MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1varsrng Structured version   Unicode version

Theorem evls1varsrng 18588
Description: The evaluation of the variable of univariate polynomials over subring yields the same result as evaluated as variable of the polynomials over the ring itself. (Contributed by AV, 12-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1varsrng.q  |-  Q  =  ( S evalSub1  R )
evls1varsrng.o  |-  O  =  (eval1 `  S )
evls1varsrng.v  |-  V  =  (var1 `  U )
evls1varsrng.u  |-  U  =  ( Ss  R )
evls1varsrng.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
evls1varsrng.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evls1varsrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
Assertion
Ref Expression
evls1varsrng  |-  ( ph  ->  ( Q `  V
)  =  ( O `
 V ) )

Proof of Theorem evls1varsrng
StepHypRef Expression
1 evls1varsrng.q . . 3  |-  Q  =  ( S evalSub1  R )
2 evls1varsrng.v . . 3  |-  V  =  (var1 `  U )
3 evls1varsrng.u . . 3  |-  U  =  ( Ss  R )
4 evls1varsrng.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 evls1varsrng.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
6 evls1varsrng.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
71, 2, 3, 4, 5, 6evls1var 18586 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q `  V
)  =  (  _I  |`  B ) )
8 evls1varsrng.o . . . . . 6  |-  O  =  (eval1 `  S )
98, 4evl1fval1 18579 . . . . 5  |-  O  =  ( S evalSub1  B )
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  =  ( S evalSub1  B ) )
1110fveq1d 5807 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O `  V
)  =  ( ( S evalSub1  B ) `  V
) )
122a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  =  (var1 `  U
) )
13 eqid 2402 . . . . . 6  |-  (var1 `  S
)  =  (var1 `  S
)
1413, 6, 3subrgvr1 18514 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (var1 `  S )  =  (var1 `  U ) )
154ressid 14795 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  CRing  ->  ( Ss  B
)  =  S )
165, 15syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Ss  B )  =  S )
1716eqcomd 2410 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =  ( Ss  B ) )
1817fveq2d 5809 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (var1 `  S )  =  (var1 `  ( Ss  B ) ) )
1912, 14, 183eqtr2d 2449 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  (var1 `  ( Ss  B ) ) )
2019fveq2d 5809 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S evalSub1  B ) `
 V )  =  ( ( S evalSub1  B ) `
 (var1 `  ( Ss  B ) ) ) )
21 eqid 2402 . . . 4  |-  ( S evalSub1  B )  =  ( S evalSub1  B )
22 eqid 2402 . . . 4  |-  (var1 `  ( Ss  B ) )  =  (var1 `  ( Ss  B ) )
23 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Ss  B )  =  ( Ss  B )
24 crngring 17421 . . . . 5  |-  ( S  e.  CRing  ->  S  e.  Ring )
254subrgid 17643 . . . . 5  |-  ( S  e.  Ring  ->  B  e.  (SubRing `  S )
)
265, 24, 253syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubRing `  S
) )
2721, 22, 23, 4, 5, 26evls1var 18586 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S evalSub1  B ) `
 (var1 `  ( Ss  B ) ) )  =  (  _I  |`  B )
)
2811, 20, 273eqtrrd 2448 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  B )  =  ( O `  V ) )
297, 28eqtrd 2443 1  |-  ( ph  ->  ( Q `  V
)  =  ( O `
 V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    _I cid 4732    |` cres 4944   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Basecbs 14733   ↾s cress 14734   Ringcrg 17410   CRingccrg 17411  SubRingcsubrg 17637  var1cv1 18427   evalSub1 ces1 18562  eval1ce1 18563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-ofr 6478  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-hash 12360  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-hom 14825  df-cco 14826  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-prds 14954  df-pws 14956  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-mhm 16182  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-sbg 16275  df-mulg 16276  df-subg 16414  df-ghm 16481  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-abl 17017  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-srg 17370  df-ring 17412  df-cring 17413  df-rnghom 17576  df-subrg 17639  df-lmod 17726  df-lss 17791  df-lsp 17830  df-assa 18173  df-asp 18174  df-ascl 18175  df-psr 18217  df-mvr 18218  df-mpl 18219  df-opsr 18221  df-evls 18383  df-evl 18384  df-psr1 18431  df-vr1 18432  df-ply1 18433  df-evls1 18564  df-evl1 18565
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator