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Theorem evlslem3 17575
Description: Lemma for evlseu 17577. Polynomial evaluation of a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem1.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
evlslem1.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
evlslem1.c  |-  C  =  ( Base `  S
)
evlslem1.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
evlslem1.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
evlslem1.t  |-  T  =  (mulGrp `  S )
evlslem1.x  |-  .^  =  (.g
`  T )
evlslem1.m  |-  .x.  =  ( .r `  S )
evlslem1.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
evlslem1.e  |-  E  =  ( p  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) ) )
evlslem1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
evlslem1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evlslem1.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evlslem1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
evlslem1.g  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
evlslem3.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
evlslem3.k  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
evlslem3.q  |-  ( ph  ->  H  e.  K )
Assertion
Ref Expression
evlslem3  |-  ( ph  ->  ( E `  (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) )  =  ( ( F `  H )  .x.  ( T  gsumg  ( A  oF 
.^  G ) ) ) )
Distinct variable groups:    p, b, x,  .0.    B, p    C, b    D, b, p, x    F, b, p    .^ , b, p   
h, b, A, p, x    h, I    x, K    ph, b, x    G, b, p    H, b, p, x    S, b, p    T, b, p    .x. , b, p   
x, R
Allowed substitution hints:    ph( h, p)    B( x, h, b)    C( x, h, p)    D( h)    P( x, h, p, b)    R( h, p, b)    S( x, h)    T( x, h)    .x. ( x, h)    E( x, h, p, b)    .^ ( x, h)    F( x, h)    G( x, h)    H( h)    I( x, p, b)    K( h, p, b)    V( x, h, p, b)    .0. ( h)

Proof of Theorem evlslem3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem1.p . . . 4  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 evlslem1.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
3 evlslem3.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
4 evlslem1.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
5 evlslem1.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
6 evlslem1.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
7 crngrng 16643 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
9 evlslem1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
10 evlslem3.q . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  K )
11 evlslem3.k . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
121, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11mplmon2cl 17557 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  e.  B
)
13 fveq1 5685 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( p `  b
)  =  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )
1413fveq2d 5690 . . . . . . 7  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( F `  (
p `  b )
)  =  ( F `
 ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  )
) `  b )
) )
1514oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) )  =  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) )
1615mpteq2dv 4374 . . . . 5  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) )  =  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  (
( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) )
1716oveq2d 6102 . . . 4  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) ) )
18 evlslem1.e . . . 4  |-  E  =  ( p  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) ) )
19 ovex 6111 . . . 4  |-  ( S 
gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) )  e. 
_V
2017, 18, 19fvmpt 5769 . . 3  |-  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  e.  B  ->  ( E `  (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) ) )
2112, 20syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) ) )
22 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  b  e.  D )
23 fvex 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
243, 23eqeltri 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  e.  _V
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
26 ifexg 3854 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  K  /\  .0.  e.  _V )  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  _V )
2710, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  _V )
2827adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  _V )
29 eqeq1 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
x  =  A  <->  b  =  A ) )
3029ifbid 3806 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  b  ->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  )  =  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )
31 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  )
)  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  )
)
3230, 31fvmptg 5767 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  D  /\  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b )  =  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )
3322, 28, 32syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
)  =  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
)
3433fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( F `  ( (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )  =  ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
) )
3534oveq1d 6101 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
( F `  (
( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) )  =  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF  .^  G ) ) ) )
3635mpteq2dva 4373 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) )  =  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) )
3736oveq2d 6102 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) ) )
38 evlslem1.c . . . 4  |-  C  =  ( Base `  S
)
39 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
40 evlslem1.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
41 crngrng 16643 . . . . . 6  |-  ( S  e.  CRing  ->  S  e.  Ring )
4240, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
43 rngmnd 16642 . . . . 5  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Mnd )
4442, 43syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Mnd )
45 ovex 6111 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
462, 45rabex2 4440 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
4746a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
4842adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  S  e.  Ring )
49 evlslem1.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
504, 38rhmf 16802 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F : K
--> C )
5149, 50syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : K --> C )
524, 3rng0cl 16654 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
538, 52syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
5410, 53ifcld 3827 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  K
)
5551, 54ffvelrnd 5839 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  e.  C
)
5655adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( F `  if (
b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  e.  C )
57 evlslem1.t . . . . . . . 8  |-  T  =  (mulGrp `  S )
5857, 38mgpbas 16585 . . . . . . 7  |-  C  =  ( Base `  T
)
59 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
6057crngmgp 16641 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  CRing  ->  T  e. CMnd )
6140, 60syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
6261adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  T  e. CMnd )
635adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  I  e.  _V )
64 cmnmnd 16283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e. CMnd  ->  T  e.  Mnd )
6561, 64syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  e.  Mnd )
6665ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  (
y  e.  NN0  /\  z  e.  C )
)  ->  T  e.  Mnd )
67 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  (
y  e.  NN0  /\  z  e.  C )
)  ->  y  e.  NN0 )
68 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  (
y  e.  NN0  /\  z  e.  C )
)  ->  z  e.  C )
69 evlslem1.x . . . . . . . . . 10  |-  .^  =  (.g
`  T )
7058, 69mulgnn0cl 15634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  z  e.  C )  ->  (
y  .^  z )  e.  C )
7166, 67, 68, 70syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  (
y  e.  NN0  /\  z  e.  C )
)  ->  ( y  .^  z )  e.  C
)
722psrbagf 17409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  D )  ->  b : I --> NN0 )
735, 72sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  b : I --> NN0 )
74 evlslem1.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
7574adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  G : I --> C )
76 inidm 3554 . . . . . . . 8  |-  ( I  i^i  I )  =  I
7771, 73, 75, 63, 63, 76off 6329 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
b  oF  .^  G ) : I --> C )
78 ovex 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( b  oF  .^  G
)  e.  _V
7978a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
b  oF  .^  G )  e.  _V )
80 ffun 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  oF  .^  G ) : I --> C  ->  Fun  ( b  oF  .^  G
) )
8177, 80syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  Fun  ( b  oF 
.^  G ) )
82 fvex 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  T )  e. 
