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Theorem evlslem2 17573
Description: A linear function on the polynomial ring which is multiplicative on scaled monomials is generally multiplicative. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem2.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
evlslem2.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
evlslem2.m  |-  .x.  =  ( .r `  S )
evlslem2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
evlslem2.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
evlslem2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
evlslem2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evlslem2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evlslem2.e1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( P 
GrpHom  S ) )
evlslem2.e2  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D
) ) )  -> 
( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  oF  +  i ) ,  ( ( x `  j
) ( .r `  R ) ( y `
 i ) ) ,  .0.  ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
evlslem2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
x ( .r `  P ) y ) )  =  ( ( E `  x ) 
.x.  ( E `  y ) ) )
Distinct variable groups:    ph, i, j, k, y    B, i, j, k, x, y    D, i, j, k, x, y    i, E, j   
h, I, i, j, k    .x. , i, j    P, i, j, k, x, y    R, h, i, j, k    S, i, j    .0. , h, i, j, k, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, h)    B( h)    D( h)    P( h)    R( x, y)    S( x, y, h, k)    .x. ( x, y, h, k)    E( x, y, h, k)    I( x, y)

Proof of Theorem evlslem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
2 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
3 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
4 evlslem2.d . . . . . . 7  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
5 ovex 6115 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
64, 5rabex2 4442 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  D  e.  _V )
8 evlslem2.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
9 evlslem2.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
10 crngrng 16645 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
12 evlslem2.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( I mPoly  R )
1312mplrng 17509 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  Ring )
148, 11, 13syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
1514adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  P  e.  Ring )
16 evlslem2.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
17 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
188ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  I  e.  _V )
1911ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
20 simprl 750 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
2112, 17, 1, 4, 20mplelf 17487 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x : D --> ( Base `  R ) )
2221ffvelrnda 5840 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  (
x `  j )  e.  ( Base `  R
) )
23 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  j  e.  D )
2412, 4, 16, 17, 18, 19, 1, 22, 23mplmon2cl 17558 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  e.  B
)
258ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  I  e.  _V )
2611ad2antrr 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
27 simprr 751 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
2812, 17, 1, 4, 27mplelf 17487 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y : D --> ( Base `  R ) )
2928ffvelrnda 5840 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  (
y `  i )  e.  ( Base `  R
) )
30 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  i  e.  D )
3112, 4, 16, 17, 25, 26, 1, 29, 30mplmon2cl 17558 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  e.  B
)
326mptex 5945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )
) )  e.  _V
33 funmpt 5451 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )
34 fvex 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  P )  e. 
_V
3532, 33, 343pm3.2i 1161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )
) )  /\  ( 0g `  P )  e. 
_V )
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) )  /\  ( 0g `  P )  e.  _V ) )
37 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
389adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  R  e.  CRing )
3912, 1, 16, 37, 38mplelsfi 17548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y finSupp  .0.  )
4039fsuppimpd 7623 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
y supp  .0.  )  e.  Fin )
4112, 17, 1, 4, 37mplelf 17487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y : D --> ( Base `  R
) )
42 ssid 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y supp 
.0.  )  C_  (
y supp  .0.  )
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
y supp  .0.  )  C_  ( y supp  .0.  )
)
446a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  D  e.  _V )
45 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
4616, 45eqeltri 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .0.  e.  _V
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  .0.  e.  _V )
4841, 43, 44, 47suppssr 6719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( y `  j )  =  .0.  )
4948ifeq1d 3804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  if (
k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )  =  if ( k  =  j ,  .0.  ,  .0.  ) )
50 ifid 3823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( k  =  j ,  .0.  ,  .0.  )  =  .0.
