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Theorem evlslem2 18307
Description: A linear function on the polynomial ring which is multiplicative on scaled monomials is generally multiplicative. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem2.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
evlslem2.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
evlslem2.m  |-  .x.  =  ( .r `  S )
evlslem2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
evlslem2.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
evlslem2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
evlslem2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evlslem2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evlslem2.e1  |-  ( ph  ->  E  e.  ( P 
GrpHom  S ) )
evlslem2.e2  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D
) ) )  -> 
( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  oF  +  i ) ,  ( ( x `  j
) ( .r `  R ) ( y `
 i ) ) ,  .0.  ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
evlslem2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
x ( .r `  P ) y ) )  =  ( ( E `  x ) 
.x.  ( E `  y ) ) )
Distinct variable groups:    ph, i, j, k, y    B, i, j, k, x, y    D, i, j, k, x, y    i, E, j   
h, I, i, j, k    .x. , i, j    P, i, j, k, x, y    R, h, i, j, k    S, i, j    .0. , h, i, j, k, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, h)    B( h)    D( h)    P( h)    R( x, y)    S( x, y, h, k)    .x. ( x, y, h, k)    E( x, y, h, k)    I( x, y)

Proof of Theorem evlslem2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlslem2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  P
)
2 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
3 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
4 evlslem2.d . . . . . . 7  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
5 ovex 6324 . . . . . . 7  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
64, 5rabex2 4609 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  D  e.  _V )
8 evlslem2.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
9 evlslem2.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
10 crngring 17336 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
12 evlslem2.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( I mPoly  R )
1312mplring 18241 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  Ring )
148, 11, 13syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
1514adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  P  e.  Ring )
16 evlslem2.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
17 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
188ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  I  e.  _V )
1911ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
20 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
2112, 17, 1, 4, 20mplelf 18219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x : D --> ( Base `  R ) )
2221ffvelrnda 6032 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  (
x `  j )  e.  ( Base `  R
) )
23 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  j  e.  D )
2412, 4, 16, 17, 18, 19, 1, 22, 23mplmon2cl 18292 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  e.  B
)
258ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  I  e.  _V )
2611ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
27 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
2812, 17, 1, 4, 27mplelf 18219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y : D --> ( Base `  R ) )
2928ffvelrnda 6032 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  (
y `  i )  e.  ( Base `  R
) )
30 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  i  e.  D )
3112, 4, 16, 17, 25, 26, 1, 29, 30mplmon2cl 18292 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  e.  B
)
326mptex 6144 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )
) )  e.  _V
33 funmpt 5630 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )
34 fvex 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  P )  e. 
_V
3532, 33, 343pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )
) )  /\  ( 0g `  P )  e. 
_V )
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) )  /\  ( 0g `  P )  e.  _V ) )
37 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
389adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  R  e.  CRing )
3912, 1, 16, 37, 38mplelsfi 18282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y finSupp  .0.  )
4039fsuppimpd 7854 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
y supp  .0.  )  e.  Fin )
4112, 17, 1, 4, 37mplelf 18219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  y : D --> ( Base `  R
) )
42 ssid 3518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y supp 
.0.  )  C_  (
y supp  .0.  )
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
y supp  .0.  )  C_  ( y supp  .0.  )
)
446a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  D  e.  _V )
45 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
4616, 45eqeltri 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .0.  e.  _V
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  .0.  e.  _V )
4841, 43, 44, 47suppssr 6949 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( y `  j )  =  .0.  )
4948ifeq1d 3962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  if (
k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )  =  if ( k  =  j ,  .0.  ,  .0.  ) )
50 ifid 3981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( k  =  j ,  .0.  ,  .0.  )  =  .0.
