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Theorem evlslem4 18808
Description: The support of a tensor product of ring element families is contained in the product of the supports. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem4.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evlslem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
evlslem4.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
evlslem4.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
evlslem4.x  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
evlslem4.y  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
evlslem4.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
evlslem4.j  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
Assertion
Ref Expression
evlslem4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, I    x, J, y    ph, x, y    y, X    x, B, y    x,  .x. , y    x, Y
Allowed substitution hints:    R( x, y)    V( x, y)    W( x, y)    X( x)    Y( y)    .0. (
x, y)

Proof of Theorem evlslem4
Dummy variables  i 
j  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ i
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
2 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ j
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
3 nffvmpt1 5887 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
4 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ x  .x.
5 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
63, 4, 5nfov 6334 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
7 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
8 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ y  .x.
9 nffvmpt1 5887 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
107, 8, 9nfov 6334 . . . . . 6  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
11 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( x  =  i  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) )
12 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( y  =  j  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
)  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
1311, 12oveqan12d 6327 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
141, 2, 6, 10, 13cbvmpt2 6389 . . . . 5  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
15 vex 3034 . . . . . . . 8  |-  i  e. 
_V
16 vex 3034 . . . . . . . 8  |-  j  e. 
_V
1715, 16eqop2 6853 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. i ,  j
>. 
<->  ( z  e.  ( _V  X.  _V )  /\  ( ( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j ) ) )
18 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  z )  =  i  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i ) )
19 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd `  z )  =  j  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) )
2018, 19oveqan12d 6327 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
2120adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( _V 
X.  _V )  /\  (
( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j ) )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
2217, 21sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. i ,  j
>.  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
2322mpt2mpt 6407 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) ) )  =  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) ) )
2414, 23eqtr4i 2496 . . . 4  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
25 simp2 1031 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  x  e.  I )
26 evlslem4.x . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
27263adant3 1050 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  X  e.  B )
28 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  X )  =  ( x  e.  I  |->  X )
2928fvmpt2 5972 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  I  /\  X  e.  B )  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
3025, 27, 29syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
31 simp3 1032 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  y  e.  J )
32 evlslem4.y . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
33323adant2 1049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  Y  e.  B )
34 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  J  |->  Y )  =  ( y  e.  J  |->  Y )
3534fvmpt2 5972 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  J  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
3631, 33, 35syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
3730, 36oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( X 
.x.  Y ) )
3837mpt2eq3dva 6374 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) )
3924, 38syl5reqr 2520 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) )  =  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) )
4039oveq1d 6323 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) supp  .0.  )  =  ( (
z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) supp  .0.  ) )
41 difxp 5267 . . . . . 6  |-  ( ( I  X.  J ) 
\  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )  =  ( ( ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )  X.  J )  u.  (
I  X.  ( J 
\  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )
4241eleq2i 2541 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( I  X.  J )  \ 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  )  X.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  <->  z  e.  ( ( ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )  X.  J )  u.  (
I  X.  ( J 
\  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) ) )
43 elun 3565 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( ( I  \  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J )  u.  (
I  X.  ( J 
\  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  <->  ( z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
)  \/  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) ) )
4442, 43bitri 257 . . . 4  |-  ( z  e.  ( ( I  X.  J )  \ 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  )  X.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  <->  ( z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
)  \/  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) ) )
45 xp1st 6842 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )  X.  J )  ->  ( 1st `  z )  e.  ( I  \  (
( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
) )
4626, 28fmptd 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
47 ssid 3437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  C_  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
4847a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  C_  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )
49 evlslem4.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
50 evlslem4.z . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
51 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
5250, 51eqeltri 2545 . . . . . . . . . 10  |-  .0.  e.  _V
5352a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
5446, 48, 49, 53suppssr 6965 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( 1st `  z )  e.  ( I  \  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  .0.  )
5545, 54sylan2 482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  .0.  )
5655oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
57 evlslem4.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5857adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  R  e.  Ring )
5932, 34fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
60 xp2nd 6843 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( I 
\  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )  X.  J )  ->  ( 2nd `  z )  e.  J )
61 ffvelrn 6035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  /\  ( 2nd `  z
)  e.  J )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) )  e.  B
)
6259, 60, 61syl2an 485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  e.  B )
63 evlslem4.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
64 evlslem4.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
6563, 64, 50ringlz 17895 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  e.  B )  -> 
(  .0.  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
6658, 62, 65syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
6756, 66eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
68 xp2nd 6843 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( I  X.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  ->  ( 2nd `  z )  e.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )
69 ssid 3437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  C_  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
7069a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  C_  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) )
71 evlslem4.j . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
7259, 70, 71, 53suppssr 6965 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( 2nd `  z )  e.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  .0.  )
7368, 72sylan2 482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  .0.  )
7473oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  .0.  ) )
7557adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
76 xp1st 6842 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( I  X.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  ->  ( 1st `  z )  e.  I )
77 ffvelrn 6035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  /\  ( 1st `  z )  e.  I
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )
7846, 76, 77syl2an 485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )
7963, 64, 50ringrz 17896 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
8075, 78, 79syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
8174, 80eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
8267, 81jaodan 802 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  X.  J
)  \/  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
8344, 82sylan2b 483 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  X.  J )  \  (
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
84 xpexg 6612 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( I  X.  J
)  e.  _V )
8549, 71, 84syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I  X.  J
)  e.  _V )
8683, 85suppss2 6968 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( I  X.  J
)  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )
8740, 86eqsstrd 3452 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) supp  .0.  )  C_  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   <.cop 3965    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811   supp csupp 6933   Basecbs 15199   .rcmulr 15269   0gc0g 15416   Ringcrg 17858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-mgp 17802  df-ring 17860
This theorem is referenced by:  evlslem2  18812
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