5149, 50syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  if (
k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )  =  .0.  )
5251mpteq2dv 4376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  D  |->  .0.  )
)
53 rnggrp 16640 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
5411, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
5512, 4, 16, 3, 8, 54mpl0 17498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( D  X.  {  .0.  }
) )
56 fconstmpt 4878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  X.  {  .0.  }
)  =  ( k  e.  D  |->  .0.  )
5755, 56syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( k  e.  D  |->  .0.  )
)
5857ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( 0g `  P )  =  ( k  e.  D  |->  .0.  ) )
5952, 58eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )
)  =  ( 0g
`  P ) )
6059, 44suppss2 6722 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P
) )  C_  (
y supp  .0.  ) )
61 suppssfifsupp 7631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) )  /\  ( 0g `  P )  e.  _V )  /\  ( ( y supp 
.0.  )  e.  Fin  /\  ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  C_  ( y supp  .0.  )
) )  ->  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp  ( 0g `  P ) )
6236, 40, 60, 61syl12anc 1211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp  ( 0g `  P ) )
6362ralrimiva 2797 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
64 fveq1 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
y `  j )  =  ( x `  j ) )
6564ifeq1d 3804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  )  =  if (
k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
)
6665mpteq2dv 4376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )
6766mpteq2dv 4376 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) )
6867breq1d 4299 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
)  <->  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp  ( 0g `  P ) ) )
6968cbvralv 2945 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp  ( 0g `  P )  <->  A. x  e.  B  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) finSupp  ( 0g `  P ) )
7063, 69sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
7170r19.21bi 2812 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp  ( 0g `  P ) )
7271adantrr 711 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
73 equequ2 1742 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
k  =  i  <->  k  =  j ) )
74 fveq2 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
y `  i )  =  ( y `  j ) )
7573, 74ifbieq1d 3809 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  )  =  if (
k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )
)
7675mpteq2dv 4376 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )
7776cbvmptv 4380 . . . . . 6  |-  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )
7862adantrl 710 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
7977, 78syl5eqbr 4322 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
801, 2, 3, 7, 7, 15, 24, 31, 72, 79gsumdixp 16691 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) ) ( .r `  P ) ( P  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
8180fveq2d 5692 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( E `  ( P  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
82 rngcmn 16665 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
8314, 82syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e. CMnd )
8483adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  P  e. CMnd )
85 evlslem2.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
86 crngrng 16645 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  CRing  ->  S  e.  Ring )
8785, 86syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
8887adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  S  e.  Ring )
89 rngmnd 16644 . . . . 5  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Mnd )
9088, 89syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  S  e.  Mnd )
916, 6xpex 6507 . . . . 5  |-  ( D  X.  D )  e. 
_V
9291a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( D  X.  D
)  e.  _V )
93 evlslem2.e1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( P 
GrpHom  S ) )
94 ghmmhm 15750 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ( P  GrpHom  S )  ->  E  e.  ( P MndHom  S ) )
9593, 94syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( P MndHom  S ) )
9695adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  E  e.  ( P MndHom  S ) )
9714ad2antrr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  ->  P  e.  Ring )
9824adantrr 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) )  e.  B )
9931adantrl 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) )  e.  B )
1001, 2rngcl 16648 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  e.  B  /\  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) )  e.  B )  ->  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B )
10197, 98, 99, 100syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B )
102101ralrimivva 2806 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  A. j  e.  D  A. i  e.  D  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B )
103 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) )
104103fmpt2 6640 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  D  A. i  e.  D  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B  <->  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) : ( D  X.  D
) --> B )
105102, 104sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) : ( D  X.  D ) --> B )
1066, 6mpt2ex 6649 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V
107103mpt2fun 6191 . . . . . . 7  |-  Fun  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) )
108106, 107, 343pm3.2i 1161 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  P )  e. 
_V )
109108a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  P )  e.  _V ) )
11072fsuppimpd 7623 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  e. 
Fin )
11179fsuppimpd 7623 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  e. 
Fin )
112 xpfi 7579 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  e. 
