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Theorem evlslem4 17940
Description: The support of a tensor product of ring element families is contained in the product of the supports. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem4.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evlslem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
evlslem4.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
evlslem4.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
evlslem4.x  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
evlslem4.y  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
evlslem4.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
evlslem4.j  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
Assertion
Ref Expression
evlslem4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, I    x, J, y    ph, x, y    y, X    x, B, y    x,  .x. , y    x, Y
Allowed substitution hints:    R( x, y)    V( x, y)    W( x, y)    X( x)    Y( y)    .0. (
x, y)

Proof of Theorem evlslem4
Dummy variables  i 
j  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2624 . . . . . 6  |-  F/_ i
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
2 nfcv 2624 . . . . . 6  |-  F/_ j
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
3 nffvmpt1 5867 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
4 nfcv 2624 . . . . . . 7  |-  F/_ x  .x.
5 nfcv 2624 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
63, 4, 5nfov 6300 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
7 nfcv 2624 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
8 nfcv 2624 . . . . . . 7  |-  F/_ y  .x.
9 nffvmpt1 5867 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
107, 8, 9nfov 6300 . . . . . 6  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
11 fveq2 5859 . . . . . . 7  |-  ( x  =  i  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) )
12 fveq2 5859 . . . . . . 7  |-  ( y  =  j  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
)  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
1311, 12oveqan12d 6296 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
141, 2, 6, 10, 13cbvmpt2 6353 . . . . 5  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
15 vex 3111 . . . . . . . 8  |-  i  e. 
_V
16 vex 3111 . . . . . . . 8  |-  j  e. 
_V
1715, 16eqop2 6817 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. i ,  j
>. 
<->  ( z  e.  ( _V  X.  _V )  /\  ( ( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j ) ) )
18 fveq2 5859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  z )  =  i  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i ) )
19 fveq2 5859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd `  z )  =  j  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) )
2018, 19oveqan12d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
2120adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( _V 
X.  _V )  /\  (
( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j ) )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
2217, 21sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. i ,  j
>.  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
2322mpt2mpt 6371 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) ) )  =  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) ) )
2414, 23eqtr4i 2494 . . . 4  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
25 simp2 992 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  x  e.  I )
26 evlslem4.x . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
27263adant3 1011 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  X  e.  B )
28 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  X )  =  ( x  e.  I  |->  X )
2928fvmpt2 5950 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  I  /\  X  e.  B )  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
3025, 27, 29syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
31 simp3 993 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  y  e.  J )
32 evlslem4.y . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
33323adant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  Y  e.  B )
34 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  J  |->  Y )  =  ( y  e.  J  |->  Y )
3534fvmpt2 5950 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  J  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
3631, 33, 35syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
3730, 36oveq12d 6295 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( X 
.x.  Y ) )
3837mpt2eq3dva 6338 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) )
3924, 38syl5reqr 2518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) )  =  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) )
4039oveq1d 6292 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) supp  .0.  )  =  ( (
z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) supp  .0.  ) )
41 difxp 5424 . . . . . 6  |-  ( ( I  X.  J ) 
\  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )  =  ( ( ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )  X.  J )  u.  (
I  X.  ( J 
\  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )
4241eleq2i 2540 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( I  X.  J )  \ 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  )  X.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  <->  z  e.  ( ( ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )  X.  J )  u.  (
I  X.  ( J 
\  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) ) )
43 elun 3640 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( ( I  \  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J )  u.  (
I  X.  ( J 
\  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  <->  ( z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
)  \/  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) ) )
4442, 43bitri 249 . . . 4  |-  ( z  e.  ( ( I  X.  J )  \ 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  )  X.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  <->  ( z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
)  \/  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) ) )
45 xp1st 6806 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )  X.  J )  ->  ( 1st `  z )  e.  ( I  \  (
( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
) )
4626, 28fmptd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
47 ssid 3518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  C_  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
4847a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  C_  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )
49 evlslem4.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
50 evlslem4.z . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
51 fvex 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
5250, 51eqeltri 2546 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  e.  _V
5352a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
5446, 48, 49, 53suppssr 6923 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( 1st `  z )  e.  ( I  \  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  .0.  )
5545, 54sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  .0.  )
5655oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
57 evlslem4.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5857adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  R  e.  Ring )
5932, 34fmptd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
60 xp2nd 6807 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )  X.  J )  ->  ( 2nd `  z )  e.  J )
61 ffvelrn 6012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  /\  ( 2nd `  z
)  e.  J )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) )  e.  B
)
6259, 60, 61syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  e.  B )
63 evlslem4.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
64 evlslem4.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
6563, 64, 50rnglz 17017 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  e.  B )  -> 
(  .0.  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
6658, 62, 65syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
6756, 66eqtrd 2503 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
68 xp2nd 6807 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( I  X.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  ->  ( 2nd `  z )  e.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )
69 ssid 3518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  C_  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
7069a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  C_  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) )
71 evlslem4.j . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
7259, 70, 71, 53suppssr 6923 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( 2nd `  z )  e.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  .0.  )
7368, 72sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  .0.  )
7473oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  .0.  ) )
7557adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
76 xp1st 6806 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( I  X.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  ->  ( 1st `  z )  e.  I )
77 ffvelrn 6012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  /\  ( 1st `  z )  e.  I
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )
7846, 76, 77syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )
7963, 64, 50rngrz 17018 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
8075, 78, 79syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
8174, 80eqtrd 2503 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
8267, 81jaodan 783 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
)  \/  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
8344, 82sylan2b 475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  X.  J )  \  (
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
84 xpexg 6704 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( I  X.  J
)  e.  _V )
8549, 71, 84syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I  X.  J
)  e.  _V )
8683, 85suppss2 6926 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( I  X.  J
)  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )
8740, 86eqsstrd 3533 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108    \ cdif 3468    u. cun 3469    C_ wss 3471   <.cop 4028    |-> cmpt 4500    X. cxp 4992   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   1stc1st 6774   2ndc2nd 6775   supp csupp 6893   Basecbs 14481   .rcmulr 14547   0gc0g 14686   Ringcrg 16981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-plusg 14559  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-mgp 16927  df-rng 16983
This theorem is referenced by:  evlslem2  17946
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