Theorem evls1sca 18486

Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1sca.q	|- Q = ( S evalSub1 R )
evls1sca.w	|- W = (Poly1 ` U )
evls1sca.u	|- U = ( S ↾s R )
evls1sca.b	|- B = ( Base ` S )
evls1sca.a	|- A = (algSc ` W )
evls1sca.s	|- ( ph -> S e. CRing )
evls1sca.r	|- ( ph -> R e. (SubRing ` S ) )
evls1sca.x	|- ( ph -> X e. R )

Assertion

Ref	Expression
evls1sca	|- ( ph -> ( Q ` ( A ` X ) ) = ( B X. { X } ) )

Proof of Theorem evls1sca

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 7155	. . . . . . 7 |- 1o e. On
2	1	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1o e. On )
3		evls1sca.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. CRing )
4		evls1sca.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. (SubRing ` S ) )
5		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( ( 1o evalSub S ) ` R ) = ( ( 1o evalSub S ) ` R )
6		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( 1o mPoly U ) = ( 1o mPoly U )
7		evls1sca.u	. . . . . . 7 |- U = ( S ↾s R )
8		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( S ^s ( B ^m 1o ) ) = ( S ^s ( B ^m 1o ) )
9		evls1sca.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` S )
10	5, 6, 7, 8, 9	evlsrhm 18316	. . . . . 6 |- ( ( 1o e. On /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) -> ( ( 1o evalSub S ) ` R ) e. ( ( 1o mPoly U ) RingHom ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) )
11	2, 3, 4, 10	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1o evalSub S ) ` R ) e. ( ( 1o mPoly U ) RingHom ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) )
12		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) = ( Base ` ( 1o mPoly U ) )
13		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) = ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) )
14	12, 13	rhmf 17501	. . . . 5 |- ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) e. ( ( 1o mPoly U ) RingHom ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) -> ( ( 1o evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) )
15	11, 14	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1o evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) )
16		evls1sca.a	. . . . . . 7 |- A = (algSc ` W )
17		eqid 2457	. . . . . . 7 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
18	7	subrgring 17558	. . . . . . . . 9 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> U e. Ring )
19	4, 18	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. Ring )
20		evls1sca.w	. . . . . . . . 9 |- W = (Poly1 ` U )
21	20	ply1ring 18415	. . . . . . . 8 |- ( U e. Ring -> W e. Ring )
22	19, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. Ring )
23	20	ply1lmod 18419	. . . . . . . 8 |- ( U e. Ring -> W e. LMod )
24	19, 23	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. LMod )
25		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
26		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
27	16, 17, 22, 24, 25, 26	asclf 18112	. . . . . 6 |- ( ph -> A : ( Base ` (Scalar ` W ) ) --> ( Base ` W ) )
28	9	subrgss 17556	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> R C_ B )
29	4, 28	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R C_ B )
30	7, 9	ressbas2 14701	. . . . . . . . 9 |- ( R C_ B -> R = ( Base ` U ) )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R = ( Base ` U ) )
32	20	ply1sca 18420	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. Ring -> U = (Scalar ` W ) )
33	19, 32	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U = (Scalar ` W ) )
34	33	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Base ` U ) = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
35	31, 34	eqtrd 2498	. . . . . . 7 |- ( ph -> R = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
36		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- (PwSer1 ` U ) = (PwSer1 ` U )
37	20, 36, 26	ply1bas 18360	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` W ) = ( Base ` ( 1o mPoly U ) )
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Base ` W ) = ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) )
39	38	eqcomd 2465	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) = ( Base ` W ) )
40	35, 39	feq23d 5732	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A : R --> ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) <-> A : ( Base ` (Scalar ` W ) ) --> ( Base ` W ) ) )
41	27, 40	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ph -> A : R --> ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) )
42		evls1sca.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. R )
43	41, 42	ffvelrnd 6033	. . . 4 |- ( ph -> ( A ` X ) e. ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) )
44		fvco3 5950	. . . 4 |- ( ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) /\ ( A ` X ) e. ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) ) -> ( ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) ` ( A ` X ) ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) ) )
45	15, 43, 44	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) ` ( A ` X ) ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) ) )
46	16	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A = (algSc ` W ) )
47		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- (algSc ` W ) = (algSc ` W )
48	20, 47	ply1ascl 18425	. . . . . . . 8 |- (algSc ` W ) = (algSc ` ( 1o mPoly U ) )
49	46, 48	syl6eq 2514	. . . . . . 7 |- ( ph -> A = (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) )
50	49	fveq1d 5874	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ` X ) = ( (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) ` X ) )
51	50	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) = ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) ` X ) ) )
52		eqid 2457	. . . . . 6 |- (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) = (algSc ` ( 1o mPoly U ) )