Fin  /\  ( (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  e.  Fin )  -> 
( ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) supp  ( 0g
`  P ) )  X.  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) supp  ( 0g
`  P ) ) )  e.  Fin )
113110, 111, 112syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) supp  ( 0g
`  P ) )  X.  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) supp  ( 0g
`  P ) ) )  e.  Fin )
1141, 3, 2, 15, 24, 31, 7, 7evlslem4 17567 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) supp  ( 0g `  P ) ) 
C_  ( ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  X.  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) supp  ( 0g
`  P ) ) ) )
115 suppssfifsupp 7631 . . . . 5  |-  ( ( ( ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  P )  e.  _V )  /\  ( ( ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P
) )  X.  (
( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P
) ) )  e. 
Fin  /\  ( (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  C_  ( ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) supp  ( 0g
`  P ) )  X.  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) supp  ( 0g
`  P ) ) ) ) )  -> 
( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) finSupp  ( 0g
`  P ) )
116109, 113, 114, 115syl12anc 1211 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) finSupp  ( 0g
`  P ) )
1171, 3, 84, 90, 92, 96, 105, 116gsummhm 16424 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( E `  ( P  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
1188ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  ->  I  e.  _V )
1199ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  ->  R  e.  CRing )
120 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
121 simprl 750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
j  e.  D )
122 simprr 751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
i  e.  D )
12322adantrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( x `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
12429adantrl 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( y `  i
)  e.  ( Base `  R ) )
12512, 4, 16, 17, 118, 119, 2, 120, 121, 122, 123, 124mplmon2mul 17559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  oF  +  i ) ,  ( ( x `  j ) ( .r `  R
) ( y `  i ) ) ,  .0.  ) ) )
126125fveq2d 5692 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  oF  +  i ) ,  ( ( x `
 j ) ( .r `  R ) ( y `  i
) ) ,  .0.  ) ) ) )
127 evlslem2.e2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D
) ) )  -> 
( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  oF  +  i ) ,  ( ( x `  j
) ( .r `  R ) ( y `
 i ) ) ,  .0.  ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
128127anassrs 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  oF  +  i ) ,  ( ( x `  j
) ( .r `  R ) ( y `
 i ) ) ,  .0.  ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
129126, 128eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
1301293impb 1178 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D  /\  i  e.  D
)  ->  ( E `  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
131130mpt2eq3dva 6149 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
132131oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) 
.x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
133 eqidd 2442 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
134 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
1351, 134ghmf 15744 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  ( P  GrpHom  S )  ->  E : B
--> ( Base `  S
) )
13693, 135syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E : B --> ( Base `  S ) )
137136feqmptd 5741 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  =  ( z  e.  B  |->  ( E `
 z ) ) )
138137adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  E  =  ( z  e.  B  |->  ( E `
 z ) ) )
139 fveq2 5688 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  ->  ( E `  z )  =  ( E `  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
140101, 133, 138, 139fmpt2co 6655 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( E `  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
141140oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
142 eqidd 2442 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) )
143 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  ->  ( E `  z )  =  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) )
14424, 142, 138, 143fmptco 5873 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( j  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) )
145144oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( S 
gsumg  ( j  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
146 eqidd 2442 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )  =  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )
147 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  ->  ( E `  z )  =  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) )
14831, 146, 138, 147fmptco 5873 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( i  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
149148oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( S 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
150145, 149oveq12d 6108 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( ( S  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
151 evlslem2.m . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  S )
152 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
153136ad2antrr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  E : B --> ( Base `  S
) )
154153, 24ffvelrnd 5841 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  e.  (
Base `  S )
)
155136ad2antrr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  E : B --> ( Base `  S
) )
156155, 31ffvelrnd 5841 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  e.  (
Base `  S )
)
1576mptex 5945 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V
158 funmpt 5451 . . . . . . . . 9  |-  Fun  (
j  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) )
159 fvex 5698 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  S )  e. 
_V
160157, 158, 1593pm3.2i 1161 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  S )  e. 
