MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1scasrng Structured version   Unicode version

Theorem evls1scasrng 18570
Description: The evaluation of a scalar of a subring yields the same result as evaluated as a scalar over the ring itself. (Contributed by AV, 13-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1scasrng.q  |-  Q  =  ( S evalSub1  R )
evls1scasrng.o  |-  O  =  (eval1 `  S )
evls1scasrng.w  |-  W  =  (Poly1 `  U )
evls1scasrng.u  |-  U  =  ( Ss  R )
evls1scasrng.p  |-  P  =  (Poly1 `  S )
evls1scasrng.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
evls1scasrng.a  |-  A  =  (algSc `  W )
evls1scasrng.c  |-  C  =  (algSc `  P )
evls1scasrng.s  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
evls1scasrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
evls1scasrng.x  |-  ( ph  ->  X  e.  R )
Assertion
Ref Expression
evls1scasrng  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( A `  X )
)  =  ( O `
 ( C `  X ) ) )

Proof of Theorem evls1scasrng
StepHypRef Expression
1 evls1scasrng.c . . . . . 6  |-  C  =  (algSc `  P )
2 evls1scasrng.p . . . . . . . 8  |-  P  =  (Poly1 `  S )
3 evls1scasrng.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  CRing )
4 evls1scasrng.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  S
)
54ressid 14778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  CRing  ->  ( Ss  B
)  =  S )
65eqcomd 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  CRing  ->  S  =  ( Ss  B ) )
73, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  =  ( Ss  B ) )
87fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Poly1 `  S )  =  (Poly1 `  ( Ss  B ) ) )
92, 8syl5eq 2507 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  =  (Poly1 `  ( Ss  B ) ) )
109fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (algSc `  P )  =  (algSc `  (Poly1 `  ( Ss  B ) ) ) )
111, 10syl5eq 2507 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  =  (algSc `  (Poly1 `  ( Ss  B ) ) ) )
1211fveq1d 5850 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C `  X
)  =  ( (algSc `  (Poly1 `  ( Ss  B ) ) ) `  X
) )
1312fveq2d 5852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S evalSub1  B ) `
 ( C `  X ) )  =  ( ( S evalSub1  B ) `
 ( (algSc `  (Poly1 `  ( Ss  B ) ) ) `
 X ) ) )
14 eqid 2454 . . . 4  |-  ( S evalSub1  B )  =  ( S evalSub1  B )
15 eqid 2454 . . . 4  |-  (Poly1 `  ( Ss  B ) )  =  (Poly1 `  ( Ss  B ) )
16 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Ss  B )  =  ( Ss  B )
17 eqid 2454 . . . 4  |-  (algSc `  (Poly1 `  ( Ss  B ) ) )  =  (algSc `  (Poly1 `  ( Ss  B ) ) )
18 crngring 17404 . . . . 5  |-  ( S  e.  CRing  ->  S  e.  Ring )
194subrgid 17626 . . . . 5  |-  ( S  e.  Ring  ->  B  e.  (SubRing `  S )
)
203, 18, 193syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubRing `  S
) )
21 evls1scasrng.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubRing `  S
) )
224subrgss 17625 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (SubRing `  S
)  ->  R  C_  B
)
2321, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  C_  B )
24 evls1scasrng.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  R )
2523, 24sseldd 3490 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
2614, 15, 16, 4, 17, 3, 20, 25evls1sca 18555 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S evalSub1  B ) `
 ( (algSc `  (Poly1 `  ( Ss  B ) ) ) `
 X ) )  =  ( B  X.  { X } ) )
2713, 26eqtrd 2495 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S evalSub1  B ) `
 ( C `  X ) )  =  ( B  X.  { X } ) )
28 evls1scasrng.o . . . . 5  |-  O  =  (eval1 `  S )
2928, 4evl1fval1 18562 . . . 4  |-  O  =  ( S evalSub1  B )
3029a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  O  =  ( S evalSub1  B ) )
3130fveq1d 5850 . 2  |-  ( ph  ->  ( O `  ( C `  X )
)  =  ( ( S evalSub1  B ) `  ( C `  X )
) )
32 evls1scasrng.q . . 3  |-  Q  =  ( S evalSub1  R )
33 evls1scasrng.w . . 3  |-  W  =  (Poly1 `  U )
34 evls1scasrng.u . . 3  |-  U  =  ( Ss  R )
35 evls1scasrng.a . . 3  |-  A  =  (algSc `  W )
3632, 33, 34, 4, 35, 3, 21, 24evls1sca 18555 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( A `  X )
)  =  ( B  X.  { X }
) )
3727, 31, 363eqtr4rd 2506 1  |-  ( ph  ->  ( Q `  ( A `  X )
)  =  ( O `
 ( C `  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823    C_ wss 3461   {csn 4016    X. cxp 4986   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   ↾s cress 14717   Ringcrg 17393   CRingccrg 17394  SubRingcsubrg 17620  algSccascl 18155  Poly1cpl1 18411   evalSub1 ces1 18545  eval1ce1 18546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-hom 14808  df-cco 14809  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-prds 14937  df-pws 14939  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-ghm 16464  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-srg 17353  df-ring 17395  df-cring 17396  df-rnghom 17559  df-subrg 17622  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813  df-assa 18156  df-asp 18157  df-ascl 18158  df-psr 18200  df-mvr 18201  df-mpl 18202  df-opsr 18204  df-evls 18366  df-evl 18367  df-psr1 18414  df-ply1 18416  df-evls1 18547  df-evl1 18548
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator