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Theorem evlslem3 18310
Description: Lemma for evlseu 18312. Polynomial evaluation of a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem1.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
evlslem1.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
evlslem1.c  |-  C  =  ( Base `  S
)
evlslem1.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
evlslem1.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
evlslem1.t  |-  T  =  (mulGrp `  S )
evlslem1.x  |-  .^  =  (.g
`  T )
evlslem1.m  |-  .x.  =  ( .r `  S )
evlslem1.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
evlslem1.e  |-  E  =  ( p  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) ) )
evlslem1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
evlslem1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evlslem1.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evlslem1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
evlslem1.g  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
evlslem3.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
evlslem3.k  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
evlslem3.q  |-  ( ph  ->  H  e.  K )
Assertion
Ref Expression
evlslem3  |-  ( ph  ->  ( E `  (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) )  =  ( ( F `  H )  .x.  ( T  gsumg  ( A  oF 
.^  G ) ) ) )
Distinct variable groups:    p, b, x,  .0.    B, p    C, b    D, b, p, x    F, b, p    .^ , b, p   
h, b, A, p, x    h, I    x, K    ph, b, x    G, b, p    H, b, p, x    S, b, p    T, b, p    .x. , b, p   
x, R
Allowed substitution hints:    ph( h, p)    B( x, h, b)    C( x, h, p)    D( h)    P( x, h, p, b)    R( h, p, b)    S( x, h)    T( x, h)    .x. ( x, h)    E( x, h, p, b)    .^ ( x, h)    F( x, h)    G( x, h)    H( h)    I( x, p, b)    K( h, p, b)    V( x, h, p, b)    .0. ( h)

Proof of Theorem evlslem3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem1.p . . . 4  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 evlslem1.d . . . 4  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
3 evlslem3.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
4 evlslem1.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
5 evlslem1.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
6 evlslem1.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
7 crngring 17336 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
9 evlslem1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
10 evlslem3.q . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  K )
11 evlslem3.k . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
121, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11mplmon2cl 18292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  e.  B
)
13 fveq1 5871 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( p `  b
)  =  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )
1413fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( F `  (
p `  b )
)  =  ( F `
 ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  )
) `  b )
) )
1514oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) )  =  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) )
1615mpteq2dv 4544 . . . . 5  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) )  =  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  (
( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) )
1716oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( p  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  -> 
( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) ) )
18 evlslem1.e . . . 4  |-  E  =  ( p  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( p `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) ) )
19 ovex 6324 . . . 4  |-  ( S 
gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) )  e. 
_V
2017, 18, 19fvmpt 5956 . . 3  |-  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) )  e.  B  ->  ( E `  (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) ) )
2112, 20syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( E `  (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) ) )
22 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  b  e.  D )
23 fvex 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
243, 23eqeltri 2541 . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  e.  _V
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
26 ifexg 4014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  K  /\  .0.  e.  _V )  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  _V )
2710, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  _V )
2827adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  _V )
29 eqeq1 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
x  =  A  <->  b  =  A ) )
3029ifbid 3966 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  b  ->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  )  =  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )
31 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  )
)  =  ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  )
)
3230, 31fvmptg 5954 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  D  /\  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b )  =  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )
3322, 28, 32syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
)  =  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
)
3433fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( F `  ( (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )  =  ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
) )
3534oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
( F `  (
( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b
) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) )  =  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF  .^  G ) ) ) )
3635mpteq2dva 4543 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) )  =  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) )
3736oveq2d 6312 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) ) )
38 evlslem1.c . . . 4  |-  C  =  ( Base `  S
)
39 eqid 2457 . . . 4  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
40 evlslem1.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
41 crngring 17336 . . . . . 6  |-  ( S  e.  CRing  ->  S  e.  Ring )
4240, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
43 ringmnd 17334 . . . . 5  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Mnd )
4442, 43syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Mnd )
45 ovex 6324 . . . . . 6  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
462, 45rabex2 4609 . . . . 5  |-  D  e. 
_V
4746a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
4842adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  S  e.  Ring )
49 evlslem1.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
504, 38rhmf 17502 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F : K
--> C )
5149, 50syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : K --> C )
524, 3ring0cl 17347 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
538, 52syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
5410, 53ifcld 3987 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  e.  K
)
5551, 54ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  e.  C
)
5655adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( F `  if (
b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  e.  C )
57 evlslem1.t . . . . . . . 8  |-  T  =  (mulGrp `  S )
5857, 38mgpbas 17274 . . . . . . 7  |-  C  =  ( Base `  T
)
59 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
6057crngmgp 17333 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  CRing  ->  T  e. CMnd )
6140, 60syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e. CMnd )
6261adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  T  e. CMnd )
635adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  I  e.  _V )
64 cmnmnd 16940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e. CMnd  ->  T  e.  Mnd )
6561, 64syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  e.  Mnd )
6665ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  (
y  e.  NN0  /\  z  e.  C )
)  ->  T  e.  Mnd )
67 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  (
y  e.  NN0  /\  z  e.  C )
)  ->  y  e.  NN0 )
68 simprr 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  (
y  e.  NN0  /\  z  e.  C )
)  ->  z  e.  C )
69 evlslem1.x . . . . . . . . . 10  |-  .^  =  (.g
`  T )
7058, 69mulgnn0cl 16285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  Mnd  /\  y  e.  NN0  /\  z  e.  C )  ->  (
y  .^  z )  e.  C )
7166, 67, 68, 70syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  (
y  e.  NN0  /\  z  e.  C )
)  ->  ( y  .^  z )  e.  C
)
722psrbagf 18141 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  _V  /\  b  e.  D )  ->  b : I --> NN0 )
735, 72sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  b : I --> NN0 )
74 evlslem1.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : I --> C )
7574adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  G : I --> C )
76 inidm 3703 . . . . . . . 8  |-  ( I  i^i  I )  =  I
7771, 73, 75, 63, 63, 76off 6553 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
b  oF  .^  G ) : I --> C )
78 ovex 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( b  oF  .^  G
)  e.  _V
7978a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
b  oF  .^  G )  e.  _V )
80 ffun 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  oF  .^  G ) : I --> C  ->  Fun  ( b  oF  .^  G
) )
8177, 80syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  Fun  ( b  oF 
.^  G ) )
82 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  T )  e. 
_V
8382a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( 0g `  T )  e. 
_V )
842psrbag 18140 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  _V  ->  (
b  e.  D  <->  ( b : I --> NN0  /\  ( `' b " NN )  e.  Fin )
) )
855, 84syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( b  e.  D  <->  ( b : I --> NN0  /\  ( `' b " NN )  e.  Fin )
) )
8685simplbda 624 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( `' b " NN )  e.  Fin )
87 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b : I --> NN0  ->  b  Fn  I )
8873, 87syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  b  Fn  I )
8988adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
b  Fn  I )
90 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : I --> C  ->  G  Fn  I )
9174, 90syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  Fn  I )
9291ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  ->  G  Fn  I )
935ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  ->  I  e.  _V )
94 eldifi 3622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( I  \ 
( `' b " NN ) )  ->  y  e.  I )
9594adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
y  e.  I )
96 fnfvof 6552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  Fn  I  /\  G  Fn  I
)  /\  ( I  e.  _V  /\  y  e.  I ) )  -> 
( ( b  oF  .^  G ) `  y )  =  ( ( b `  y
)  .^  ( G `  y ) ) )
9789, 92, 93, 95, 96syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( ( b  oF  .^  G ) `  y )  =  ( ( b `  y
)  .^  ( G `  y ) ) )
98 eldifn 3623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( I  \ 
( `' b " NN ) )  ->  -.  y  e.  ( `' b " NN ) )
9998adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  ->  -.  y  e.  ( `' b " NN ) )
10094ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  y  e.  I )
101 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  (
b `  y )  e.  NN )
10288ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  b  Fn  I )
103 elpreima 6008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  Fn  I  ->  (
y  e.  ( `' b " NN )  <-> 
( y  e.  I  /\  ( b `  y
)  e.  NN ) ) )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  (
y  e.  ( `' b " NN )  <-> 
( y  e.  I  /\  ( b `  y
)  e.  NN ) ) )
105100, 101, 104mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  (
I  \  ( `' b " NN ) ) )  /\  ( b `
 y )  e.  NN )  ->  y  e.  ( `' b " NN ) )
10699, 105mtand 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  ->  -.  ( b `  y
)  e.  NN )
107 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b : I --> NN0  /\  y  e.  I )  ->  ( b `  y
)  e.  NN0 )
10873, 94, 107syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( b `  y
)  e.  NN0 )
109 elnn0 10818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b `  y )  e.  NN0  <->  ( ( b `
 y )  e.  NN  \/  ( b `
 y )  =  0 ) )
110108, 109sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( ( b `  y )  e.  NN  \/  ( b `  y
)  =  0 ) )
111 orel1 382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( b `  y
)  e.  NN  ->  ( ( ( b `  y )  e.  NN  \/  ( b `  y
)  =  0 )  ->  ( b `  y )  =  0 ) )
112106, 110, 111sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( b `  y
)  =  0 )
113112oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( ( b `  y )  .^  ( G `  y )
)  =  ( 0 
.^  ( G `  y ) ) )
114 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : I --> C  /\  y  e.  I )  ->  ( G `  y
)  e.  C )
11575, 94, 114syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( G `  y
)  e.  C )
11658, 59, 69mulg0 16274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  y )  e.  C  ->  (
0  .^  ( G `  y ) )  =  ( 0g `  T
) )
117115, 116syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( 0  .^  ( G `  y )
)  =  ( 0g
`  T ) )
11897, 113, 1173eqtrd 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  D )  /\  y  e.  ( I  \  ( `' b " NN ) ) )  -> 
( ( b  oF  .^  G ) `  y )  =  ( 0g `  T ) )
11977, 118suppss 6948 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
( b  oF 
.^  G ) supp  ( 0g `  T ) ) 
C_  ( `' b
" NN ) )
120 suppssfifsupp 7862 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( b  oF  .^  G )  e.  _V  /\  Fun  (
b  oF  .^  G )  /\  ( 0g `  T )  e. 