_V )
161160a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( j  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  S )  e.  _V ) )
162 ssid 3372 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) ) 
C_  ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) supp  ( 0g
`  P ) )
163162a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  C_  ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) ) )
1643, 152ghmid 15746 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ( P  GrpHom  S )  ->  ( E `  ( 0g `  P
) )  =  ( 0g `  S ) )
16593, 164syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E `  ( 0g `  P ) )  =  ( 0g `  S ) )
1666mptex 5945 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
)  e.  _V
167166a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  e.  _V )
16834a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  e.  _V )
169163, 165, 167, 168suppssfv 6724 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  S ) )  C_  ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) ) )
170169adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( j  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  S ) )  C_  ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) ) )
171 suppssfifsupp 7631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( j  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  S )  e.  _V )  /\  ( ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  e.  Fin  /\  (
( j  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  S
) )  C_  (
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P
) ) ) )  ->  ( j  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  S ) )
172161, 110, 170, 171syl12anc 1211 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) finSupp 
( 0g `  S
) )
1736mptex 5945 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V
174 funmpt 5451 . . . . . . . . 9  |-  Fun  (
i  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) )
175173, 174, 1593pm3.2i 1161 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( i  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  S )  e. 
_V )
176175a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( i  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  S )  e.  _V ) )
177 ssid 3372 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) ) 
C_  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) supp  ( 0g
`  P ) )
178177a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  C_  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) ) )
1796mptex 5945 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
)  e.  _V
180179a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  e.  _V )
181178, 165, 180, 168suppssfv 6724 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  S ) )  C_  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) ) )
182181adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( i  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  S ) )  C_  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) ) )
183 suppssfifsupp 7631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( i  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  S )  e.  _V )  /\  ( ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  e.  Fin  /\  (
( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  S
) )  C_  (
( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P
) ) ) )  ->  ( i  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  S ) )
184176, 111, 182, 183syl12anc 1211 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) finSupp 
( 0g `  S
) )
185134, 151, 152, 7, 7, 88, 154, 156, 172, 184gsumdixp 16691 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) 
.x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
186150, 185eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) 
.x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
187132, 141, 1863eqtr4d 2483 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
18881, 117, 1873eqtr2d 2479 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
1898adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  I  e.  _V )
19011adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  R  e.  Ring )
19112, 4, 16, 1, 189, 190, 20mplcoe4 17561 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  =  ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )
19212, 4, 16, 1, 189, 190, 27mplcoe4 17561 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  =  ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
193191, 192oveq12d 6108 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  P ) y )  =  ( ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
194193fveq2d 5692 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
x ( .r `  P ) y ) )  =  ( E `
 ( ( P 
gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
195191fveq2d 5692 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  x
)  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
196 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )
19724, 196fmptd 5864 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) : D --> B )
1981, 3, 84, 90, 7, 96, 197, 72gsummhm 16424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
199195, 198eqtr4d 2476 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  x
)  =  ( S 
gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
200192fveq2d 5692 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  y
)  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
201 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  =  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )
20231, 201fmptd 5864 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) : D --> B )
2031, 3, 84, 90, 7, 96, 202, 79gsummhm 16424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
204200, 203eqtr4d 2476 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  y
)  =  ( S 
gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
205199, 204oveq12d 6108 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( E `  x )  .x.  ( E `  y )
)  =  ( ( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S 
gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
206188, 194, 2053eqtr4d 2483 1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
x ( .r `  P ) y ) )  =  ( ( E `  x ) 
.x.  ( E `  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    C_ wss 3325   ifcif 3788   {csn 3874   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   `'ccnv 4835   "cima 4839    o. ccom 4840   Fun wfun 5409   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092    oFcof 6317   supp csupp 6689    ^m cmap 7210   Fincfn 7306   finSupp cfsupp 7616    + caddc 9281   NNcn 10318   NN0cn0 10575   Basecbs 14170   .rcmulr 14235   0gc0g 14374    gsumg cgsu 14375   Mndcmnd 15405   Grpcgrp 15406   MndHom cmhm 15458    GrpHom cghm 15737  CMndccmn 16270   Ringcrg 16635   CRingccrg 16636   mPoly cmpl 17398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-tset 14253  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-ghm 15738  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-subrg 16843  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-assa 17362  df-psr 17401  df-mpl 17403
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