Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem4 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem evlslem4 18808
 Description: The support of a tensor product of ring element families is contained in the product of the supports. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem4.b
evlslem4.z
evlslem4.t
evlslem4.r
evlslem4.x
evlslem4.y
evlslem4.i
evlslem4.j
Assertion
Ref Expression
evlslem4 supp supp supp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   , ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   ()   ()   (,)

Proof of Theorem evlslem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2612 . . . . . 6
2 nfcv 2612 . . . . . 6
3 nffvmpt1 5887 . . . . . . 7
4 nfcv 2612 . . . . . . 7
5 nfcv 2612 . . . . . . 7
63, 4, 5nfov 6334 . . . . . 6
7 nfcv 2612 . . . . . . 7
8 nfcv 2612 . . . . . . 7
9 nffvmpt1 5887 . . . . . . 7
107, 8, 9nfov 6334 . . . . . 6
11 fveq2 5879 . . . . . . 7
12 fveq2 5879 . . . . . . 7
1311, 12oveqan12d 6327 . . . . . 6
141, 2, 6, 10, 13cbvmpt2 6389 . . . . 5
15 vex 3034 . . . . . . . 8
16 vex 3034 . . . . . . . 8
1715, 16eqop2 6853 . . . . . . 7
18 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
19 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
2018, 19oveqan12d 6327 . . . . . . . 8
2120adantl 473 . . . . . . 7
2217, 21sylbi 200 . . . . . 6
2322mpt2mpt 6407 . . . . 5
2414, 23eqtr4i 2496 . . . 4
25 simp2 1031 . . . . . . 7
26 evlslem4.x . . . . . . . 8
27263adant3 1050 . . . . . . 7
28 eqid 2471 . . . . . . . 8
2928fvmpt2 5972 . . . . . . 7
3025, 27, 29syl2anc 673 . . . . . 6
31 simp3 1032 . . . . . . 7
32 evlslem4.y . . . . . . . 8
33323adant2 1049 . . . . . . 7
34 eqid 2471 . . . . . . . 8
3534fvmpt2 5972 . . . . . . 7
3631, 33, 35syl2anc 673 . . . . . 6
3730, 36oveq12d 6326 . . . . 5
3837mpt2eq3dva 6374 . . . 4
3924, 38syl5reqr 2520 . . 3
4039oveq1d 6323 . 2 supp supp
41 difxp 5267 . . . . . 6 supp supp supp supp
4241eleq2i 2541 . . . . 5 supp supp supp supp
43 elun 3565 . . . . 5 supp supp supp supp
4442, 43bitri 257 . . . 4 supp supp supp supp
45 xp1st 6842 . . . . . . . 8 supp supp
4626, 28fmptd 6061 . . . . . . . . 9
47 ssid 3437 . . . . . . . . . 10 supp supp
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 supp supp
49 evlslem4.i . . . . . . . . 9
50 evlslem4.z . . . . . . . . . . 11
51 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11
5250, 51eqeltri 2545 . . . . . . . . . 10
5352a1i 11 . . . . . . . . 9
5446, 48, 49, 53suppssr 6965 . . . . . . . 8 supp
5545, 54sylan2 482 . . . . . . 7 supp
5655oveq1d 6323 . . . . . 6 supp
57 evlslem4.r . . . . . . . 8
5857adantr 472 . . . . . . 7 supp
5932, 34fmptd 6061 . . . . . . . 8
60 xp2nd 6843 . . . . . . . 8 supp
61 ffvelrn 6035 . . . . . . . 8
6259, 60, 61syl2an 485 . . . . . . 7 supp
63 evlslem4.b . . . . . . . 8
64 evlslem4.t . . . . . . . 8
6563, 64, 50ringlz 17895 . . . . . . 7
6658, 62, 65syl2anc 673 . . . . . 6 supp
6756, 66eqtrd 2505 . . . . 5 supp
68 xp2nd 6843 . . . . . . . 8 supp supp
69 ssid 3437 . . . . . . . . . 10 supp supp
7069a1i 11 . . . . . . . . 9 supp supp
71 evlslem4.j . . . . . . . . 9
7259, 70, 71, 53suppssr 6965 . . . . . . . 8 supp
7368, 72sylan2 482 . . . . . . 7 supp
7473oveq2d 6324 . . . . . 6 supp
7557adantr 472 . . . . . . 7 supp
76 xp1st 6842 . . . . . . . 8 supp
77 ffvelrn 6035 . . . . . . . 8
7846, 76, 77syl2an 485 . . . . . . 7 supp
7963, 64, 50ringrz 17896 . . . . . . 7
8075, 78, 79syl2anc 673 . . . . . 6 supp
8174, 80eqtrd 2505 . . . . 5 supp
8267, 81jaodan 802 . . . 4 supp supp
8344, 82sylan2b 483 . . 3 supp supp
84 xpexg 6612 . . . 4
8549, 71, 84syl2anc 673 . . 3
8683, 85suppss2 6968 . 2 supp supp supp
8740, 86eqsstrd 3452 1 supp supp supp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   wss 3390  cop 3965   cmpt 4454   cxp 4837  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  c1st 6810  c2nd 6811   supp csupp 6933  cbs 15199  cmulr 15269  c0g 15416  crg 17858 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-mgp 17802  df-ring 17860 This theorem is referenced by:  evlslem2  18812
 Copyright terms: Public domain W3C validator