Theorem evls1sca 18917

Description: Univariate polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 8-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1sca.q	|- Q = ( S evalSub1 R )
evls1sca.w	|- W = (Poly1 ` U )
evls1sca.u	|- U = ( S ↾s R )
evls1sca.b	|- B = ( Base ` S )
evls1sca.a	|- A = (algSc ` W )
evls1sca.s	|- ( ph -> S e. CRing )
evls1sca.r	|- ( ph -> R e. (SubRing ` S ) )
evls1sca.x	|- ( ph -> X e. R )

Assertion

Ref	Expression
evls1sca	|- ( ph -> ( Q ` ( A ` X ) ) = ( B X. { X } ) )

Proof of Theorem evls1sca

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 7206	. . . . . . 7 |- 1o e. On
2	1	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1o e. On )
3		evls1sca.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. CRing )
4		evls1sca.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. (SubRing ` S ) )
5		eqid 2423	. . . . . . 7 |- ( ( 1o evalSub S ) ` R ) = ( ( 1o evalSub S ) ` R )
6		eqid 2423	. . . . . . 7 |- ( 1o mPoly U ) = ( 1o mPoly U )
7		evls1sca.u	. . . . . . 7 |- U = ( S ↾s R )
8		eqid 2423	. . . . . . 7 |- ( S ^s ( B ^m 1o ) ) = ( S ^s ( B ^m 1o ) )
9		evls1sca.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` S )
10	5, 6, 7, 8, 9	evlsrhm 18749	. . . . . 6 |- ( ( 1o e. On /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) -> ( ( 1o evalSub S ) ` R ) e. ( ( 1o mPoly U ) RingHom ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) )
11	2, 3, 4, 10	syl3anc 1265	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1o evalSub S ) ` R ) e. ( ( 1o mPoly U ) RingHom ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) )
12		eqid 2423	. . . . . 6 |- ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) = ( Base ` ( 1o mPoly U ) )
13		eqid 2423	. . . . . 6 |- ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) = ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) )
14	12, 13	rhmf 17959	. . . . 5 |- ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) e. ( ( 1o mPoly U ) RingHom ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) -> ( ( 1o evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) )
15	11, 14	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1o evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) )
16		evls1sca.a	. . . . . . 7 |- A = (algSc ` W )
17		eqid 2423	. . . . . . 7 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
18	7	subrgring 18016	. . . . . . . . 9 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> U e. Ring )
19	4, 18	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. Ring )
20		evls1sca.w	. . . . . . . . 9 |- W = (Poly1 ` U )
21	20	ply1ring 18846	. . . . . . . 8 |- ( U e. Ring -> W e. Ring )
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. Ring )
23	20	ply1lmod 18850	. . . . . . . 8 |- ( U e. Ring -> W e. LMod )
24	19, 23	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. LMod )
25		eqid 2423	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
26		eqid 2423	. . . . . . 7 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
27	16, 17, 22, 24, 25, 26	asclf 18566	. . . . . 6 |- ( ph -> A : ( Base ` (Scalar ` W ) ) --> ( Base ` W ) )
28	9	subrgss 18014	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> R C_ B )
29	4, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R C_ B )
30	7, 9	ressbas2 15185	. . . . . . . . 9 |- ( R C_ B -> R = ( Base ` U ) )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R = ( Base ` U ) )
32	20	ply1sca 18851	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. Ring -> U = (Scalar ` W ) )
33	19, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U = (Scalar ` W ) )
34	33	fveq2d 5891	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Base ` U ) = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
35	31, 34	eqtrd 2464	. . . . . . 7 |- ( ph -> R = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
36		eqid 2423	. . . . . . . . . 10 |- (PwSer1 ` U ) = (PwSer1 ` U )
37	20, 36, 26	ply1bas 18793	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` W ) = ( Base ` ( 1o mPoly U ) )
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Base ` W ) = ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) )
39	38	eqcomd 2431	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) = ( Base ` W ) )
40	35, 39	feq23d 5747	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A : R --> ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) <-> A : ( Base ` (Scalar ` W ) ) --> ( Base ` W ) ) )
41	27, 40	mpbird 236	. . . . 5 |- ( ph -> A : R --> ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) )
42		evls1sca.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. R )
43	41, 42	ffvelrnd 6044	. . . 4 |- ( ph -> ( A ` X ) e. ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) )
44		fvco3 5964	. . . 4 |- ( ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) : ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) --> ( Base ` ( S ^s ( B ^m 1o ) ) ) /\ ( A ` X ) e. ( Base ` ( 1o mPoly U ) ) ) -> ( ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) ` ( A ` X ) ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) ) )
45	15, 43, 44	syl2anc 666	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) ` ( A ` X ) ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) ) )
46	16	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A = (algSc ` W ) )
47		eqid 2423	. . . . . . . . 9 |- (algSc ` W ) = (algSc ` W )
48	20, 47	ply1ascl 18856	. . . . . . . 8 |- (algSc ` W ) = (algSc ` ( 1o mPoly U ) )
49	46, 48	syl6eq 2480	. . . . . . 7 |- ( ph -> A = (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) )
50	49	fveq1d 5889	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ` X ) = ( (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) ` X ) )
51	50	fveq2d 5891	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) = ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) ` X ) ) )
52		eqid 2423	. . . . . 6 |- (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) = (algSc ` ( 1o mPoly U ) )
53	5, 6, 7, 9, 52, 2, 3, 4, 42	evlssca 18750	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( (algSc ` ( 1o mPoly U ) ) ` X ) ) = ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) )
