Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem4OLD Structured version   Unicode version

Theorem evlslem4OLD 18495
 Description: The support of a tensor product of ring element families is contained in the product of the supports. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.) Obsolete version of evlslem4 18496 as of 18-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem4.b
evlslem4.z
evlslem4.t
evlslem4.r
evlslem4.x
evlslem4.y
Assertion
Ref Expression
evlslem4OLD
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   , ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,)

Proof of Theorem evlslem4OLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2566 . . . . . . 7
2 nfcv 2566 . . . . . . 7
3 nffvmpt1 5859 . . . . . . . 8
4 nfcv 2566 . . . . . . . 8
5 nfcv 2566 . . . . . . . 8
63, 4, 5nfov 6306 . . . . . . 7
7 nfcv 2566 . . . . . . . 8
8 nfcv 2566 . . . . . . . 8
9 nffvmpt1 5859 . . . . . . . 8
107, 8, 9nfov 6306 . . . . . . 7
11 fveq2 5851 . . . . . . . 8
12 fveq2 5851 . . . . . . . 8
1311, 12oveqan12d 6299 . . . . . . 7
141, 2, 6, 10, 13cbvmpt2 6359 . . . . . 6
15 vex 3064 . . . . . . . . 9
16 vex 3064 . . . . . . . . 9
1715, 16eqop2 6827 . . . . . . . 8
18 fveq2 5851 . . . . . . . . . 10
19 fveq2 5851 . . . . . . . . . 10
2018, 19oveqan12d 6299 . . . . . . . . 9
2120adantl 466 . . . . . . . 8
2217, 21sylbi 197 . . . . . . 7
2322mpt2mpt 6377 . . . . . 6
2414, 23eqtr4i 2436 . . . . 5
25 simp2 1000 . . . . . . . 8
26 evlslem4.x . . . . . . . . 9
27263adant3 1019 . . . . . . . 8
28 eqid 2404 . . . . . . . . 9
2928fvmpt2 5943 . . . . . . . 8
3025, 27, 29syl2anc 661 . . . . . . 7
31 simp3 1001 . . . . . . . 8
32 evlslem4.y . . . . . . . . 9
33323adant2 1018 . . . . . . . 8
34 eqid 2404 . . . . . . . . 9
3534fvmpt2 5943 . . . . . . . 8
3631, 33, 35syl2anc 661 . . . . . . 7
3730, 36oveq12d 6298 . . . . . 6
3837mpt2eq3dva 6344 . . . . 5
3924, 38syl5reqr 2460 . . . 4
4039cnveqd 5001 . . 3
4140imaeq1d 5158 . 2
42 difxp 5251 . . . . . 6
4342eleq2i 2482 . . . . 5
44 elun 3586 . . . . 5
4543, 44bitri 251 . . . 4
4626, 28fmptd 6035 . . . . . . . 8
47 xp1st 6816 . . . . . . . 8
48 id 23 . . . . . . . . 9
49 ssid 3463 . . . . . . . . . 10
5049a1i 11 . . . . . . . . 9
5148, 50suppssrOLD 6001 . . . . . . . 8
5246, 47, 51syl2an 477 . . . . . . 7
5352oveq1d 6295 . . . . . 6
54 evlslem4.r . . . . . . . 8
5554adantr 465 . . . . . . 7
5632, 34fmptd 6035 . . . . . . . 8
57 xp2nd 6817 . . . . . . . 8
58 ffvelrn 6009 . . . . . . . 8
5956, 57, 58syl2an 477 . . . . . . 7
60 evlslem4.b . . . . . . . 8
61 evlslem4.t . . . . . . . 8
62 evlslem4.z . . . . . . . 8
6360, 61, 62ringlz 17557 . . . . . . 7
6455, 59, 63syl2anc 661 . . . . . 6
6553, 64eqtrd 2445 . . . . 5
66 xp2nd 6817 . . . . . . . 8
67 id 23 . . . . . . . . 9
68 ssid 3463 . . . . . . . . . 10
6968a1i 11 . . . . . . . . 9
7067, 69suppssrOLD 6001 . . . . . . . 8
7156, 66, 70syl2an 477 . . . . . . 7
7271oveq2d 6296 . . . . . 6
7354adantr 465 . . . . . . 7
74 xp1st 6816 . . . . . . . 8
75 ffvelrn 6009 . . . . . . . 8
7646, 74, 75syl2an 477 . . . . . . 7
7760, 61, 62ringrz 17558 . . . . . . 7
7873, 76, 77syl2anc 661 . . . . . 6
7972, 78eqtrd 2445 . . . . 5
8065, 79jaodan 788 . . . 4
8145, 80sylan2b 475 . . 3
8281suppss2OLD 6513 . 2
8341, 82eqsstrd 3478 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 368   wa 369   w3a 976   wceq 1407   wcel 1844  cvv 3061   cdif 3413   cun 3414   wss 3416  csn 3974  cop 3980   cmpt 4455   cxp 4823  ccnv 4824  cima 4828  wf 5567  cfv 5571  (class class class)co 6280   cmpt2 6282  c1st 6784  c2nd 6785  cbs 14843  cmulr 14912  c0g 15056  crg 17520 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-plusg 14924  df-0g 15058  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-mgp 17464  df-ring 17522 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator