem4.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
evlslem4.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
evlslem4.x  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
evlslem4.y  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
evlslem4OLD  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, I    x, J, y    ph, x, y    y, X    x, B, y    x,  .x. , y    x, Y
Allowed substitution hints:    R( x, y)    X( x)    Y( y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem evlslem4OLD
Dummy variables  i 
j  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ i
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
2 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
3 nffvmpt1 5872 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
4 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  .x.
5 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
63, 4, 5nfov 6305 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
7 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
8 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ y  .x.
9 nffvmpt1 5872 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
107, 8, 9nfov 6305 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
11 fveq2 5864 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) )
12 fveq2 5864 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  j  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
)  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
1311, 12oveqan12d 6301 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
141, 2, 6, 10, 13cbvmpt2 6358 . . . . . 6  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
15 vex 3116 . . . . . . . . 9  |-  i  e. 
_V
16 vex 3116 . . . . . . . . 9  |-  j  e. 
_V
1715, 16eqop2 6822 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. i ,  j
>. 
<->  ( z  e.  ( _V  X.  _V )  /\  ( ( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j ) ) )
18 fveq2 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  z )  =  i  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i ) )
19 fveq2 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2nd `  z )  =  j  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) )
2018, 19oveqan12d 6301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
2120adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( _V 
X.  _V )  /\  (
( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j ) )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
2217, 21sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. i ,  j
>.  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
2322mpt2mpt 6376 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) ) )  =  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) ) )
2414, 23eqtr4i 2499 . . . . 5  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
25 simp2 997 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  x  e.  I )
26 evlslem4.x . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
27263adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  X  e.  B )
28 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  I  |->  X )  =  ( x  e.  I  |->  X )
2928fvmpt2 5955 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  /\  X  e.  B )  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
3025, 27, 29syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
31 simp3 998 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  y  e.  J )
32 evlslem4.y . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
33323adant2 1015 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  Y  e.  B )
34 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  J  |->  Y )  =  ( y  e.  J  |->  Y )
3534fvmpt2 5955 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  J  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
3631, 33, 35syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
3730, 36oveq12d 6300 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( X 
.x.  Y ) )
3837mpt2eq3dva 6343 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) )
3924, 38syl5reqr 2523 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) )  =  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) )
4039cnveqd 5176 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) )  =  `' ( z  e.  ( I  X.  J
)  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) )
4140imaeq1d 5334 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  =  ( `' ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
42 difxp 5429 . . . . . 6  |-  ( ( I  X.  J ) 
\  ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  =  ( ( ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  u.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )
4342eleq2i 2545 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( I  X.  J )  \ 
( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  <->  z  e.  ( ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  u.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ) )
44 elun 3645 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )  X.  J )  u.  (
I  X.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  <->  ( z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  \/  z  e.  ( I  X.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) ) )
4543, 44bitri 249 . . . 4  |-  ( z  e.  ( ( I  X.  J )  \ 
( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  <->  ( z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  \/  z  e.  ( I  X.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) ) )
4626, 28fmptd 6043 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
47 xp1st 6811 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( I 
\  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  X.  J )  ->  ( 1st `  z )  e.  ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
48 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  -> 
( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
49 ssid 3523 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
5049a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  -> 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
5148, 50suppssrOLD 6013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  /\  ( 1st `  z )  e.  ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  =  .0.  )
5246, 47, 51syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  .0.  )
5352oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  (  .0.  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
54 evlslem4.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5554adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  R  e.  Ring )
5632, 34fmptd 6043 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
57 xp2nd 6812 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( I 
\  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  X.  J )  ->  ( 2nd `  z )  e.  J )
58 ffvelrn 6017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  /\  ( 2nd `  z
)  e.  J )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) )  e.  B
)
5956, 57, 58syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  e.  B )
60 evlslem4.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
61 evlslem4.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
62 evlslem4.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
6360, 61, 62rnglz 17022 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  e.  B )  -> 
(  .0.  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
6455, 59, 63syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
6553, 64eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
66 xp2nd 6812 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( 2nd `  z )  e.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )
67 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  -> 
( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
68 ssid 3523 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
6968a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  -> 
( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
7067, 69suppssrOLD 6013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  /\  ( 2nd `  z
)  e.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) )  =  .0.  )
7156, 66, 70syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  .0.  )
7271oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  .0.  ) )
7354adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
74 xp1st 6811 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( 1st `  z )  e.  I
)
75 ffvelrn 6017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  /\  ( 1st `  z )  e.  I
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )
7646, 74, 75syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )
7760, 61, 62rngrz 17023 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
7873, 76, 77syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
7972, 78eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
8065, 79jaodan 783 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  \/  z  e.  ( I  X.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
8145, 80sylan2b 475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  X.  J )  \  (
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
8281suppss2OLD 6512 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
8341, 82eqsstrd 3538 1  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   {csn 4027   <.cop 4033    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   1stc1st 6779   2ndc2nd 6780   Basecbs 14486   .rcmulr 14552   0gc0g 14691   Ringcrg 16986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-mgp 16932  df-rng 16988
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