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Theorem evlslem4 18386
Description: The support of a tensor product of ring element families is contained in the product of the supports. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem4.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evlslem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
evlslem4.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
evlslem4.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
evlslem4.x  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
evlslem4.y  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
evlslem4.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
evlslem4.j  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
Assertion
Ref Expression
evlslem4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, I    x, J, y    ph, x, y    y, X    x, B, y    x,  .x. , y    x, Y
Allowed substitution hints:    R( x, y)    V( x, y)    W( x, y)    X( x)    Y( y)    .0. (
x, y)

Proof of Theorem evlslem4
Dummy variables  i 
j  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2564 . . . . . 6  |-  F/_ i
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
2 nfcv 2564 . . . . . 6  |-  F/_ j
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
3 nffvmpt1 5813 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
4 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ x  .x.
5 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
63, 4, 5nfov 6260 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
7 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
8 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ y  .x.
9 nffvmpt1 5813 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
107, 8, 9nfov 6260 . . . . . 6  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
11 fveq2 5805 . . . . . . 7  |-  ( x  =  i  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) )
12 fveq2 5805 . . . . . . 7  |-  ( y  =  j  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
)  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
1311, 12oveqan12d 6253 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
141, 2, 6, 10, 13cbvmpt2 6313 . . . . 5  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
15 vex 3061 . . . . . . . 8  |-  i  e. 
_V
16 vex 3061 . . . . . . . 8  |-  j  e. 
_V
1715, 16eqop2 6779 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. i ,  j
>. 
<->  ( z  e.  ( _V  X.  _V )  /\  ( ( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j ) ) )
18 fveq2 5805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  z )  =  i  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i ) )
19 fveq2 5805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd `  z )  =  j  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) )
2018, 19oveqan12d 6253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
2120adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( _V 
X.  _V )  /\  (
( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j ) )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
2217, 21sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. i ,  j
>.  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
2322mpt2mpt 6331 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) ) )  =  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) ) )
2414, 23eqtr4i 2434 . . . 4  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
25 simp2 998 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  x  e.  I )
26 evlslem4.x . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
27263adant3 1017 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  X  e.  B )
28 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  X )  =  ( x  e.  I  |->  X )
2928fvmpt2 5897 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  I  /\  X  e.  B )  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
3025, 27, 29syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
31 simp3 999 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  y  e.  J )
32 evlslem4.y . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
33323adant2 1016 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  Y  e.  B )
34 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  J  |->  Y )  =  ( y  e.  J  |->  Y )
3534fvmpt2 5897 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  J  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
3631, 33, 35syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
3730, 36oveq12d 6252 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( X 
.x.  Y ) )
3837mpt2eq3dva 6298 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) )
3924, 38syl5reqr 2458 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) )  =  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) )
4039oveq1d 6249 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) supp  .0.  )  =  ( (
z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) supp  .0.  ) )
41 difxp 5370 . . . . . 6  |-  ( ( I  X.  J ) 
\  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )  =  ( ( ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )  X.  J )  u.  (
I  X.  ( J 
\  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )
4241eleq2i 2480 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( I  X.  J )  \ 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  )  X.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  <->  z  e.  ( ( ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )  X.  J )  u.  (
I  X.  ( J 
\  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) ) )
43 elun 3583 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( ( I  \  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J )  u.  (
I  X.  ( J 
\  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  <->  ( z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
)  \/  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) ) )
4442, 43bitri 249 . . . 4  |-  ( z  e.  ( ( I  X.  J )  \ 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  )  X.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  <->  ( z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
)  \/  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) ) )
45 xp1st 6768 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )  X.  J )  ->  ( 1st `  z )  e.  ( I  \  (
( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
) )
4626, 28fmptd 5989 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
47 ssid 3460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  C_  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
4847a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  C_  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )
49 evlslem4.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
50 evlslem4.z . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
51 fvex 5815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
5250, 51eqeltri 2486 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  e.  _V
5352a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
5446, 48, 49, 53suppssr 6888 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( 1st `  z )  e.  ( I  \  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  .0.  )
5545, 54sylan2 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  .0.  )
5655oveq1d 6249 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
57 evlslem4.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5857adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  R  e.  Ring )
5932, 34fmptd 5989 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
60 xp2nd 6769 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )  X.  J )  ->  ( 2nd `  z )  e.  J )
61 ffvelrn 5963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  /\  ( 2nd `  z
)  e.  J )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) )  e.  B
)
6259, 60, 61syl2an 475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  e.  B )
63 evlslem4.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
64 evlslem4.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
6563, 64, 50ringlz 17447 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  e.  B )  -> 
(  .0.  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
6658, 62, 65syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
6756, 66eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
68 xp2nd 6769 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( I  X.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  ->  ( 2nd `  z )  e.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )
69 ssid 3460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  C_  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
7069a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  C_  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) )
71 evlslem4.j . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
7259, 70, 71, 53suppssr 6888 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( 2nd `  z )  e.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  .0.  )
7368, 72sylan2 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  .0.  )
7473oveq2d 6250 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  .0.  ) )
7557adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
76 xp1st 6768 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( I  X.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  ->  ( 1st `  z )  e.  I )
77 ffvelrn 5963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  /\  ( 1st `  z )  e.  I
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )
7846, 76, 77syl2an 475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )
7963, 64, 50ringrz 17448 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
8075, 78, 79syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
8174, 80eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
8267, 81jaodan 786 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
)  \/  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
8344, 82sylan2b 473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  X.  J )  \  (
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
84 xpexg 6540 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( I  X.  J
)  e.  _V )
8549, 71, 84syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I  X.  J
)  e.  _V )
8683, 85suppss2 6891 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( I  X.  J
)  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )
8740, 86eqsstrd 3475 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    u. cun 3411    C_ wss 3413   <.cop 3977    |-> cmpt 4452    X. cxp 4940   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234    |-> cmpt2 6236   1stc1st 6736   2ndc2nd 6737   supp csupp 6856   Basecbs 14733   .rcmulr 14802   0gc0g 14946   Ringcrg 17410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-plusg 14814  df-0g 14948  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-mgp 17354  df-ring 17412
This theorem is referenced by:  evlslem2  18392
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