MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1varsrng Structured version   Unicode version

Theorem evls1varsrng 17909
Description: The evaluation of the variable of univariate polynomials over subring yields the same result as evaluated as variable of the polynomials over the ring itself. (Contributed by AV, 12-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1varsrng.q  |-  Q  =  ( S evalSub1  R )
evls1varsrng.o  |-  O  =  (eval1 `  S )
evls1varsrng.v  |-  V  =  (var1 `  U )
evls1varsrng.u  |-  U  =  ( Ss  R )
evls1varsrng.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
evls1varsrng.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evls1varsrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
Assertion
Ref Expression
evls1varsrng  |-  ( ph  ->  ( Q `  V
)  =  ( O `
 V ) )

Proof of Theorem evls1varsrng
StepHypRef Expression
1 evls1varsrng.q . . 3  |-  Q  =  ( S evalSub1  R )
2 evls1varsrng.v . . 3  |-  V  =  (var1 `  U )
3 evls1varsrng.u . . 3  |-  U  =  ( Ss  R )
4 evls1varsrng.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
5 evls1varsrng.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
6 evls1varsrng.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
71, 2, 3, 4, 5, 6evls1var 17907 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q `  V
)  =  (  _I  |`  B ) )
8 evls1varsrng.o . . . . . 6  |-  O  =  (eval1 `  S )
98, 4evl1fval1 17900 . . . . 5  |-  O  =  ( S evalSub1  B )
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  =  ( S evalSub1  B ) )
1110fveq1d 5804 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O `  V
)  =  ( ( S evalSub1  B ) `  V
) )
122a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  =  (var1 `  U
) )
13 eqid 2454 . . . . . 6  |-  (var1 `  S
)  =  (var1 `  S
)
1413, 6, 3subrgvr1 17848 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (var1 `  S )  =  (var1 `  U ) )
154ressid 14356 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  CRing  ->  ( Ss  B
)  =  S )
165, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Ss  B )  =  S )
1716eqcomd 2462 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =  ( Ss  B ) )
1817fveq2d 5806 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (var1 `  S )  =  (var1 `  ( Ss  B ) ) )
1912, 14, 183eqtr2d 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  (var1 `  ( Ss  B ) ) )
2019fveq2d 5806 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S evalSub1  B ) `
 V )  =  ( ( S evalSub1  B ) `
 (var1 `  ( Ss  B ) ) ) )
21 eqid 2454 . . . 4  |-  ( S evalSub1  B )  =  ( S evalSub1  B )
22 eqid 2454 . . . 4  |-  (var1 `  ( Ss  B ) )  =  (var1 `  ( Ss  B ) )
23 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Ss  B )  =  ( Ss  B )
24 crngrng 16788 . . . . 5  |-  ( S  e.  CRing  ->  S  e.  Ring )
254subrgid 17000 . . . . 5  |-  ( S  e.  Ring  ->  B  e.  (SubRing `  S )
)
265, 24, 253syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubRing `  S
) )
2721, 22, 23, 4, 5, 26evls1var 17907 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S evalSub1  B ) `
 (var1 `  ( Ss  B ) ) )  =  (  _I  |`  B )
)
2811, 20, 273eqtrrd 2500 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  B )  =  ( O `  V ) )
297, 28eqtrd 2495 1  |-  ( ph  ->  ( Q `  V
)  =  ( O `
 V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    _I cid 4742    |` cres 4953   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296   ↾s cress 14297   Ringcrg 16778   CRingccrg 16779  SubRingcsubrg 16994  var1cv1 17766   evalSub1 ces1 17883  eval1ce1 17884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-ofr 6434  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-hash 12225  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-hom 14385  df-cco 14386  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-prds 14509  df-pws 14511  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-mhm 15587  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-mulg 15671  df-subg 15801  df-ghm 15868  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-srg 16740  df-rng 16780  df-cring 16781  df-rnghom 16939  df-subrg 16996  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-lsp 17186  df-assa 17517  df-asp 17518  df-ascl 17519  df-psr 17556  df-mvr 17557  df-mpl 17558  df-opsr 17560  df-evls 17722  df-evl 17723  df-psr1 17770  df-vr1 17771  df-ply1 17772  df-evls1 17885  df-evl1 17886
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator