Theorem evls1sca 18128

Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1sca.q	|- Q = ( S evalSub1 R )
evls1sca.w	|- W = (Poly1 ` U )
evls1sca.u	|- U = ( S ↾s R )
evls1sca.b	|- B = ( Base ` S )
evls1sca.a	|- A = (algSc ` W )
evls1sca.s	|- ( ph -> S e. CRing )
evls1sca.r	|- ( ph -> R e. (SubRing ` S ) )
evls1sca.x	|- ( ph -> X e. R )

Assertion

Ref	Expression
evls1sca	|- ( ph -> ( Q ` ( A ` X ) ) = ( B X. { X } ) )

Proof of Theorem evls1sca

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 7134	. . . . . . 7 |- 1o e. On
2	1	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1o e. On )
3		evls1sca.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. CRing )
4		evls1sca.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. (SubRing ` S ) )
5		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( ( 1o evalSub S ) ` R ) = ( ( 1o evalSub S ) ` R )
6		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( 1o mPoly U ) = ( 1o mPoly U )
7		evls1sca.u	. . . . . . 7 |- U = ( S ↾s R )
8		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( S ^s ( B ^m 1o ) ) = ( S ^s ( B ^m 1o ) )
9		evls1sca.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` S )
10	5, 6, 7, 8, 9	evlsrhm 17958	. . . . . 6 |- ( ( 1o e. On /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) -> ( ( 1o evalSub S ) ` R ) e. ( ( 1o mPoly U ) RingHom ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) )
11	2, 3, 4, 10	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1o evalSub S ) ` R ) e. ( ( 1o mPoly U ) RingHom ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) )
12		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) = ( Base ` ( 1o mPoly U ) )
13		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) = ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) )
14	12, 13	rhmf 17156	. . . . 5 |- ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) e. ( ( 1o mPoly U ) RingHom ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) -> ( ( 1o evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) )
15	11, 14	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1o evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) )
16		evls1sca.a	. . . . . . 7 |- A = (algSc ` W )
17		eqid 2467	. . . . . . 7 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
18	7	subrgrng 17212	. . . . . . . . 9 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> U e. Ring )
19	4, 18	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. Ring )
20		evls1sca.w	. . . . . . . . 9 |- W = (Poly1 ` U )
21	20	ply1rng 18057	. . . . . . . 8 |- ( U e. Ring -> W e. Ring )
22	19, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. Ring )
23	20	ply1lmod 18061	. . . . . . . 8 |- ( U e. Ring -> W e. LMod )
24	19, 23	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. LMod )
25		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
26		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
27	16, 17, 22, 24, 25, 26	asclf 17754	. . . . . 6 |- ( ph -> A : ( Base ` (Scalar ` W ) ) --> ( Base ` W ) )
28	9	subrgss 17210	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> R C_ B )
29	4, 28	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R C_ B )
30	7, 9	ressbas2 14539	. . . . . . . . 9 |- ( R C_ B -> R = ( Base ` U ) )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R = ( Base ` U ) )
32	20	ply1sca 18062	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. Ring -> U = (Scalar ` W ) )
33	19, 32	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U = (Scalar ` W ) )
34	33	fveq2d 5868	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Base ` U ) = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
35	31, 34	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( ph -> R = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
36		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- (PwSer1 ` U ) = (PwSer1 ` U )
37	20, 36, 26	ply1bas 18002	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` W ) = ( Base ` ( 1o mPoly U ) )
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Base ` W ) = ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) )
39	38	eqcomd 2475	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) = ( Base ` W ) )
40	35, 39	feq23d 5724	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A : R --> ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) <-> A : ( Base ` (Scalar ` W ) ) --> ( Base ` W ) ) )
41	27, 40	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ph -> A : R --> ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) )
42		evls1sca.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. R )
43	41, 42	ffvelrnd 6020	. . . 4 |- ( ph -> ( A ` X ) e. ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) )
44		fvco3 5942	. . . 4 |- ( ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) /\ ( A ` X ) e. ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) ) -> ( ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) ` ( A ` X ) ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) ) )
45	15, 43, 44	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) ` ( A ` X ) ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) ) )
46	16	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A = (algSc ` W ) )
47		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- (algSc ` W ) = (algSc ` W )
48	20, 47	ply1ascl 18067	. . . . . . . 8 |- (algSc ` W ) = (algSc ` ( 1o mPoly U ) )
49	46, 48	syl6eq 2524	. . . . . . 7 |- ( ph -> A = (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) )
50	49	fveq1d 5866	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ` X ) = ( (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) ` X ) )
51	50	fveq2d 5868	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) = ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) ` X ) ) )
52		eqid 2467	. . . . . 6 |- (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) = (algSc ` ( 1o mPoly U ) )
53	5, 6, 7, 9, 52, 2, 3, 4, 42	evlssca 17959	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) ` X ) ) = ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) )