53	5, 6, 7, 9, 52, 2, 3, 4, 42	evlssca 18317	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) ` X ) ) = ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) )
54	51, 53	eqtrd 2498	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) = ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) )
55	54	fveq2d 5876	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) ) )
56		eqidd 2458	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) = ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) )
57		coeq1 5170	. . . . . 6 |- ( x = ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) -> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) )
58	57	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) ) -> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) )
59	29, 42	sseldd 3500	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. B )
60		fconst6g 5780	. . . . . . 7 |- ( X e. B -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) : ( B ^m 1o ) --> B )
61	59, 60	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) : ( B ^m 1o ) --> B )
62		fvex 5882	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` S ) e. _V
63	9, 62	eqeltri 2541	. . . . . . . 8 |- B e. _V
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. _V )
65		ovex 6324	. . . . . . . 8 |- ( B ^m 1o ) e. _V
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B ^m 1o ) e. _V )
67	64, 66	elmapd 7452	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) <-> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) : ( B ^m 1o ) --> B ) )
68	61, 67	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) )
69		snex 4697	. . . . . . . 8 |- { X } e. _V
70	65, 69	xpex 6603	. . . . . . 7 |- ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. _V
71	70	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. _V )
72		mptexg 6143	. . . . . . 7 |- ( B e. _V -> ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) e. _V )
73	64, 72	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) e. _V )
74		coexg 6750	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. _V /\ ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) e. _V ) -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) e. _V )
75	71, 73, 74	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) e. _V )
76	56, 58, 68, 75	fvmptd 5961	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) )
77		fconst6g 5780	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> ( 1o X. { y } ) : 1o --> B )
78	77	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1o X. { y } ) : 1o --> B )
79	63, 1	pm3.2i 455	. . . . . . . 8 |- ( B e. _V /\ 1o e. On )
80	79	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( B e. _V /\ 1o e. On ) )
81		elmapg 7451	. . . . . . 7 |- ( ( B e. _V /\ 1o e. On ) -> ( ( 1o X. { y } ) e. ( B ^m 1o ) <-> ( 1o X. { y } ) : 1o --> B ) )
82	80, 81	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( ( 1o X. { y } ) e. ( B ^m 1o ) <-> ( 1o X. { y } ) : 1o --> B ) )
83	78, 82	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1o X. { y } ) e. ( B ^m 1o ) )
84		eqidd 2458	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) = ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) )
85		fconstmpt 5052	. . . . . 6 |- ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) = ( z e. ( B ^m 1o ) |-> X )
86	85	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) = ( z e. ( B ^m 1o ) |-> X ) )
87		eqidd 2458	. . . . 5 |- ( z = ( 1o X. { y } ) -> X = X )
88	83, 84, 86, 87	fmptco 6065	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) = ( y e. B |-> X ) )
89	76, 88	eqtrd 2498	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) ) = ( y e. B |-> X ) )
90	45, 55, 89	3eqtrd 2502	. 2 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) ` ( A ` X ) ) = ( y e. B |-> X ) )
91		elpwg 4023	. . . . . 6 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> ( R e. ~P B <-> R C_ B ) )
92	28, 91	mpbird 232	. . . . 5 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> R e. ~P B )
93	4, 92	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> R e. ~P B )
94		evls1sca.q	. . . . 5 |- Q = ( S evalSub1 R )
95		eqid 2457	. . . . 5 |- ( 1o evalSub S ) = ( 1o evalSub S )
96	94, 95, 9	evls1fval 18482	. . . 4 |- ( ( S e. CRing /\ R e. ~P B ) -> Q = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) )
97	3, 93, 96	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> Q = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) )
98	97	fveq1d 5874	. 2 |- ( ph -> ( Q ` ( A ` X ) ) = ( ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) ` ( A ` X ) ) )
99		fconstmpt 5052	. . 3 |- ( B X. { X } ) = ( y e. B |-> X )
100	99	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( B X. { X } ) = ( y e. B |-> X ) )
101	90, 98, 100	3eqtr4d 2508	1 |- ( ph -> ( Q ` ( A ` X ) ) = ( B X. { X } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {csn 4032   |-> cmpt 4515   Oncon0 4887   X. cxp 5006   o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1oc1o 7141   ^m cmap 7438   Basecbs 14643   ↾_s cress 14644  Scalarcsca 14714   ^_s cpws 14863   Ringcrg 17324   CRingccrg 17325   RingHom crh 17487  SubRingcsubrg 17551   LModclmod 17638  algSccascl 18086   mPoly cmpl 18128   evalSub ces 18295  PwSer₁cps1 18340  Poly₁cpl1 18342   evalSub₁ ces1 18476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-hash 12408  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-hom 14735  df-cco 14736  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-prds 14864  df-pws 14866  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-ghm 16391  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-srg 17284  df-ring 17326  df-cring 17327  df-rnghom 17490  df-subrg 17553  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lsp 17744  df-assa 18087  df-asp 18088  df-ascl 18089  df-psr 18131  df-mvr 18132  df-mpl 18133  df-opsr 18135  df-evls 18297  df-psr1 18345  df-ply1 18347  df-evls1 18478

This theorem is referenced by:  evls1scasrng  18501