_V )  /\  (
( `' b " NN )  e.  Fin  /\  ( ( b  oF  .^  G ) supp  ( 0g `  T ) )  C_  ( `' b " NN ) ) )  ->  ( b  oF  .^  G ) finSupp 
( 0g `  T
) )
12179, 81, 83, 86, 119, 120syl32anc 1236 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
b  oF  .^  G ) finSupp  ( 0g `  T ) )
12258, 59, 62, 63, 77, 121gsumcl 17050 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) )  e.  C )
123 evlslem1.m . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  S )
12438, 123ringcl 17339 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  ( F `  if (
b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  e.  C  /\  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) )  e.  C )  -> 
( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) )  e.  C )
12548, 56, 122, 124syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  D )  ->  (
( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) )  e.  C )
126 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF  .^  G ) ) ) )  =  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF  .^  G ) ) ) )
127125, 126fmptd 6056 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) : D --> C )
128 eldifsni 4158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( D  \  { A } )  -> 
b  =/=  A )
129128neneqd 2659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( D  \  { A } )  ->  -.  b  =  A
)
130129iffalsed 3955 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( D  \  { A } )  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  =  .0.  )
131130adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  =  .0.  )
132131fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  =  ( F `  .0.  )
)
133 rhmghm 17501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( R RingHom  S
)  ->  F  e.  ( R  GrpHom  S ) )
13449, 133syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R 
GrpHom  S ) )
1353, 39ghmid 16400 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( R  GrpHom  S )  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  S ) )
136134, 135syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  S ) )
137136adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( F `  .0.  )  =  ( 0g `  S ) )
138132, 137eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  =  ( 0g `  S ) )
139138oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) )  =  ( ( 0g `  S ) 
.x.  ( T  gsumg  ( b  oF  .^  G
) ) ) )
14042adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  ->  S  e.  Ring )
141 eldifi 3622 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( D  \  { A } )  -> 
b  e.  D )
142141, 122sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) )  e.  C )
14338, 123, 39ringlz 17362 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Ring  /\  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) )  e.  C )  -> 
( ( 0g `  S )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) )  =  ( 0g
`  S ) )
144140, 142, 143syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( ( 0g `  S )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) )  =  ( 0g
`  S ) )
145139, 144eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( D  \  { A } ) )  -> 
( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) )  =  ( 0g
`  S ) )
146145, 47suppss2 6952 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) supp  ( 0g
`  S ) ) 
C_  { A }
)
14738, 39, 44, 47, 11, 127, 146gsumpt 17115 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) `  A
) )
14837, 147eqtrd 2498 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  gsumg  ( b  e.  D  |->  ( ( F `  ( ( x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) `  b ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) )  =  ( ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) `  A
) )
149 iftrue 3950 . . . . . 6  |-  ( b  =  A  ->  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  )  =  H )
150149fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( b  =  A  ->  ( F `  if (
b  =  A ,  H ,  .0.  )
)  =  ( F `
 H ) )
151 oveq1 6303 . . . . . 6  |-  ( b  =  A  ->  (
b  oF  .^  G )  =  ( A  oF  .^  G ) )
152151oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( b  =  A  ->  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) )  =  ( T  gsumg  ( A  oF  .^  G
) ) )
153150, 152oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( b  =  A  ->  (
( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) )  =  ( ( F `  H ) 
.x.  ( T  gsumg  ( A  oF  .^  G
) ) ) )
154 ovex 6324 . . . 4  |-  ( ( F `  H ) 
.x.  ( T  gsumg  ( A  oF  .^  G
) ) )  e. 
_V
155153, 126, 154fvmpt 5956 . . 3  |-  ( A  e.  D  ->  (
( b  e.  D  |->  ( ( F `  if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) `  A
)  =  ( ( F `  H ) 
.x.  ( T  gsumg  ( A  oF  .^  G
) ) ) )
15611, 155syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  D  |->  ( ( F `
 if ( b  =  A ,  H ,  .0.  ) )  .x.  ( T  gsumg  ( b  oF 
.^  G ) ) ) ) `  A
)  =  ( ( F `  H ) 
.x.  ( T  gsumg  ( A  oF  .^  G
) ) ) )
15721, 148, 1563eqtrd 2502 1  |-  ( ph  ->  ( E `  (
x  e.  D  |->  if ( x  =  A ,  H ,  .0.  ) ) )  =  ( ( F `  H )  .x.  ( T  gsumg  ( A  oF 
.^  G ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   "cima 5011   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537   supp csupp 6917    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   finSupp cfsupp 7847   0cc0 9509   NNcn 10556   NN0cn0 10816   Basecbs 14644   .rcmulr 14713   0gc0g 14857    gsumg cgsu 14858   Mndcmnd 16046  .gcmg 16183    GrpHom cghm 16391  CMndccmn 16925  mulGrpcmgp 17268   Ringcrg 17325   CRingccrg 17326   RingHom crh 17488   mVar cmvr 18128   mPoly cmpl 18129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-tset 14731  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-rnghom 17491  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-psr 18132  df-mpl 18134
This theorem is referenced by:  evlslem1  18311
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