Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1sca Structured version   Unicode version

Theorem evls1sca 18128
 Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1sca.q evalSub1
evls1sca.w Poly1
evls1sca.u s
evls1sca.b
evls1sca.a algSc
evls1sca.s
evls1sca.r SubRing
evls1sca.x
Assertion
Ref Expression
evls1sca

Proof of Theorem evls1sca
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 7134 . . . . . . 7
21a1i 11 . . . . . 6
3 evls1sca.s . . . . . 6
4 evls1sca.r . . . . . 6 SubRing
5 eqid 2467 . . . . . . 7 evalSub evalSub
6 eqid 2467 . . . . . . 7 mPoly mPoly
7 evls1sca.u . . . . . . 7 s
8 eqid 2467 . . . . . . 7 s s
9 evls1sca.b . . . . . . 7
105, 6, 7, 8, 9evlsrhm 17958 . . . . . 6 SubRing evalSub mPoly RingHom s
112, 3, 4, 10syl3anc 1228 . . . . 5 evalSub mPoly RingHom s
12 eqid 2467 . . . . . 6 mPoly mPoly
13 eqid 2467 . . . . . 6 s s
1412, 13rhmf 17156 . . . . 5 evalSub mPoly RingHom s evalSub mPoly s
1511, 14syl 16 . . . 4 evalSub mPoly s
16 evls1sca.a . . . . . . 7 algSc
17 eqid 2467 . . . . . . 7 Scalar Scalar
187subrgrng 17212 . . . . . . . . 9 SubRing
194, 18syl 16 . . . . . . . 8
20 evls1sca.w . . . . . . . . 9 Poly1
2120ply1rng 18057 . . . . . . . 8
2219, 21syl 16 . . . . . . 7
2320ply1lmod 18061 . . . . . . . 8
2419, 23syl 16 . . . . . . 7
25 eqid 2467 . . . . . . 7 Scalar Scalar
26 eqid 2467 . . . . . . 7
2716, 17, 22, 24, 25, 26asclf 17754 . . . . . 6 Scalar
289subrgss 17210 . . . . . . . . . 10 SubRing
294, 28syl 16 . . . . . . . . 9
307, 9ressbas2 14539 . . . . . . . . 9
3129, 30syl 16 . . . . . . . 8
3220ply1sca 18062 . . . . . . . . . 10 Scalar
3319, 32syl 16 . . . . . . . . 9 Scalar
3433fveq2d 5868 . . . . . . . 8 Scalar
3531, 34eqtrd 2508 . . . . . . 7 Scalar
36 eqid 2467 . . . . . . . . . 10 PwSer1 PwSer1
3720, 36, 26ply1bas 18002 . . . . . . . . 9 mPoly
3837a1i 11 . . . . . . . 8 mPoly
3938eqcomd 2475 . . . . . . 7 mPoly
4035, 39feq23d 5724 . . . . . 6 mPoly Scalar
4127, 40mpbird 232 . . . . 5 mPoly
42 evls1sca.x . . . . 5
4341, 42ffvelrnd 6020 . . . 4 mPoly
44 fvco3 5942 . . . 4 evalSub mPoly s mPoly evalSub evalSub
4515, 43, 44syl2anc 661 . . 3 evalSub evalSub
4616a1i 11 . . . . . . . 8 algSc
47 eqid 2467 . . . . . . . . 9 algSc algSc
4820, 47ply1ascl 18067 . . . . . . . 8 algSc algSc mPoly
4946, 48syl6eq 2524 . . . . . . 7 algSc mPoly
5049fveq1d 5866 . . . . . 6 algSc mPoly
5150fveq2d 5868 . . . . 5 evalSub evalSub algSc mPoly
52 eqid 2467 . . . . . 6 algSc mPoly algSc mPoly
535, 6, 7, 9, 52, 2, 3, 4, 42evlssca 17959 . . . . 5 evalSub algSc mPoly
5451, 53eqtrd 2508 . . . 4 evalSub
5554fveq2d 5868 . . 3 evalSub
56 eqidd 2468 . . . . 5
57 coeq1 5158 . . . . . 6
5857adantl 466 . . . . 5
5929, 42sseldd 3505 . . . . . . 7
60 fconst6g 5772 . . . . . . 7
6159, 60syl 16 . . . . . 6
62 fvex 5874 . . . . . . . . 9
639, 62eqeltri 2551 . . . . . . . 8
6463a1i 11 . . . . . . 7
65 ovex 6307 . . . . . . . 8
6665a1i 11 . . . . . . 7
67 elmapg 7430 . . . . . . 7
6864, 66, 67syl2anc 661 . . . . . 6
6961, 68mpbird 232 . . . . 5
70 snex 4688 . . . . . . . 8
7165, 70xpex 6711 . . . . . . 7
7271a1i 11 . . . . . 6
73 mptexg 6128 . . . . . . 7
7464, 73syl 16 . . . . . 6
75 coexg 6732 . . . . . 6
7672, 74, 75syl2anc 661 . . . . 5
7756, 58, 69, 76fvmptd 5953 . . . 4
78 fconst6g 5772 . . . . . . 7
7978adantl 466 . . . . . 6
8063, 1pm3.2i 455 . . . . . . . 8
8180a1i 11 . . . . . . 7
82 elmapg 7430 . . . . . . 7
8381, 82syl 16 . . . . . 6
8479, 83mpbird 232 . . . . 5
85 eqidd 2468 . . . . 5
86 fconstmpt 5042 . . . . . 6
8786a1i 11 . . . . 5
88 eqidd 2468 . . . . 5
8984, 85, 87, 88fmptco 6052 . . . 4
9077, 89eqtrd 2508 . . 3
9145, 55, 903eqtrd 2512 . 2 evalSub
92 elpwg 4018 . . . . . 6 SubRing
9328, 92mpbird 232 . . . . 5 SubRing
944, 93syl 16 . . . 4
95 evls1sca.q . . . . 5 evalSub1
96 eqid 2467 . . . . 5 evalSub evalSub
9795, 96, 9evls1fval 18124 . . . 4 evalSub
983, 94, 97syl2anc 661 . . 3 evalSub
9998fveq1d 5866 . 2 evalSub
100 fconstmpt 5042 . . 3
101100a1i 11 . 2
10291, 99, 1013eqtr4d 2518 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3113   wss 3476  cpw 4010  csn 4027   cmpt 4505  con0 4878   cxp 4997   ccom 5003  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282  c1o 7120   cmap 7417  cbs 14483   ↾s cress 14484  Scalarcsca 14551   s cpws 14695  crg 16983  ccrg 16984   RingHom crh 17142  SubRingcsubrg 17205  clmod 17292  algSccascl 17728   mPoly cmpl 17770   evalSub ces 17937  PwSer1cps1 17982  Poly1cpl1 17984   evalSub1 ces1 18118 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-hash 12368  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-hom 14572  df-cco 14573  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-prds 14696  df-pws 14698  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-mhm 15774  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-mulg 15858  df-subg 15990  df-ghm 16057  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-srg 16945  df-rng 16985  df-cring 16986  df-rnghom 17145  df-subrg 17207  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398  df-assa 17729  df-asp 17730  df-ascl 17731  df-psr 17773  df-mvr 17774  df-mpl 17775  df-opsr 17777  df-evls 17939  df-psr1 17987  df-ply1 17989  df-evls1 18120 This theorem is referenced by:  evls1scasrng  18143
 Copyright terms: Public domain W3C validator