5149, 50syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  if (
k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )  =  .0.  )
5251mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  D  |->  .0.  )
)
53 ringgrp 17330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
5411, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
5512, 4, 16, 3, 8, 54mpl0 18230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( D  X.  {  .0.  }
) )
56 fconstmpt 5052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  X.  {  .0.  }
)  =  ( k  e.  D  |->  .0.  )
5755, 56syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( k  e.  D  |->  .0.  )
)
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( 0g `  P )  =  ( k  e.  D  |->  .0.  ) )
5952, 58eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  B )  /\  j  e.  ( D  \  (
y supp  .0.  ) )
)  ->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )
)  =  ( 0g
`  P ) )
6059, 44suppss2 6952 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P
) )  C_  (
y supp  .0.  ) )
61 suppssfifsupp 7862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) )  /\  ( 0g `  P )  e.  _V )  /\  ( ( y supp 
.0.  )  e.  Fin  /\  ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  C_  ( y supp  .0.  )
) )  ->  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp  ( 0g `  P ) )
6236, 40, 60, 61syl12anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp  ( 0g `  P ) )
6362ralrimiva 2871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
64 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
y `  j )  =  ( x `  j ) )
6564ifeq1d 3962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  )  =  if (
k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
)
6665mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )
6766mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) )
6867breq1d 4466 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
)  <->  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp  ( 0g `  P ) ) )
6968cbvralv 3084 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp  ( 0g `  P )  <->  A. x  e.  B  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) finSupp  ( 0g `  P ) )
7063, 69sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
7170r19.21bi 2826 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp  ( 0g `  P ) )
7271adantrr 716 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
73 equequ2 1800 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
k  =  i  <->  k  =  j ) )
74 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
y `  i )  =  ( y `  j ) )
7573, 74ifbieq1d 3967 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  )  =  if (
k  =  j ,  ( y `  j
) ,  .0.  )
)
7675mpteq2dv 4544 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )
7776cbvmptv 4548 . . . . . 6  |-  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `  j ) ,  .0.  ) ) )
7862adantrl 715 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( y `
 j ) ,  .0.  ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
7977, 78syl5eqbr 4489 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) finSupp 
( 0g `  P
) )
801, 2, 3, 7, 7, 15, 24, 31, 72, 79gsumdixp 17385 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) ) ( .r `  P ) ( P  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
8180fveq2d 5876 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( E `  ( P  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
82 ringcmn 17356 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
8314, 82syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e. CMnd )
8483adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  P  e. CMnd )
85 evlslem2.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
86 crngring 17336 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  CRing  ->  S  e.  Ring )
8785, 86syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
8887adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  S  e.  Ring )
89 ringmnd 17334 . . . . 5  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Mnd )
9088, 89syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  S  e.  Mnd )
916, 6xpex 6603 . . . . 5  |-  ( D  X.  D )  e. 
_V
9291a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( D  X.  D
)  e.  _V )
93 evlslem2.e1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( P 
GrpHom  S ) )
94 ghmmhm 16404 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ( P  GrpHom  S )  ->  E  e.  ( P MndHom  S ) )
9593, 94syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( P MndHom  S ) )
9695adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  E  e.  ( P MndHom  S ) )
9714ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  ->  P  e.  Ring )
9824adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) )  e.  B )
9931adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) )  e.  B )
1001, 2ringcl 17339 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  e.  B  /\  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) )  e.  B )  ->  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B )
10197, 98, 99, 100syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B )
102101ralrimivva 2878 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  A. j  e.  D  A. i  e.  D  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B )
103 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) )
104103fmpt2 6866 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  D  A. i  e.  D  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )  e.  B  <->  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) : ( D  X.  D
) --> B )
105102, 104sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) : ( D  X.  D ) --> B )
1066, 6mpt2ex 6876 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V
107103mpt2fun 6403 . . . . . . 7  |-  Fun  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) )
108106, 107, 343pm3.2i 1174 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  P )  e. 
_V )
109108a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  P )  e.  _V ) )
11072fsuppimpd 7854 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  e. 
Fin )
11179fsuppimpd 7854 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  e. 
Fin )
112 xpfi 7809 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  e. 
Fin  /\  ( (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  e.  Fin )  -> 
( ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) supp  ( 0g
`  P ) )  X.  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) supp  ( 0g
`  P ) ) )  e.  Fin )
113110, 111, 112syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) supp  ( 0g
`  P ) )  X.  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) supp  ( 0g
`  P ) ) )  e.  Fin )
1141, 3, 2, 15, 24, 31, 7, 7evlslem4 18301 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) supp  ( 0g `  P ) ) 
C_  ( ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  X.  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) supp  ( 0g
`  P ) ) ) )
115 suppssfifsupp 7862 . . . . 5  |-  ( ( ( ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  P )  e.  _V )  /\  ( ( ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P
) )  X.  (
( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P
) ) )  e. 
Fin  /\  ( (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  C_  ( ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) supp  ( 0g
`  P ) )  X.  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) supp  ( 0g
`  P ) ) ) ) )  -> 
( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) finSupp  ( 0g
`  P ) )
116109, 113, 114, 115syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) finSupp  ( 0g
`  P ) )
1171, 3, 84, 90, 92, 96, 105, 116gsummhm 17086 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( E `  ( P  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
1188ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  ->  I  e.  _V )
1199ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  ->  R  e.  CRing )
120 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
121 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
j  e.  D )
122 simprr 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
i  e.  D )
12322adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( x `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
12429adantrl 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( y `  i
)  e.  ( Base `  R ) )
12512, 4, 16, 17, 118, 119, 2, 120, 121, 122, 123, 124mplmon2mul 18293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  oF  +  i ) ,  ( ( x `  j ) ( .r `  R
) ( y `  i ) ) ,  .0.  ) ) )
126125fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  oF  +  i ) ,  ( ( x `
 j ) ( .r `  R ) ( y `  i
) ) ,  .0.  ) ) ) )
127 evlslem2.e2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D
) ) )  -> 
( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  oF  +  i ) ,  ( ( x `  j
) ( .r `  R ) ( y `
 i ) ) ,  .0.  ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
128127anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  ( j  oF  +  i ) ,  ( ( x `  j
) ( .r `  R ) ( y `
 i ) ) ,  .0.  ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
129126, 128eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( j  e.  D  /\  i  e.  D ) )  -> 
( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
1301293impb 1192 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D  /\  i  e.  D
)  ->  ( E `  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) )
131130mpt2eq3dva 6360 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )  .x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
132131oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) 
.x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
133 eqidd 2458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
134 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
1351, 134ghmf 16398 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  ( P  GrpHom  S )  ->  E : B
--> ( Base `  S
) )
13693, 135syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E : B --> ( Base `  S ) )
137136feqmptd 5926 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  =  ( z  e.  B  |->  ( E `
 z ) ) )
138137adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  E  =  ( z  e.  B  |->  ( E `
 z ) ) )
139 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  ->  ( E `  z )  =  ( E `  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P
) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
140101, 133, 138, 139fmpt2co 6882 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( E `  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ( .r
`  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
141140oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( E `  (
( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
142 eqidd 2458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) )
143 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  ->  ( E `  z )  =  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) )
14424, 142, 138, 143fmptco 6065 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( j  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) )
145144oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( S 
gsumg  ( j  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
146 eqidd 2458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) )  =  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )
147 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  ->  ( E `  z )  =  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) )
14831, 146, 138, 147fmptco 6065 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  =  ( i  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
149148oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( S 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
150145, 149oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( ( S  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
151 evlslem2.m . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  S )
152 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
153136ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  E : B --> ( Base `  S
) )
154153, 24ffvelrnd 6033 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  j  e.  D )  ->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  e.  (
Base `  S )
)
155136ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  E : B --> ( Base `  S
) )
156155, 31ffvelrnd 6033 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  i  e.  D )  ->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  e.  (
Base `  S )
)
1576mptex 6144 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V
158 funmpt 5630 . . . . . . . . 9  |-  Fun  (
j  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) )
159 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  S )  e. 
_V
160157, 158, 1593pm3.2i 1174 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  S )  e. 
_V )
161160a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( j  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  S )  e.  _V ) )
162 ssid 3518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) ) 
C_  ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) supp  ( 0g
`  P ) )
163162a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  C_  ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) ) )
1643, 152ghmid 16400 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ( P  GrpHom  S )  ->  ( E `  ( 0g `  P
) )  =  ( 0g `  S ) )
16593, 164syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E `  ( 0g `  P ) )  =  ( 0g `  S ) )
1666mptex 6144 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
)  e.  _V
167166a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) )  e.  _V )
16834a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  e.  _V )
169163, 165, 167, 168suppssfv 6954 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  S ) )  C_  ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) ) )
170169adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( j  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  S ) )  C_  ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) ) )
171 suppssfifsupp 7862 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( j  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  S )  e.  _V )  /\  ( ( ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  e.  Fin  /\  (
( j  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  S
) )  C_  (
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P
) ) ) )  ->  ( j  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  S ) )
172161, 110, 170, 171syl12anc 1226 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) finSupp 
( 0g `  S
) )
1736mptex 6144 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V
174 funmpt 5630 . . . . . . . . 9  |-  Fun  (
i  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) )
175173, 174, 1593pm3.2i 1174 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) )  e. 
