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Theorem evlslem4 17698
Description: The support of a tensor product of ring element families is contained in the product of the supports. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem4.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evlslem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
evlslem4.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
evlslem4.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
evlslem4.x  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
evlslem4.y  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
evlslem4.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
evlslem4.j  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
Assertion
Ref Expression
evlslem4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, I    x, J, y    ph, x, y    y, X    x, B, y    x,  .x. , y    x, Y
Allowed substitution hints:    R( x, y)    V( x, y)    W( x, y)    X( x)    Y( y)    .0. (
x, y)

Proof of Theorem evlslem4
Dummy variables  i 
j  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2613 . . . . . 6  |-  F/_ i
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
2 nfcv 2613 . . . . . 6  |-  F/_ j
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
3 nffvmpt1 5797 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
4 nfcv 2613 . . . . . . 7  |-  F/_ x  .x.
5 nfcv 2613 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
63, 4, 5nfov 6213 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
7 nfcv 2613 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
8 nfcv 2613 . . . . . . 7  |-  F/_ y  .x.
9 nffvmpt1 5797 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
107, 8, 9nfov 6213 . . . . . 6  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
11 fveq2 5789 . . . . . . 7  |-  ( x  =  i  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) )
12 fveq2 5789 . . . . . . 7  |-  ( y  =  j  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
)  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
1311, 12oveqan12d 6209 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
141, 2, 6, 10, 13cbvmpt2 6264 . . . . 5  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
15 vex 3071 . . . . . . . 8  |-  i  e. 
_V
16 vex 3071 . . . . . . . 8  |-  j  e. 
_V
1715, 16eqop2 6717 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. i ,  j
>. 
<->  ( z  e.  ( _V  X.  _V )  /\  ( ( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j ) ) )
18 fveq2 5789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  z )  =  i  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i ) )
19 fveq2 5789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd `  z )  =  j  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) )
2018, 19oveqan12d 6209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
2120adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( _V 
X.  _V )  /\  (
( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j ) )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
2217, 21sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. i ,  j
>.  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
2322mpt2mpt 6282 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) ) )  =  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) ) )
2414, 23eqtr4i 2483 . . . 4  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
25 simp2 989 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  x  e.  I )
26 evlslem4.x . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
27263adant3 1008 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  X  e.  B )
28 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  X )  =  ( x  e.  I  |->  X )
2928fvmpt2 5880 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  I  /\  X  e.  B )  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
3025, 27, 29syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
31 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  y  e.  J )
32 evlslem4.y . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
33323adant2 1007 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  Y  e.  B )
34 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  J  |->  Y )  =  ( y  e.  J  |->  Y )
3534fvmpt2 5880 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  J  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
3631, 33, 35syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
3730, 36oveq12d 6208 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( X 
.x.  Y ) )
3837mpt2eq3dva 6249 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) )
3924, 38syl5reqr 2507 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) )  =  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) )
4039oveq1d 6205 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) supp  .0.  )  =  ( (
z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) supp  .0.  ) )
41 difxp 5360 . . . . . 6  |-  ( ( I  X.  J ) 
\  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )  =  ( ( ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )  X.  J )  u.  (
I  X.  ( J 
\  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )
4241eleq2i 2529 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( I  X.  J )  \ 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  )  X.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  <->  z  e.  ( ( ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )  X.  J )  u.  (
I  X.  ( J 
\  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) ) )
43 elun 3595 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( ( I  \  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J )  u.  (
I  X.  ( J 
\  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  <->  ( z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
)  \/  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) ) )
4442, 43bitri 249 . . . 4  |-  ( z  e.  ( ( I  X.  J )  \ 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  )  X.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  <->  ( z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
)  \/  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) ) )
45 xp1st 6706 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )  X.  J )  ->  ( 1st `  z )  e.  ( I  \  (
( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
) )
4626, 28fmptd 5966 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
47 ssid 3473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  C_  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
4847a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  C_  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )
49 evlslem4.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
50 evlslem4.z . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
51 fvex 5799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
5250, 51eqeltri 2535 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  e.  _V
5352a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
5446, 48, 49, 53suppssr 6820 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( 1st `  z )  e.  ( I  \  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  .0.  )
5545, 54sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  .0.  )
5655oveq1d 6205 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
57 evlslem4.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5857adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  R  e.  Ring )
5932, 34fmptd 5966 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
60 xp2nd 6707 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )  X.  J )  ->  ( 2nd `  z )  e.  J )
61 ffvelrn 5940 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  /\  ( 2nd `  z
)  e.  J )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) )  e.  B
)
6259, 60, 61syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  e.  B )
63 evlslem4.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
64 evlslem4.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
6563, 64, 50rnglz 16787 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  e.  B )  -> 
(  .0.  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
6658, 62, 65syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
6756, 66eqtrd 2492 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
68 xp2nd 6707 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( I  X.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  ->  ( 2nd `  z )  e.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )
69 ssid 3473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  C_  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
7069a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  C_  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) )
71 evlslem4.j . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
7259, 70, 71, 53suppssr 6820 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( 2nd `  z )  e.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  .0.  )
7368, 72sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  .0.  )
7473oveq2d 6206 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  .0.  ) )
7557adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
76 xp1st 6706 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( I  X.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  ->  ( 1st `  z )  e.  I )
77 ffvelrn 5940 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  /\  ( 1st `  z )  e.  I
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )
7846, 76, 77syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )
7963, 64, 50rngrz 16788 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
8075, 78, 79syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
8174, 80eqtrd 2492 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
8267, 81jaodan 783 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
)  \/  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
8344, 82sylan2b 475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  X.  J )  \  (
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
84 xpexg 6607 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( I  X.  J
)  e.  _V )
8549, 71, 84syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I  X.  J
)  e.  _V )
8683, 85suppss2 6823 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( I  X.  J
)  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )
8740, 86eqsstrd 3488 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3068    \ cdif 3423    u. cun 3424    C_ wss 3426   <.cop 3981    |-> cmpt 4448    X. cxp 4936   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190    |-> cmpt2 6192   1stc1st 6675   2ndc2nd 6676   supp csupp 6790   Basecbs 14276   .rcmulr 14341   0gc0g 14480   Ringcrg 16751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-plusg 14353  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-mgp 16697  df-rng 16753
This theorem is referenced by:  evlslem2  17704
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