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Theorem evlslem4 16519
Description: The support of a tensor product of ring element families is contained in the product of the supports. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem4.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evlslem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
evlslem4.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
evlslem4.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
evlslem4.x  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
evlslem4.y  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
evlslem4  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, I    x, J, y    ph, x, y    y, X    x, B, y    x,  .x. , y    x, Y
Allowed substitution hints:    R( x, y)    X( x)    Y( y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem evlslem4
Dummy variables  i 
j  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ i
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
2 nfcv 2540 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
3 nffvmpt1 5695 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
4 nfcv 2540 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  .x.
5 nfcv 2540 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
63, 4, 5nfov 6063 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
7 nfcv 2540 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
8 nfcv 2540 . . . . . . . 8  |-  F/_ y  .x.
9 nffvmpt1 5695 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
107, 8, 9nfov 6063 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
11 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) )
12 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  j  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
)  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
1311, 12oveqan12d 6059 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
141, 2, 6, 10, 13cbvmpt2 6110 . . . . . 6  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
15 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  i  e. 
_V
16 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  j  e. 
_V
1715, 16eqop2 6349 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. i ,  j
>. 
<->  ( z  e.  ( _V  X.  _V )  /\  ( ( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j ) ) )
18 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  z )  =  i  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i ) )
19 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2nd `  z )  =  j  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) )
2018, 19oveqan12d 6059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
2120adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( _V 
X.  _V )  /\  (
( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j ) )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
2217, 21sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. i ,  j
>.  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
2322mpt2mpt 6124 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) ) )  =  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) ) )
2414, 23eqtr4i 2427 . . . . 5  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
25 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  x  e.  I )
26 evlslem4.x . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
27263adant3 977 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  X  e.  B )
28 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  I  |->  X )  =  ( x  e.  I  |->  X )
2928fvmpt2 5771 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  /\  X  e.  B )  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
3025, 27, 29syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
31 simp3 959 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  y  e.  J )
32 evlslem4.y . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
33323adant2 976 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  Y  e.  B )
34 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  J  |->  Y )  =  ( y  e.  J  |->  Y )
3534fvmpt2 5771 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  J  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
3631, 33, 35syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
3730, 36oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( X 
.x.  Y ) )
3837mpt2eq3dva 6097 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) )
3924, 38syl5reqr 2451 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) )  =  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) )
4039cnveqd 5007 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) )  =  `' ( z  e.  ( I  X.  J
)  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) )
4140imaeq1d 5161 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  =  ( `' ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
42 difxp 6339 . . . . . 6  |-  ( ( I  X.  J ) 
\  ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  =  ( ( ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  u.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )
4342eleq2i 2468 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( I  X.  J )  \ 
( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  <->  z  e.  ( ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  u.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ) )
44 elun 3448 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )  X.  J )  u.  (
I  X.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  <->  ( z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  \/  z  e.  ( I  X.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) ) )
4543, 44bitri 241 . . . 4  |-  ( z  e.  ( ( I  X.  J )  \ 
( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  <->  ( z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  \/  z  e.  ( I  X.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) ) )
4626, 28fmptd 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
47 xp1st 6335 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( I 
\  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  X.  J )  ->  ( 1st `  z )  e.  ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
48 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  -> 
( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
49 ssid 3327 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
5049a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  -> 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
5148, 50suppssr 5823 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  /\  ( 1st `  z )  e.  ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  =  .0.  )
5246, 47, 51syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  .0.  )
5352oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  (  .0.  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
54 evlslem4.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5554adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  R  e.  Ring )
5632, 34fmptd 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
57 xp2nd 6336 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( I 
\  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  X.  J )  ->  ( 2nd `  z )  e.  J )
58 ffvelrn 5827 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  /\  ( 2nd `  z
)  e.  J )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) )  e.  B
)
5956, 57, 58syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  e.  B )
60 evlslem4.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
61 evlslem4.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
62 evlslem4.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
6360, 61, 62rnglz 15655 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  e.  B )  -> 
(  .0.  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
6455, 59, 63syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
6553, 64eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
66 xp2nd 6336 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( 2nd `  z )  e.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )
67 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  -> 
( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
68 ssid 3327 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
6968a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  -> 
( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
7067, 69suppssr 5823 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  /\  ( 2nd `  z
)  e.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) )  =  .0.  )
7156, 66, 70syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  .0.  )
7271oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  .0.  ) )
7354adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
74 xp1st 6335 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( 1st `  z )  e.  I
)
75 ffvelrn 5827 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  /\  ( 1st `  z )  e.  I
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )
7646, 74, 75syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )
7760, 61, 62rngrz 15656 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
7873, 76, 77syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
7972, 78eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
8065, 79jaodan 761 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  \/  z  e.  ( I  X.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
8145, 80sylan2b 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  X.  J )  \  (
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
8281suppss2 6259 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
8341, 82eqsstrd 3342 1  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    C_ wss 3280   {csn 3774   <.cop 3777    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   1stc1st 6306   2ndc2nd 6307   Basecbs 13424   .rcmulr 13485   0gc0g 13678   Ringcrg 15615
This theorem is referenced by:  evlslem2  16523
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-mgp 15604  df-rng 15618
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