_V
8382a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( 0g `  T )  e. 
_V )
842psrbag 17408 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  _V  ->  (
b  e.  D  <->  ( b : I --> NN0  /\  ( `' b " NN )  e.  Fin )
) )
855, 84syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( b  e.  D  <->  ( b : I --> NN0  /\  ( `' b " NN )  e.  Fin )
) )
8685simplbda 624 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( `' b " NN )  e.  Fin )
87 ffn 5554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b : I --> NN0  ->  b  Fn  I )
8873, 87syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  b  Fn  I )
8988adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
b  Fn  I )
90 ffn 5554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : I --> C  ->  G  Fn  I )
9174, 90syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  Fn  I )
9291ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  ->  G  Fn  I )
935ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  ->  I  e.  _V )
94 eldifi 3473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( I  \ 
( `' b " NN ) )  ->  y  e.  I )
9594adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
y  e.  I )
96 fnfvof 6328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  Fn  I  /\  G  Fn  I
)  /\  ( I  e.  _V  /\  y  e.  I ) )  -> 
( ( b  oF  .^  G ) `  y )  =  ( ( b `  y
)  .^  ( G `  y ) ) )
9789, 92, 93, 95, 96syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( ( b  oF  .^  G ) `  y )  =  ( ( b `  y
)  .^  ( G `  y ) ) )
98 eldifn 3474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( I  \ 
( `' b " NN ) )  ->  -.  y  e.  ( `' b " NN ) )
9998adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  ->  -.  y  e.  ( `' b " NN ) )
10094ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  y  e.  I )
101 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  (
b `  y )  e.  NN )
10288ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  b  Fn  I )
103 elpreima 5818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  Fn  I  ->  (
y  e.  ( `' b " NN )  <-> 
( y  e.  I  /\  ( b `  y
)  e.  NN ) ) )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  (
y  e.  ( `' b " NN )  <-> 
( y  e.  I  /\  ( b `  y
)  e.  NN ) ) )
105100, 101, 104mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  y  e.  ( `' b " NN ) )
10699, 105mtand 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  ->  -.  ( b `  y
)  e.  NN )
107 ffvelrn 5836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b : I --> NN0  /\  y  e.  I )  ->  ( b `  y
)  e.  NN0 )
10873, 94, 107syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( b `  y
)  e.  NN0 )
109 elnn0 10573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b `  y )  e.  NN0  <->  ( ( b `
 y )  e.  NN  \/  ( b `
 y )  =  0 ) )
110108, 109sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( ( b `  y )  e.  NN  \/  ( b `  y
)  =  0 ) )
111 orel1 382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( b `  y
)  e.  NN  ->  ( ( ( b `  y )  e.  NN  \/  ( b `  y
)  =  0 )  ->  ( b `  y )  =  0 ) )
112106, 110, 111sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( b `  y
)  =  0 )
113112oveq1d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( ( b `  y )  .^  ( G `  y )
)  =  ( 0 
.^  ( G `  y ) ) )
114 ffvelrn 5836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : I --> C  /\  y  e.  I )  ->  ( G `  y
)  e.  C )
11575, 94, 114syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( G `  y
)  e.  C )
11658, 59, 69mulg0 15623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  y )  e.  C  ->  (
0  .^  ( G `  y ) )  =  ( 0g `  T
) )
117115, 116syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( 0  .^  ( G `  y )
)  =  ( 0g
`  T ) )
11897, 113, 1173eqtrd 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( ( b  oF  .^  G ) `  y )  =  ( 0g `  T ) )
11977, 118suppss 6714 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
( b  oF 
.^  G ) supp  ( 0g `  T ) ) 
C_  ( `' b
" NN ) )
120 suppssfifsupp 7627 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( b  oF  .^  G )  e.  _V  /\  Fun  (
b  oF  .^  G )  /\  ( 0g `  T )  e. 
