Theorem evls1sca 17886

Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1sca.q	|- Q = ( S evalSub1 R )
evls1sca.w	|- W = (Poly1 ` U )
evls1sca.u	|- U = ( S ↾s R )
evls1sca.b	|- B = ( Base ` S )
evls1sca.a	|- A = (algSc ` W )
evls1sca.s	|- ( ph -> S e. CRing )
evls1sca.r	|- ( ph -> R e. (SubRing ` S ) )
evls1sca.x	|- ( ph -> X e. R )

Assertion

Ref	Expression
evls1sca	|- ( ph -> ( Q ` ( A ` X ) ) = ( B X. { X } ) )

Proof of Theorem evls1sca

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 7040	. . . . . . 7 |- 1o e. On
2	1	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1o e. On )
3		evls1sca.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. CRing )
4		evls1sca.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. (SubRing ` S ) )
5		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( ( 1o evalSub S ) ` R ) = ( ( 1o evalSub S ) ` R )
6		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( 1o mPoly U ) = ( 1o mPoly U )
7		evls1sca.u	. . . . . . 7 |- U = ( S ↾s R )
8		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( S ^s ( B ^m 1o ) ) = ( S ^s ( B ^m 1o ) )
9		evls1sca.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` S )
10	5, 6, 7, 8, 9	evlsrhm 17734	. . . . . 6 |- ( ( 1o e. On /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) -> ( ( 1o evalSub S ) ` R ) e. ( ( 1o mPoly U ) RingHom ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) )
11	2, 3, 4, 10	syl3anc 1219	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1o evalSub S ) ` R ) e. ( ( 1o mPoly U ) RingHom ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) )
12		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) = ( Base ` ( 1o mPoly U ) )
13		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) = ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) )
14	12, 13	rhmf 16942	. . . . 5 |- ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) e. ( ( 1o mPoly U ) RingHom ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) -> ( ( 1o evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) )
15	11, 14	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1o evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) )
16		evls1sca.a	. . . . . . 7 |- A = (algSc ` W )
17		eqid 2454	. . . . . . 7 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
18	7	subrgrng 16994	. . . . . . . . 9 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> U e. Ring )
19	4, 18	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. Ring )
20		evls1sca.w	. . . . . . . . 9 |- W = (Poly1 ` U )
21	20	ply1rng 17829	. . . . . . . 8 |- ( U e. Ring -> W e. Ring )
22	19, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. Ring )
23	20	ply1lmod 17833	. . . . . . . 8 |- ( U e. Ring -> W e. LMod )
24	19, 23	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. LMod )
25		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
26		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
27	16, 17, 22, 24, 25, 26	asclf 17534	. . . . . 6 |- ( ph -> A : ( Base ` (Scalar ` W ) ) --> ( Base ` W ) )
28	9	subrgss 16992	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> R C_ B )
29	4, 28	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R C_ B )
30	7, 9	ressbas2 14351	. . . . . . . . 9 |- ( R C_ B -> R = ( Base ` U ) )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R = ( Base ` U ) )
32	20	ply1sca 17834	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. Ring -> U = (Scalar ` W ) )
33	19, 32	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U = (Scalar ` W ) )
34	33	fveq2d 5806	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Base ` U ) = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
35	31, 34	eqtrd 2495	. . . . . . 7 |- ( ph -> R = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
36		eqid 2454	. . . . . . . . . 10 |- (PwSer1 ` U ) = (PwSer1 ` U )
37	20, 36, 26	ply1bas 17778	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` W ) = ( Base ` ( 1o mPoly U ) )
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Base ` W ) = ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) )
39	38	eqcomd 2462	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) = ( Base ` W ) )
40	35, 39	feq23d 5665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A : R --> ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) <-> A : ( Base ` (Scalar ` W ) ) --> ( Base ` W ) ) )
41	27, 40	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ph -> A : R --> ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) )
42		evls1sca.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. R )
43	41, 42	ffvelrnd 5956	. . . 4 |- ( ph -> ( A ` X ) e. ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) )
44		fvco3 5880	. . . 4 |- ( ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) /\ ( A ` X ) e. ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) ) -> ( ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) ` ( A ` X ) ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) ) )
45	15, 43, 44	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) ` ( A ` X ) ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) ) )
46	16	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A = (algSc ` W ) )
47		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- (algSc ` W ) = (algSc ` W )
48	20, 47	ply1ascl 17838	. . . . . . . 8 |- (algSc ` W ) = (algSc ` ( 1o mPoly U ) )
49	46, 48	syl6eq 2511	. . . . . . 7 |- ( ph -> A = (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) )
50	49	fveq1d 5804	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ` X ) = ( (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) ` X ) )
51	50	fveq2d 5806	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) = ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) ` X ) ) )
52		eqid 2454	. . . . . 6 |- (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) = (algSc ` ( 1o mPoly U ) )
53	5, 6, 7, 9, 52, 2, 3, 4, 42	evlssca 17735	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) ` X ) ) = ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) )