_V  /\  Fun  ( i  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  S )  e. 
_V )
176175a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( i  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  S )  e.  _V ) )
177 ssid 3518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) ) 
C_  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) supp  ( 0g
`  P ) )
178177a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  C_  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) ) )
1796mptex 6144 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
)  e.  _V
180179a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  D )  ->  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) )  e.  _V )
181178, 165, 180, 168suppssfv 6954 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  S ) )  C_  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) ) )
182181adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( i  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  S ) )  C_  ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) ) )
183 suppssfifsupp 7862 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( i  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) )  /\  ( 0g `  S )  e.  _V )  /\  ( ( ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P ) )  e.  Fin  /\  (
( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) supp  ( 0g `  S
) )  C_  (
( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) supp  ( 0g `  P
) ) ) )  ->  ( i  e.  D  |->  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  S ) )
184176, 111, 182, 183syl12anc 1226 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) finSupp 
( 0g `  S
) )
185134, 151, 152, 7, 7, 88, 154, 156, 172, 184gsumdixp 17385 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( E `
 ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( E `  (
k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) 
.x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
186150, 185eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( S  gsumg  ( j  e.  D ,  i  e.  D  |->  ( ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) 
.x.  ( E `  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
187132, 141, 1863eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D , 
i  e.  D  |->  ( ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ( .r `  P ) ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
18881, 117, 1873eqtr2d 2504 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )  =  ( ( S  gsumg  ( E  o.  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
1898adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  I  e.  _V )
19011adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  R  e.  Ring )
19112, 4, 16, 1, 189, 190, 20mplcoe4 18295 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  =  ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )
19212, 4, 16, 1, 189, 190, 27mplcoe4 18295 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  =  ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) )
193191, 192oveq12d 6314 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  P ) y )  =  ( ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
194193fveq2d 5876 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
x ( .r `  P ) y ) )  =  ( E `
 ( ( P 
gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) ) ( .r `  P ) ( P 
gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
195191fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  x
)  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
196 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) )  =  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) )
19724, 196fmptd 6056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `
 j ) ,  .0.  ) ) ) : D --> B )
1981, 3, 84, 90, 7, 96, 197, 72gsummhm 17086 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
199195, 198eqtr4d 2501 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  x
)  =  ( S 
gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
200192fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  y
)  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
201 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) )  =  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) )
20231, 201fmptd 6056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `
 i ) ,  .0.  ) ) ) : D --> B )
2031, 3, 84, 90, 7, 96, 202, 79gsummhm 17086 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( S  gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) )  =  ( E `
 ( P  gsumg  ( i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i
) ,  .0.  )
) ) ) ) )
204200, 203eqtr4d 2501 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  y
)  =  ( S 
gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) )
205199, 204oveq12d 6314 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( E `  x )  .x.  ( E `  y )
)  =  ( ( S  gsumg  ( E  o.  (
j  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  j ,  ( x `  j ) ,  .0.  ) ) ) ) )  .x.  ( S 
gsumg  ( E  o.  (
i  e.  D  |->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  i ,  ( y `  i ) ,  .0.  ) ) ) ) ) ) )
206188, 194, 2053eqtr4d 2508 1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( E `  (
x ( .r `  P ) y ) )  =  ( ( E `  x ) 
.x.  ( E `  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   "cima 5011    o. ccom 5012   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298    oFcof 6537   supp csupp 6917    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   finSupp cfsupp 7847    + caddc 9512   NNcn 10556   NN0cn0 10816   Basecbs 14644   .rcmulr 14713   0gc0g 14857    gsumg cgsu 14858   Mndcmnd 16046   MndHom cmhm 16091   Grpcgrp 16180    GrpHom cghm 16391  CMndccmn 16925   Ringcrg 17325   CRingccrg 17326   mPoly cmpl 18129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-tset 14731  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-assa 18088  df-psr 18132  df-mpl 18134
This theorem is referenced by:  evlslem1  18311
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