Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlseu Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem evlseu 18816
 Description: For a given interpretation of the variables and of the scalars , this extends to a homomorphic interpretation of the polynomial ring in exactly one way. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlseu.p mPoly
evlseu.c
evlseu.a algSc
evlseu.v mVar
evlseu.i
evlseu.r
evlseu.s
evlseu.f RingHom
evlseu.g
Assertion
Ref Expression
evlseu RingHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem evlseu
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlseu.p . . . 4 mPoly
2 eqid 2471 . . . 4
3 evlseu.c . . . 4
4 eqid 2471 . . . 4
5 eqid 2471 . . . 4
6 eqid 2471 . . . 4 mulGrp mulGrp
7 eqid 2471 . . . 4 .gmulGrp .gmulGrp
8 eqid 2471 . . . 4
9 evlseu.v . . . 4 mVar
10 eqid 2471 . . . 4 g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp
11 evlseu.i . . . 4
12 evlseu.r . . . 4
13 evlseu.s . . . 4
14 evlseu.f . . . 4 RingHom
15 evlseu.g . . . 4
16 evlseu.a . . . 4 algSc
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16evlslem1 18815 . . 3 g mulGrp g .gmulGrp RingHom g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp
18 coeq1 4997 . . . . . . 7 g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp
1918eqeq1d 2473 . . . . . 6 g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp
20 coeq1 4997 . . . . . . 7 g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp
2120eqeq1d 2473 . . . . . 6 g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp
2219, 21anbi12d 725 . . . . 5 g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp
2322rspcev 3136 . . . 4 g mulGrp g .gmulGrp RingHom g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp RingHom
24233impb 1227 . . 3 g mulGrp g .gmulGrp RingHom g mulGrp g .gmulGrp g mulGrp g .gmulGrp RingHom
2517, 24syl 17 . 2 RingHom
26 crngring 17869 . . . . . . . . . . 11
2712, 26syl 17 . . . . . . . . . 10
28 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
291mplring 18753 . . . . . . . . . . 11
301mpllmod 18752 . . . . . . . . . . 11
31 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 Scalar Scalar
3216, 28, 29, 30, 31, 2asclf 18638 . . . . . . . . . 10 Scalar
3311, 27, 32syl2anc 673 . . . . . . . . 9 Scalar
34 ffun 5742 . . . . . . . . 9 Scalar
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8
36 funcoeqres 5858 . . . . . . . 8
3735, 36sylan 479 . . . . . . 7
381, 9, 2, 11, 27mvrf2 18792 . . . . . . . . 9
39 ffun 5742 . . . . . . . . 9
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8
41 funcoeqres 5858 . . . . . . . 8
4240, 41sylan 479 . . . . . . 7
4337, 42anim12dan 855 . . . . . 6
4443ex 441 . . . . 5
45 resundi 5124 . . . . . 6
46 uneq12 3574 . . . . . 6
4745, 46syl5eq 2517 . . . . 5
4844, 47syl6 33 . . . 4
4948ralrimivw 2810 . . 3 RingHom
50 eqtr3 2492 . . . . . 6
51 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 mPwSer mPwSer
5251, 11, 12psrassa 18715 . . . . . . . . . . . 12 mPwSer AssAlg
53 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14 mPwSer mPwSer
5451, 9, 53, 11, 27mvrf 18725 . . . . . . . . . . . . 13 mPwSer
55 frn 5747 . . . . . . . . . . . . 13 mPwSer mPwSer
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 mPwSer
57 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 AlgSpan mPwSer AlgSpan mPwSer
58 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 algSc mPwSer algSc mPwSer
59 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 mrClsSubRing mPwSer mrClsSubRing mPwSer
6057, 58, 59, 53aspval2 18648 . . . . . . . . . . . 12 mPwSer AssAlg mPwSer AlgSpan mPwSer mrClsSubRing mPwSer algSc mPwSer
6152, 56, 60syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 AlgSpan mPwSer mrClsSubRing mPwSer algSc mPwSer
621, 51, 9, 57, 11, 12mplbas2 18771 . . . . . . . . . . 11 AlgSpan mPwSer
6351, 1, 2, 11, 27mplsubrg 18741 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubRing mPwSer
641, 51, 2mplval2 18732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mPwSer s
6564subsubrg2 18113 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubRing mPwSer SubRing SubRing mPwSer
6663, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 SubRing SubRing mPwSer
6766fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13 mrClsSubRing mrClsSubRing mPwSer
6858, 64ressascl 18645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubRing mPwSer algSc mPwSer algSc
6963, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 algSc mPwSer algSc
7069, 16syl6reqr 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15 algSc mPwSer
7170rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . 14 algSc mPwSer
7271uneq1d 3578 . . . . . . . . . . . . 13 algSc mPwSer
7367, 72fveq12d 5885 . . . . . . . . . . . 12 mrClsSubRing mrClsSubRing mPwSer algSc mPwSer
74 assaring 18621 . . . . . . . . . . . . . 14 mPwSer AssAlg mPwSer
7553subrgmre 18110 . . . . . . . . . . . . . 14 mPwSer SubRing mPwSer Moore mPwSer
7652, 74, 753syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 SubRing mPwSer Moore mPwSer
77 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
7833, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
7971, 78eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . . . . 14 algSc mPwSer
80 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . . 15
8138, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
8279, 81unssd 3601 . . . . . . . . . . . . 13 algSc mPwSer
83 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14 mrClsSubRing mPwSer mrClsSubRing mPwSer
8459, 83submrc 15612 . . . . . . . . . . . . 13 SubRing mPwSer Moore mPwSer SubRing mPwSer algSc mPwSer mrClsSubRing mPwSer algSc mPwSer mrClsSubRing mPwSer algSc mPwSer
8576, 63, 82, 84syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12 mrClsSubRing mPwSer algSc mPwSer mrClsSubRing mPwSer algSc mPwSer
8673, 85eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . 11 mrClsSubRing mPwSer algSc mPwSer mrClsSubRing
8761, 62, 863eqtr3d 2513 . . . . . . . . . 10 mrClsSubRing
8887ad2antrr 740 . . . . . . . . 9 RingHom RingHom mrClsSubRing
8911, 27, 29syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
902subrgmre 18110 . . . . . . . . . . . 12 SubRing Moore
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . 11 SubRing Moore
9291ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10 RingHom RingHom SubRing Moore
93 simpr 468 . . . . . . . . . 10 RingHom RingHom
94 rhmeql 18116 . . . . . . . . . . 11 RingHom RingHom SubRing
9594ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10 RingHom RingHom SubRing
96 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 mrClsSubRing mrClsSubRing
9796mrcsscl 15604 . . . . . . . . . 10 SubRing Moore SubRing mrClsSubRing
9892, 93, 95, 97syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 RingHom RingHom mrClsSubRing
9988, 98eqsstrd 3452 . . . . . . . 8 RingHom RingHom
10099ex 441 . . . . . . 7 RingHom RingHom
101 simprl 772 . . . . . . . . 9 RingHom RingHom RingHom
1022, 3rhmf 18032 . . . . . . . . 9 RingHom
103 ffn 5739 . . . . . . . . 9
104101, 102, 1033syl 18 . . . . . . . 8 RingHom RingHom
105 simprr 774 . . . . . . . . 9 RingHom RingHom RingHom
1062, 3rhmf 18032 . . . . . . . . 9 RingHom
107 ffn 5739 . . . . . . . . 9
108105, 106, 1073syl 18 . . . . . . . 8 RingHom RingHom
10978adantr 472 . . . . . . . . 9 RingHom RingHom
11081adantr 472 . . . . . . . . 9 RingHom RingHom
111109, 110unssd 3601 . . . . . . . 8 RingHom RingHom
112 fnreseql 6007 . . . . . . . 8
113104, 108, 111, 112syl3anc 1292 . . . . . . 7 RingHom RingHom
114 fneqeql2 6006 . . . . . . . 8
115104, 108, 114syl2anc 673 . . . . . . 7 RingHom RingHom
116100, 113, 1153imtr4d 276 . . . . . 6 RingHom RingHom
11750, 116syl5 32 . . . . 5 RingHom RingHom
118117ralrimivva 2814 . . . 4 RingHom RingHom
119 reseq1 5105 . . . . . 6
120119eqeq1d 2473 . . . . 5
121120rmo4 3219 . . . 4 RingHom RingHom RingHom
122118, 121sylibr 217 . . 3 RingHom
123 rmoim 3227 . . 3 RingHom RingHom RingHom
12449, 122, 123sylc 61 . 2 RingHom
125 reu5 2994 . 2 RingHom RingHom RingHom
12625, 124, 125sylanbrc 677 1 RingHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  wreu 2758  wrmo 2759  crab 2760  cvv 3031   cun 3388   cin 3389   wss 3390  cpw 3942   cmpt 4454  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  cima 4842   ccom 4843   wfun 5583   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cof 6548   cmap 7490  cfn 7587  cn 10631  cn0 10893  cbs 15199  cmulr 15269  Scalarcsca 15271   g cgsu 15417  Moorecmre 15566  mrClscmrc 15567  .gcmg 16750  mulGrpcmgp 17801  crg 17858  ccrg 17859   RingHom crh 18018  SubRingcsubrg 18082  AssAlgcasa 18610  AlgSpancasp 18611  algSccascl 18612   mPwSer cmps 18652   mVar cmvr 18653   mPoly cmpl 18654 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-tset 15287  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-srg 17818  df-ring 17860  df-cring 17861  df-rnghom 18021  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-assa 18613  df-asp 18614  df-ascl 18615  df-psr 18657  df-mvr 18658  df-mpl 18659 This theorem is referenced by:  evlsval2  18820
 Copyright terms: Public domain W3C validator