54	51, 53	eqtrd 2508	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) = ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) )
55	54	fveq2d 5868	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) ) )
56		eqidd 2468	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) = ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) )
57		coeq1 5158	. . . . . 6 |- ( x = ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) -> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) )
58	57	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) ) -> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) )
59	29, 42	sseldd 3505	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. B )
60		fconst6g 5772	. . . . . . 7 |- ( X e. B -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) : ( B ^m 1o ) --> B )
61	59, 60	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) : ( B ^m 1o ) --> B )
62		fvex 5874	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` S ) e. _V
63	9, 62	eqeltri 2551	. . . . . . . 8 |- B e. _V
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. _V )
65		ovex 6307	. . . . . . . 8 |- ( B ^m 1o ) e. _V
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B ^m 1o ) e. _V )
67		elmapg 7430	. . . . . . 7 |- ( ( B e. _V /\ ( B ^m 1o ) e. _V ) -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) <-> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) : ( B ^m 1o ) --> B ) )
68	64, 66, 67	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) <-> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) : ( B ^m 1o ) --> B ) )
69	61, 68	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) )
70		snex 4688	. . . . . . . 8 |- { X } e. _V
71	65, 70	xpex 6711	. . . . . . 7 |- ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. _V
72	71	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. _V )
73		mptexg 6128	. . . . . . 7 |- ( B e. _V -> ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) e. _V )
74	64, 73	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) e. _V )
75		coexg 6732	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. _V /\ ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) e. _V ) -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) e. _V )
76	72, 74, 75	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) e. _V )
77	56, 58, 69, 76	fvmptd 5953	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) )
78		fconst6g 5772	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> ( 1o X. { y } ) : 1o --> B )
79	78	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1o X. { y } ) : 1o --> B )
80	63, 1	pm3.2i 455	. . . . . . . 8 |- ( B e. _V /\ 1o e. On )
81	80	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( B e. _V /\ 1o e. On ) )
82		elmapg 7430	. . . . . . 7 |- ( ( B e. _V /\ 1o e. On ) -> ( ( 1o X. { y } ) e. ( B ^m 1o ) <-> ( 1o X. { y } ) : 1o --> B ) )
83	81, 82	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( ( 1o X. { y } ) e. ( B ^m 1o ) <-> ( 1o X. { y } ) : 1o --> B ) )
84	79, 83	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1o X. { y } ) e. ( B ^m 1o ) )
85		eqidd 2468	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) = ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) )
86		fconstmpt 5042	. . . . . 6 |- ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) = ( z e. ( B ^m 1o ) |-> X )
87	86	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) = ( z e. ( B ^m 1o ) |-> X ) )
88		eqidd 2468	. . . . 5 |- ( z = ( 1o X. { y } ) -> X = X )
89	84, 85, 87, 88	fmptco 6052	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) = ( y e. B |-> X ) )
90	77, 89	eqtrd 2508	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) ) = ( y e. B |-> X ) )
91	45, 55, 90	3eqtrd 2512	. 2 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) ` ( A ` X ) ) = ( y e. B |-> X ) )
92		elpwg 4018	. . . . . 6 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> ( R e. ~P B <-> R C_ B ) )
93	28, 92	mpbird 232	. . . . 5 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> R e. ~P B )
94	4, 93	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> R e. ~P B )
95		evls1sca.q	. . . . 5 |- Q = ( S evalSub1 R )
96		eqid 2467	. . . . 5 |- ( 1o evalSub S ) = ( 1o evalSub S )
97	95, 96, 9	evls1fval 18124	. . . 4 |- ( ( S e. CRing /\ R e. ~P B ) -> Q = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) )
98	3, 94, 97	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> Q = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) )
99	98	fveq1d 5866	. 2 |- ( ph -> ( Q ` ( A ` X ) ) = ( ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) ` ( A ` X ) ) )
100		fconstmpt 5042	. . 3 |- ( B X. { X } ) = ( y e. B |-> X )
101	100	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( B X. { X } ) = ( y e. B |-> X ) )
102	91, 99, 101	3eqtr4d 2518	1 |- ( ph -> ( Q ` ( A ` X ) ) = ( B X. { X } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {csn 4027   |-> cmpt 4505   Oncon0 4878   X. cxp 4997   o. ccom 5003   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1oc1o 7120   ^m cmap 7417   Basecbs 14483   ↾_s cress 14484  Scalarcsca 14551   ^_s cpws 14695   Ringcrg 16983   CRingccrg 16984   RingHom crh 17142  SubRingcsubrg 17205   LModclmod 17292  algSccascl 17728   mPoly cmpl 17770   evalSub ces 17937  PwSer₁cps1 17982  Poly₁cpl1 17984   evalSub₁ ces1 18118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-hash 12368  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-hom 14572  df-cco 14573  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-prds 14696  df-pws 14698  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-mhm 15774  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-mulg 15858  df-subg 15990  df-ghm 16057  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-srg 16945  df-rng 16985  df-cring 16986  df-rnghom 17145  df-subrg 17207  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398  df-assa 17729  df-asp 17730  df-ascl 17731  df-psr 17773  df-mvr 17774  df-mpl 17775  df-opsr 17777  df-evls 17939  df-psr1 17987  df-ply1 17989  df-evls1 18120

This theorem is referenced by:  evls1scasrng  18143