54	51, 53	eqtrd 2464	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) = ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) )
55	54	fveq2d 5891	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ` ( A ` X ) ) ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) ) )
56		eqidd 2424	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) = ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) )
57		coeq1 5017	. . . . . 6 |- ( x = ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) -> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) )
58	57	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) ) -> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) )
59	29, 42	sseldd 3471	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. B )
60		fconst6g 5795	. . . . . . 7 |- ( X e. B -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) : ( B ^m 1o ) --> B )
61	59, 60	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) : ( B ^m 1o ) --> B )
62		fvex 5897	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` S ) e. _V
63	9, 62	eqeltri 2508	. . . . . . . 8 |- B e. _V
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. _V )
65		ovex 6339	. . . . . . . 8 |- ( B ^m 1o ) e. _V
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B ^m 1o ) e. _V )
67	64, 66	elmapd 7503	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) <-> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) : ( B ^m 1o ) --> B ) )
68	61, 67	mpbird 236	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) )
69		snex 4668	. . . . . . . 8 |- { X } e. _V
70	65, 69	xpex 6615	. . . . . . 7 |- ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. _V
71	70	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. _V )
72		mptexg 6156	. . . . . . 7 |- ( B e. _V -> ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) e. _V )
73	64, 72	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) e. _V )
74		coexg 6764	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) e. _V /\ ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) e. _V ) -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) e. _V )
75	71, 73, 74	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) e. _V )
76	56, 58, 68, 75	fvmptd 5976	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) ) = ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) )
77		fconst6g 5795	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> ( 1o X. { y } ) : 1o --> B )
78	77	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1o X. { y } ) : 1o --> B )
79	63, 1	pm3.2i 457	. . . . . . . 8 |- ( B e. _V /\ 1o e. On )
80	79	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( B e. _V /\ 1o e. On ) )
81		elmapg 7502	. . . . . . 7 |- ( ( B e. _V /\ 1o e. On ) -> ( ( 1o X. { y } ) e. ( B ^m 1o ) <-> ( 1o X. { y } ) : 1o --> B ) )
82	80, 81	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( ( 1o X. { y } ) e. ( B ^m 1o ) <-> ( 1o X. { y } ) : 1o --> B ) )
83	78, 82	mpbird 236	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( 1o X. { y } ) e. ( B ^m 1o ) )
84		eqidd 2424	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) = ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) )
85		fconstmpt 4903	. . . . . 6 |- ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) = ( z e. ( B ^m 1o ) |-> X )
86	85	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) = ( z e. ( B ^m 1o ) |-> X ) )
87		eqidd 2424	. . . . 5 |- ( z = ( 1o X. { y } ) -> X = X )
88	83, 84, 86, 87	fmptco 6077	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) = ( y e. B |-> X ) )
89	76, 88	eqtrd 2464	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) ` ( ( B ^m 1o ) X. { X } ) ) = ( y e. B |-> X ) )
90	45, 55, 89	3eqtrd 2468	. 2 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) ` ( A ` X ) ) = ( y e. B |-> X ) )
91		elpwg 3995	. . . . . 6 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> ( R e. ~P B <-> R C_ B ) )
92	28, 91	mpbird 236	. . . . 5 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> R e. ~P B )
93	4, 92	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> R e. ~P B )
94		evls1sca.q	. . . . 5 |- Q = ( S evalSub1 R )
95		eqid 2423	. . . . 5 |- ( 1o evalSub S ) = ( 1o evalSub S )
96	94, 95, 9	evls1fval 18913	. . . 4 |- ( ( S e. CRing /\ R e. ~P B ) -> Q = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) )
97	3, 93, 96	syl2anc 666	. . 3 |- ( ph -> Q = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) )
98	97	fveq1d 5889	. 2 |- ( ph -> ( Q ` ( A ` X ) ) = ( ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub S ) ` R ) ) ` ( A ` X ) ) )
99		fconstmpt 4903	. . 3 |- ( B X. { X } ) = ( y e. B |-> X )
100	99	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( B X. { X } ) = ( y e. B |-> X ) )
101	90, 98, 100	3eqtr4d 2474	1 |- ( ph -> ( Q ` ( A ` X ) ) = ( B X. { X } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1438   e. wcel 1873   _Vcvv 3085   C_ wss 3442   ~Pcpw 3987   {csn 4004   |-> cmpt 4488   X. cxp 4857   o. ccom 4863   Oncon0 5448   -->wf 5603   ` cfv 5607  (class class class)co 6311   1oc1o 7192   ^m cmap 7489   Basecbs 15126   ↾_s cress 15127  Scalarcsca 15198   ^_s cpws 15350   Ringcrg 17785   CRingccrg 17786   RingHom crh 17945  SubRingcsubrg 18009   LModclmod 18096  algSccascl 18540   mPoly cmpl 18582   evalSub ces 18732  PwSer₁cps1 18773  Poly₁cpl1 18775   evalSub₁ ces1 18907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1664  ax-4 1677  ax-5 1753  ax-6 1799  ax-7 1844  ax-8 1875  ax-9 1877  ax-10 1892  ax-11 1897  ax-12 1910  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4542  ax-sep 4552  ax-nul 4561  ax-pow 4608  ax-pr 4666  ax-un 6603  ax-inf2 8161  ax-cnex 9608  ax-resscn 9609  ax-1cn 9610  ax-icn 9611  ax-addcl 9612  ax-addrcl 9613  ax-mulcl 9614  ax-mulrcl 9615  ax-mulcom 9616  ax-addass 9617  ax-mulass 9618  ax-distr 9619  ax-i2m1 9620  ax-1ne0 9621  ax-1rid 9622  ax-rnegex 9623  ax-rrecex 9624  ax-cnre 9625  ax-pre-lttri 9626  ax-pre-lttrn 9627  ax-pre-ltadd 9628  ax-pre-mulgt0 9629

