Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem4 Unicode version

Theorem evlslem4 16077
 Description: The support of a tensor product of ring element families is contained in the product of the supports. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem4.b
evlslem4.z
evlslem4.t
evlslem4.r
evlslem4.x
evlslem4.y
Assertion
Ref Expression
evlslem4
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   , ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,)

Proof of Theorem evlslem4
StepHypRef Expression
1 nfcv 2385 . . . . . . 7
2 nfcv 2385 . . . . . . 7
3 nfmpt1 4006 . . . . . . . . 9
4 nfcv 2385 . . . . . . . . 9
53, 4nffv 5384 . . . . . . . 8
6 nfcv 2385 . . . . . . . 8
7 nfcv 2385 . . . . . . . 8
85, 6, 7nfov 5733 . . . . . . 7
9 nfcv 2385 . . . . . . . 8
10 nfcv 2385 . . . . . . . 8
11 nfmpt1 4006 . . . . . . . . 9
12 nfcv 2385 . . . . . . . . 9
1311, 12nffv 5384 . . . . . . . 8
149, 10, 13nfov 5733 . . . . . . 7
15 fveq2 5377 . . . . . . . 8
16 fveq2 5377 . . . . . . . 8
1715, 16oveqan12d 5729 . . . . . . 7
181, 2, 8, 14, 17cbvmpt2 5777 . . . . . 6
19 vex 2730 . . . . . . . . 9
20 vex 2730 . . . . . . . . 9
2119, 20eqop2 6015 . . . . . . . 8
22 fveq2 5377 . . . . . . . . . 10
23 fveq2 5377 . . . . . . . . . 10
2422, 23oveqan12d 5729 . . . . . . . . 9
2524adantl 454 . . . . . . . 8
2621, 25sylbi 189 . . . . . . 7
2726mpt2mpt 5791 . . . . . 6
2818, 27eqtr4i 2276 . . . . 5
29 simp2 961 . . . . . . . 8
30 evlslem4.x . . . . . . . . 9
31303adant3 980 . . . . . . . 8
32 eqid 2253 . . . . . . . . 9
3332fvmpt2 5460 . . . . . . . 8
3429, 31, 33syl2anc 645 . . . . . . 7
35 simp3 962 . . . . . . . 8
36 evlslem4.y . . . . . . . . 9
37363adant2 979 . . . . . . . 8
38 eqid 2253 . . . . . . . . 9
3938fvmpt2 5460 . . . . . . . 8
4035, 37, 39syl2anc 645 . . . . . . 7
4134, 40oveq12d 5728 . . . . . 6
4241mpt2eq3dva 5764 . . . . 5
4328, 42syl5reqr 2300 . . . 4
4443cnveqd 4764 . . 3
4544imaeq1d 4918 . 2
46 difxp 6005 . . . . . 6
4746eleq2i 2317 . . . . 5
48 elun 3226 . . . . 5
4947, 48bitri 242 . . . 4
5030, 32fmptd 5536 . . . . . . . 8
51 xp1st 6001 . . . . . . . 8
52 id 21 . . . . . . . . 9
53 ssid 3118 . . . . . . . . . 10
5453a1i 12 . . . . . . . . 9
5552, 54suppssr 5511 . . . . . . . 8
5650, 51, 55syl2an 465 . . . . . . 7
5756oveq1d 5725 . . . . . 6
58 evlslem4.r . . . . . . . 8
5958adantr 453 . . . . . . 7
6036, 38fmptd 5536 . . . . . . . 8
61 xp2nd 6002 . . . . . . . 8
62 ffvelrn 5515 . . . . . . . 8
6360, 61, 62syl2an 465 . . . . . . 7
64 evlslem4.b . . . . . . . 8
65 evlslem4.t . . . . . . . 8
66 evlslem4.z . . . . . . . 8
6764, 65, 66rnglz 15212 . . . . . . 7
6859, 63, 67syl2anc 645 . . . . . 6
6957, 68eqtrd 2285 . . . . 5
70 xp2nd 6002 . . . . . . . 8
71 id 21 . . . . . . . . 9
72 ssid 3118 . . . . . . . . . 10
7372a1i 12 . . . . . . . . 9
7471, 73suppssr 5511 . . . . . . . 8
7560, 70, 74syl2an 465 . . . . . . 7
7675oveq2d 5726 . . . . . 6
7758adantr 453 . . . . . . 7
78 xp1st 6001 . . . . . . . 8
79 ffvelrn 5515 . . . . . . . 8
8050, 78, 79syl2an 465 . . . . . . 7
8164, 65, 66rngrz 15213 . . . . . . 7
8277, 80, 81syl2anc 645 . . . . . 6
8376, 82eqtrd 2285 . . . . 5
8469, 83jaodan 763 . . . 4
8549, 84sylan2b 463 . . 3
8685suppss2 5925 . 2
8745, 86eqsstrd 3133 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wo 359   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621  cvv 2727   cdif 3075   cun 3076   wss 3078  csn 3544  cop 3547   cmpt 3974   cxp 4578  ccnv 4579  cima 4583  wf 4588  cfv 4592  (class class class)co 5710   cmpt2 5712  c1st 5972  c2nd 5973  cbs 13022  cmulr 13083  c0g 13274  crg 15172 This theorem is referenced by:  evlslem2  16081 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-plusg 13095  df-0g 13278  df-mnd 14202  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-mgp 15161  df-ring 15175
 Copyright terms: Public domain W3C validator