54	51, 53	eqtrd 2495	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) = ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) )
55	54	fveq2d 5806	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) ) )
56		eqidd 2455	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) = ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) )
57		coeq1 5108	. . . . . 6 |- ( x = ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) -> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) )
58	57	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) ) -> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) )
59	29, 42	sseldd 3468	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. B )
60		fconst6g 5710	. . . . . . 7 |- ( X e. B -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) : ( B ^m 1o ) --> B )
61	59, 60	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) : ( B ^m 1o ) --> B )
62		fvex 5812	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` S ) e. _V
63	9, 62	eqeltri 2538	. . . . . . . 8 |- B e. _V
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. _V )
65		ovex 6228	. . . . . . . 8 |- ( B ^m 1o ) e. _V
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B ^m 1o ) e. _V )
67		elmapg 7340	. . . . . . 7 |- ( ( B e. _V /\ ( B ^m 1o ) e. _V ) -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) <-> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) : ( B ^m 1o ) --> B ) )
68	64, 66, 67	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) <-> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) : ( B ^m 1o ) --> B ) )
69	61, 68	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) )
70		snex 4644	. . . . . . . 8 |- { X } e. _V
71	65, 70	xpex 6621	. . . . . . 7 |- ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. _V
72	71	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. _V )
73		mptexg 6059	. . . . . . 7 |- ( B e. _V -> ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) e. _V )
74	64, 73	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) e. _V )
75		coexg 6641	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. _V /\ ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) e. _V ) -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) e. _V )
76	72, 74, 75	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) e. _V )
77	56, 58, 69, 76	fvmptd 5891	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) )
78		fconst6g 5710	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> ( 1o X. { y } ) : 1o --> B )
79	78	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1o X. { y } ) : 1o --> B )
80	63, 1	pm3.2i 455	. . . . . . . 8 |- ( B e. _V /\ 1o e. On )
81	80	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( B e. _V /\ 1o e. On ) )
82		elmapg 7340	. . . . . . 7 |- ( ( B e. _V /\ 1o e. On ) -> ( ( 1o X. { y } ) e. ( B ^m 1o ) <-> ( 1o X. { y } ) : 1o --> B ) )
83	81, 82	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( ( 1o X. { y } ) e. ( B ^m 1o ) <-> ( 1o X. { y } ) : 1o --> B ) )
84	79, 83	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1o X. { y } ) e. ( B ^m 1o ) )
85		eqidd 2455	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) = ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) )
86		fconstmpt 4993	. . . . . 6 |- ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) = ( z e. ( B ^m 1o ) |-> X )
87	86	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) = ( z e. ( B ^m 1o ) |-> X ) )
88		eqidd 2455	. . . . 5 |- ( z = ( 1o X. { y } ) -> X = X )
89	84, 85, 87, 88	fmptco 5988	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) = ( y e. B |-> X ) )
90	77, 89	eqtrd 2495	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) ) = ( y e. B |-> X ) )
91	45, 55, 90	3eqtrd 2499	. 2 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) ` ( A ` X ) ) = ( y e. B |-> X ) )
92		elpwg 3979	. . . . . 6 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> ( R e. ~P B <-> R C_ B ) )
93	28, 92	mpbird 232	. . . . 5 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> R e. ~P B )
94	4, 93	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> R e. ~P B )
95		evls1sca.q	. . . . 5 |- Q = ( S evalSub1 R )
96		eqid 2454	. . . . 5 |- ( 1o evalSub S ) = ( 1o evalSub S )
97	95, 96, 9	evls1fval 17882	. . . 4 |- ( ( S e. CRing /\ R e. ~P B ) -> Q = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) )
98	3, 94, 97	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> Q = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) )
99	98	fveq1d 5804	. 2 |- ( ph -> ( Q ` ( A ` X ) ) = ( ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) ` ( A ` X ) ) )
100		fconstmpt 4993	. . 3 |- ( B X. { X } ) = ( y e. B |-> X )
101	100	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( B X. { X } ) = ( y e. B |-> X ) )
102	91, 99, 101	3eqtr4d 2505	1 |- ( ph -> ( Q ` ( A ` X ) ) = ( B X. { X } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3078   C_ wss 3439   ~Pcpw 3971   {csn 3988   |-> cmpt 4461   Oncon0 4830   X. cxp 4949   o. ccom 4955   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1oc1o 7026   ^m cmap 7327   Basecbs 14295   ↾_s cress 14296  Scalarcsca 14363   ^_s cpws 14507   Ringcrg 16771   CRingccrg 16772   RingHom crh 16930  SubRingcsubrg 16987   LModclmod 17074  algSccascl 17509   mPoly cmpl 17546   evalSub ces 17713  PwSer₁cps1 17758  Poly₁cpl1 17760   evalSub₁ ces1 17876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-ofr 6434  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-hom 14384  df-cco 14385  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-prds 14508  df-pws 14510  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-mhm 15586  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-mulg 15670  df-subg 15800  df-ghm 15867  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-srg 16733  df-rng 16773  df-cring 16774  df-rnghom 16932  df-subrg 16989  df-lmod 17076  df-lss 17140  df-lsp 17179  df-assa 17510  df-asp 17511  df-ascl 17512  df-psr 17549  df-mvr 17550  df-mpl 17551  df-opsr 17553  df-evls 17715  df-psr1 17763  df-ply1 17765  df-evls1 17878

This theorem is referenced by:  evls1scasrng  17901