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1659  df-nf 1663  df-sb 1792  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3087  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3918  df-pw 3989  df-sn 4005  df-pr 4007  df-tp 4009  df-op 4011  df-uni 4226  df-int 4262  df-iun 4307  df-iin 4308  df-br 4430  df-opab 4489  df-mpt 4490  df-tr 4525  df-eprel 4770  df-id 4774  df-po 4780  df-so 4781  df-fr 4818  df-se 4819  df-we 4820  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-pred 5405  df-ord 5451  df-on 5452  df-lim 5453  df-suc 5454  df-iota 5571  df-fun 5609  df-fn 5610  df-f 5611  df-f1 5612  df-fo 5613  df-f1o 5614  df-fv 5615  df-isom 5616  df-riota 6273  df-ov 6314  df-oprab 6315  df-mpt2 6316  df-of 6551  df-ofr 6552  df-om 6713  df-1st 6813  df-2nd 6814  df-supp 6932  df-wrecs 7045  df-recs 7107  df-rdg 7145  df-1o 7199  df-2o 7200  df-oadd 7203  df-er 7380  df-map 7491  df-pm 7492  df-ixp 7540  df-en 7587  df-dom 7588  df-sdom 7589  df-fin 7590  df-fsupp 7899  df-sup 7971  df-oi 8040  df-card 8387  df-pnf 9690  df-mnf 9691  df-xr 9692  df-ltxr 9693  df-le 9694  df-sub 9875  df-neg 9876  df-nn 10623  df-2 10681  df-3 10682  df-4 10683  df-5 10684  df-6 10685  df-7 10686  df-8 10687  df-9 10688  df-10 10689  df-n0 10883  df-z 10951  df-dec 11065  df-uz 11173  df-fz 11798  df-fzo 11929  df-seq 12226  df-hash 12528  df-struct 15128  df-ndx 15129  df-slot 15130  df-base 15131  df-sets 15132  df-ress 15133  df-plusg 15208  df-mulr 15209  df-sca 15211  df-vsca 15212  df-ip 15213  df-tset 15214  df-ple 15215  df-ds 15217  df-hom 15219  df-cco 15220  df-0g 15345  df-gsum 15346  df-prds 15351  df-pws 15353  df-mre 15497  df-mrc 15498  df-acs 15500  df-mgm 16493  df-sgrp 16532  df-mnd 16542  df-mhm 16587  df-submnd 16588  df-grp 16678  df-minusg 16679  df-sbg 16680  df-mulg 16681  df-subg 16819  df-ghm 16886  df-cntz 16976  df-cmn 17437  df-abl 17438  df-mgp 17729  df-ur 17741  df-srg 17745  df-ring 17787  df-cring 17788  df-rnghom 17948  df-subrg 18011  df-lmod 18098  df-lss 18161  df-lsp 18200  df-assa 18541  df-asp 18542  df-ascl 18543  df-psr 18585  df-mvr 18586  df-mpl 18587  df-opsr 18589  df-evls 18734  df-psr1 18778  df-ply1 18780  df-evls1 18909

This theorem is referenced by:  evls1scasrng  18932