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Theorem evlslem2 16523
Description: A linear function on the polynomial ring which is multiplicative on scaled monomials is generally multiplicative. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem2.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
evlslem2.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
evlslem2.m  |-  .x.  =  ( .r `  S )
evlslem2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
evlslem2.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
evlslem2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
evlslem2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evlslem2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evlslem2.e1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( P 
GrpHom  S ) )
evlslem2.e2  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D
) ) )  -> 
( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  o F  +  i ) ,  ( ( x `  j
) ( .r `  R ) ( y `
 i ) ) ,  .0.  ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
evlslem2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
x ( .r `  P ) y ) )  =  ( ( E `  x ) 
.x.  ( E `  y ) ) )
Distinct variable groups:    ph, i, j, k, y    B, i, j, k, x, y    D, i, j, k, x, y    i, E, j   
h, I, i, j, k    .x. , i, j    P, i, j, k, x, y    R, h, i, j, k    S, i, j    .0. , h, i, j, k, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, h)    B( h)    D( h)    P( h)    R( x, y)    S( x, y, h, k)    .x. ( x, y, h, k)    E( x, y, h, k)    I( x, y)

Proof of Theorem evlslem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
2 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
3 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
4 evlslem2.d . . . . . . 7  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
5 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
65rabex 4314 . . . . . . 7  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  e.  _V
74, 6eqeltri 2474 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  D  e.  _V )
9 evlslem2.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
10 evlslem2.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
11 crngrng 15629 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
1210, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
13 evlslem2.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( I mPoly  R )
1413mplrng 16470 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  Ring )
159, 12, 14syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
1615adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  P  e.  Ring )
17 evlslem2.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
18 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
199ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  I  e.  _V )
2012ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
21 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
2213, 18, 1, 4, 21mplelf 16452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x : D --> ( Base `  R ) )
2322ffvelrnda 5829 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  (
x `  j )  e.  ( Base `  R
) )
24 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  j  e.  D )
2513, 4, 17, 18, 19, 20, 1, 23, 24mplmon2cl 16515 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  e.  B
)
269ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  I  e.  _V )
2712ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
28 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
2913, 18, 1, 4, 28mplelf 16452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y : D --> ( Base `  R ) )
3029ffvelrnda 5829 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  (
y `  i )  e.  ( Base `  R
) )
31 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  i  e.  D )
3213, 4, 17, 18, 26, 27, 1, 30, 31mplmon2cl 16515 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  e.  B
)
33 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
3410adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  R  e.  CRing )
3513, 1, 17, 33, 34mplelsfi 16506 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
3613, 18, 1, 4, 33mplelf 16452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y : D --> ( Base `  R
) )
37 ssid 3327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' y " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) )
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
3936, 38suppssr 5823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( y `  j )  =  .0.  )
4039ifeq1d 3713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  )  =  if ( k  =  j ,  .0.  ,  .0.  ) )
41 ifid 3731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( k  =  j ,  .0.  ,  .0.  )  =  .0.
4240, 41syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  )  =  .0.  )
4342mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  .0.  ) )
44 rnggrp 15624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
4512, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
4613, 4, 17, 3, 9, 45mpl0 16459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( D  X.  {  .0.  }
) )
47 fconstmpt 4880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  X.  {  .0.  }
)  =  ( k  e.  D  |->  .0.  )
4846, 47syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( k  e.  D  |->  .0.  )
)
4948ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( 0g `  P )  =  ( k  e.  D  |->  .0.  ) )
5043, 49eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) )  =  ( 0g `  P ) )
5150suppss2 6259 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )
52 ssfi 7288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' y "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  C_  ( `' y " ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  e.  Fin )
5335, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
5453ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
55 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
y `  j )  =  ( x `  j ) )
5655ifeq1d 3713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  )  =  if (
k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
)
5756mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )
5857mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) )
5958cnveqd 5007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) )  =  `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) )
6059imaeq1d 5161 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  =  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
6160eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin  <->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin ) )
6261cbvralv 2892 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin  <->  A. x  e.  B  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
6354, 62sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
6463r19.21bi 2764 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
6564adantrr 698 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
66 equequ2 1694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
k  =  i  <->  k  =  j ) )
67 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  (
y `  i )  =  ( y `  j ) )
68 eqidd 2405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  .0.  =  .0.  )
6966, 67, 68ifbieq12d 3721 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  )  =  if (
k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )
)
7069mpteq2dv 4256 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )
7170cbvmptv 4260 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )
7271cnveqi 5006 . . . . . . 7  |-  `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )  =  `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )
7372imaeq1i 5159 . . . . . 6  |-  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  =  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )
7453adantrl 697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
7573, 74syl5eqel 2488 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )
761, 2, 3, 8, 8, 16, 25, 32, 65, 75gsumdixp 15670 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) ) ( .r `  P ) ( P  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
7776fveq2d 5691 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( E `  ( P  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
78 rngcmn 15649 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
7915, 78syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e. CMnd )
8079adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  P  e. CMnd )
81 evlslem2.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
82 crngrng 15629 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  CRing  ->  S  e.  Ring )
8381, 82syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
8483adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  S  e.  Ring )
85 rngmnd 15628 . . . . 5  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Mnd )
8684, 85syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  S  e.  Mnd )
877, 7xpex 4949 . . . . 5  |-  ( D  X.  D )  e. 
_V
8887a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( D  X.  D
)  e.  _V )
89 evlslem2.e1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( P 
GrpHom  S ) )
90 ghmmhm 14971 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ( P  GrpHom  S )  ->  E  e.  ( P MndHom  S ) )
9189, 90syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( P MndHom  S ) )
9291adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  E  e.  ( P MndHom  S ) )
9315ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  ->  P  e.  Ring )
9425adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) )  e.  B )
9532adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) )  e.  B )
961, 2rngcl 15632 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  e.  B  /\  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) )  e.  B )  ->  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B )
9793, 94, 95, 96syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B )
9897ralrimivva 2758 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  A. j  e.  D  A. i  e.  D  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B )
99 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) )
10099fmpt2 6377 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  D  A. i  e.  D  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B  <->  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) : ( D  X.  D
) --> B )
10198, 100sylib 189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) : ( D  X.  D ) --> B )
102 xpfi 7337 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin )  ->  ( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  X.  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) ) )  e.  Fin )
10365, 75, 102syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  P
) } ) )  X.  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  P
) } ) ) )  e.  Fin )
1041, 3, 2, 16, 25, 32evlslem4 16519 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  C_  ( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) )  X.  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) ) )
105 ssfi 7288 . . . . 5  |-  ( ( ( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  P
) } ) )  X.  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  P
) } ) ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  P
) } ) ) 
C_  ( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  X.  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) ) ) )  -> 
( `' ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  e.  Fin )
106103, 104, 105syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  e.  Fin )
1071, 3, 80, 86, 88, 92, 101, 106gsummhm 15489 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( E `  ( P  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
1089ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  ->  I  e.  _V )
10910ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  ->  R  e.  CRing )
110 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
111 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
j  e.  D )
112 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
i  e.  D )
11323adantrr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( x `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
11430adantrl 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( y `  i
)  e.  ( Base `  R ) )
11513, 4, 17, 18, 108, 109, 2, 110, 111, 112, 113, 114mplmon2mul 16516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  o F  +  i ) ,  ( ( x `  j ) ( .r `  R
) ( y `  i ) ) ,  .0.  ) ) )
116115fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  o F  +  i ) ,  ( ( x `
 j ) ( .r `  R ) ( y `  i
) ) ,  .0.  ) ) ) )
117 evlslem2.e2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D
) ) )  -> 
( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  o F  +  i ) ,  ( ( x `  j
) ( .r `  R ) ( y `
 i ) ) ,  .0.  ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
118117anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  o F  +  i ) ,  ( ( x `  j
) ( .r `  R ) ( y `
 i ) ) ,  .0.  ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
119116, 118eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
1201193impb 1149 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D  /\  i  e.  D
)  ->  ( E `  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
121120mpt2eq3dva 6097 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
122121oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) 
.x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
123 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
124 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
1251, 124ghmf 14965 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  ( P  GrpHom  S )  ->  E : B
--> ( Base `  S
) )
12689, 125syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E : B --> ( Base `  S ) )
127126feqmptd 5738 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  =  ( z  e.  B  |->  ( E `
 z ) ) )
128127adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  E  =  ( z  e.  B  |->  ( E `
 z ) ) )
129 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  ->  ( E `  z )  =  ( E `  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
13097, 123, 128, 129fmpt2co 6389 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( E `  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
131130oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
132 eqidd 2405 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) )
133 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  ->  ( E `  z )  =  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) )
13425, 132, 128, 133fmptco 5860 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( j  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) )
135134oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( S 
gsumg  ( j  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
136 eqidd 2405 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )  =  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )
137 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  ->  ( E `  z )  =  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) )
13832, 136, 128, 137fmptco 5860 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( i  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
139138oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( S 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
140135, 139oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( ( S  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
141 evlslem2.m . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  S )
142 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
143126ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  E : B --> ( Base `  S
) )
144143, 25ffvelrnd 5830 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  e.  (
Base `  S )
)
145126ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  E : B --> ( Base `  S
) )
146145, 32ffvelrnd 5830 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  e.  (
Base `  S )
)
147 ssid 3327 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  C_  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )
148147a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  C_  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
1493, 142ghmid 14967 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ( P  GrpHom  S )  ->  ( E `  ( 0g `  P
) )  =  ( 0g `  S ) )
15089, 149syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E `  ( 0g `  P ) )  =  ( 0g `  S ) )
1517mptex 5925 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
)  e.  _V
152151a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  e.  _V )
153148, 150, 152suppssfv 6260 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
154153adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
155 ssfi 7288 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  ( `' ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )  -> 
( `' ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin )
15665, 154, 155syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin )
157 ssid 3327 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )  C_  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  P ) } ) )
158157a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  C_  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
1597mptex 5925 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
)  e.  _V
160159a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  e.  _V )
161158, 150, 160suppssfv 6260 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( i  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
162161adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( i  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )
163 ssfi 7288 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  P ) } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( i  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  C_  ( `' ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  P ) } ) ) )  -> 
( `' ( i  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin )
16475, 162, 163syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( `' ( i  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  S ) } ) )  e.  Fin )
165124, 141, 142, 8, 8, 84, 144, 146, 156, 164gsumdixp 15670 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) 
.x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
166140, 165eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) 
.x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
167122, 131, 1663eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
16877, 107, 1673eqtr2d 2442 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
1699adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  I  e.  _V )
17012adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  R  e.  Ring )
17113, 4, 17, 1, 169, 170, 21mplcoe4 16518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  =  ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )
17213, 4, 17, 1, 169, 170, 28mplcoe4 16518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  =  ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
173171, 172oveq12d 6058 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  P ) y )  =  ( ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
174173fveq2d 5691 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
x ( .r `  P ) y ) )  =  ( E `
 ( ( P 
gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
175171fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  x
)  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
176 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )
17725, 176fmptd 5852 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) : D --> B )
1781, 3, 80, 86, 8, 92, 177, 65gsummhm 15489 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
179175, 178eqtr4d 2439 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  x
)  =  ( S 
gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
180172fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  y
)  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
181 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  =  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )
18232, 181fmptd 5852 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) : D --> B )
1831, 3, 80, 86, 8, 92, 182, 75gsummhm 15489 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
184180, 183eqtr4d 2439 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  y
)  =  ( S 
gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
185179, 184oveq12d 6058 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( E `  x )  .x.  ( E `  y )
)  =  ( ( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S 
gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
186168, 174, 1853eqtr4d 2446 1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
x ( .r `  P ) y ) )  =  ( ( E `  x ) 
.x.  ( E `  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   ifcif 3699   {csn 3774    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   "cima 4840    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042    o Fcof 6262    ^m cmap 6977   Fincfn 7068    + caddc 8949   NNcn 9956   NN0cn0 10177   Basecbs 13424   .rcmulr 13485   0gc0g 13678    gsumg cgsu 13679   Mndcmnd 14639   Grpcgrp 14640   MndHom cmhm 14691    GrpHom cghm 14958  CMndccmn 15367   Ringcrg 15615   CRingccrg 15616   mPoly cmpl 16363
This theorem is referenced by:  evlslem1  19889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-assa 16327  df-psr 16372  df-mpl 16374
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