_V )  /\  (
( `' b " NN )  e.  Fin  /\  ( ( b  oF  .^  G ) supp  ( 0g `  T ) )  C_  ( `' b " NN ) ) )  ->  ( b  oF  .^  G ) finSupp 
( 0g `  T
) )
12179, 81, 83, 86, 119, 120syl32anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
b  oF  .^  G ) finSupp  ( 0g `  T ) )
12258, 59, 62, 63, 77, 121gsumcl 16388 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) )  e.  C )
123 evlslem1.m . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  S )
12438, 123rngcl 16646 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  ( F `  if (
b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  e.  C  /\  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) )  e.  C )  -> 
( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) )  e.  C )
12548, 56, 122, 124syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) )  e.  C )
126 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF  .^  G ) ) ) )  =  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF  .^  G ) ) ) )
127125, 126fmptd 5862 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) : D --> C )
128 eldifsni 3996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( D  \  { A } )  -> 
b  =/=  A )
129128neneqd 2619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( D  \  { A } )  ->  -.  b  =  A
)
130 iffalse 3794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  b  =  A  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  =  .0.  )
131129, 130syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( D  \  { A } )  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  =  .0.  )
132131adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  =  .0.  )
133132fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  =  ( F `  .0.  )
)
134 rhmghm 16801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
13549, 134syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R 
GrpHom  S ) )
1363, 39ghmid 15744 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  S ) )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  S ) )
138137adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( F `  .0.  )  =  ( 0g `  S ) )
139133, 138eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  =  ( 0g `  S ) )
140139oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) )  =  ( ( 0g `  S ) 
.x.  ( T  gsumg  ( b  oF  .^  G
) ) ) )
14142adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  ->  S  e.  Ring )
142 eldifi 3473 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( D  \  { A } )  -> 
b  e.  D )
143142, 122sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) )  e.  C )
14438, 123, 39rnglz 16669 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) )  e.  C )  -> 
( ( 0g `  S )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) )  =  ( 0g
`  S ) )
145141, 143, 144syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( ( 0g `  S )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) )  =  ( 0g
`  S ) )
146140, 145eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) )  =  ( 0g
`  S ) )
147146, 47suppss2 6718 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) supp  ( 0g
`  S ) ) 
C_  { A }
)
14838, 39, 44, 47, 11, 127, 147gsumpt 16443 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) `  A
) )
14937, 148eqtrd 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) `  A
) )
150 iftrue 3792 . . . . . 6  |-  ( b  =  A  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  =  H )
151150fveq2d 5690 . . . . 5  |-  ( b  =  A  ->  ( F `  if (
b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  =  ( F `
 H ) )
152 oveq1 6093 . . . . . 6  |-  ( b  =  A  ->  (
b  oF  .^  G )  =  ( A  oF  .^  G ) )
153152oveq2d 6102 . . . . 5  |-  ( b  =  A  ->  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) )  =  ( T  gsumg  ( A  oF  .^  G
) ) )
154151, 153oveq12d 6104 . . . 4  |-  ( b  =  A  ->  (
( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) )  =  ( ( F `  H ) 
.x.  ( T  gsumg  ( A  oF  .^  G
) ) ) )
155 ovex 6111 . . . 4  |-  ( ( F `  H ) 
.x.  ( T  gsumg  ( A  oF  .^  G
) ) )  e. 
_V
156154, 126, 155fvmpt 5769 . . 3  |-  ( A  e.  D  ->  (
( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) `  A
)  =  ( ( F `  H ) 
.x.  ( T  gsumg  ( A  oF  .^  G
) ) ) )
15711, 156syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) `  A
)  =  ( ( F `  H ) 
.x.  ( T  gsumg  ( A  oF  .^  G
) ) ) )
15821, 149, 1573eqtrd 2474 1  |-  ( ph  ->  ( E `  (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) )  =  ( ( F `  H )  .x.  ( T  gsumg  ( A  oF 
.^  G ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2714   _Vcvv 2967    \ cdif 3320    C_ wss 3323   ifcif 3786   {csn 3872   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   `'ccnv 4834   "cima 4838   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313   supp csupp 6685    ^m cmap 7206   Fincfn 7302   finSupp cfsupp 7612   0cc0 9274   NNcn 10314   NN0cn0 10571   Basecbs 14166   .rcmulr 14231   0gc0g 14370    gsumg cgsu 14371   Mndcmnd 15401  .gcmg 15406    GrpHom cghm 15735  CMndccmn 16268  mulGrpcmgp 16579   Ringcrg 16633   CRingccrg 16634   RingHom crh 16792   mVar cmvr 17396   mPoly cmpl 17397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-tset 14249  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-ghm 15736  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-cring 16636  df-rnghom 16794  df-lmod 16928  df-lss 16991  df-psr 17400  df-mpl 17402
This theorem is referenced by:  evlslem1  17576
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