Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1rhm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem evls1rhm 18923
 Description: Polynomial evaluation is a homomorphism (into the product ring). (Contributed by AV, 11-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1rhm.q evalSub1
evls1rhm.b
evls1rhm.t s
evls1rhm.u s
evls1rhm.w Poly1
Assertion
Ref Expression
evls1rhm SubRing RingHom

Proof of Theorem evls1rhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1rhm.b . . . . . 6
21subrgss 18021 . . . . 5 SubRing
32adantl 468 . . . 4 SubRing
4 elpwg 3961 . . . . 5 SubRing
54adantl 468 . . . 4 SubRing
63, 5mpbird 236 . . 3 SubRing
7 evls1rhm.q . . . 4 evalSub1
8 eqid 2453 . . . 4 evalSub evalSub
97, 8, 1evls1fval 18920 . . 3 evalSub
106, 9syldan 473 . 2 SubRing evalSub
11 evls1rhm.t . . . . 5 s
12 eqid 2453 . . . . 5
131, 11, 12evls1rhmlem 18922 . . . 4 s RingHom
1413adantr 467 . . 3 SubRing s RingHom
15 1on 7194 . . . . 5
16 eqid 2453 . . . . . 6 evalSub evalSub
17 eqid 2453 . . . . . 6 mPoly mPoly
18 evls1rhm.u . . . . . 6 s
19 eqid 2453 . . . . . 6 s s
2016, 17, 18, 19, 1evlsrhm 18756 . . . . 5 SubRing evalSub mPoly RingHom s
2115, 20mp3an1 1353 . . . 4 SubRing evalSub mPoly RingHom s
22 eqidd 2454 . . . . 5 SubRing
23 eqidd 2454 . . . . 5 SubRing s s
24 evls1rhm.w . . . . . . 7 Poly1
25 eqid 2453 . . . . . . 7 PwSer1 PwSer1
26 eqid 2453 . . . . . . 7
2724, 25, 26ply1bas 18800 . . . . . 6 mPoly
2827a1i 11 . . . . 5 SubRing mPoly
29 eqid 2453 . . . . . . . 8
3024, 17, 29ply1plusg 18830 . . . . . . 7 mPoly
3130a1i 11 . . . . . 6 SubRing mPoly
3231oveqdr 6319 . . . . 5 SubRing mPoly
33 eqidd 2454 . . . . 5 SubRing s s s s
34 eqid 2453 . . . . . . . 8
3524, 17, 34ply1mulr 18832 . . . . . . 7 mPoly
3635a1i 11 . . . . . 6 SubRing mPoly
3736oveqdr 6319 . . . . 5 SubRing mPoly
38 eqidd 2454 . . . . 5 SubRing s s s s
3922, 23, 28, 23, 32, 33, 37, 38rhmpropd 18055 . . . 4 SubRing RingHom s mPoly RingHom s
4021, 39eleqtrrd 2534 . . 3 SubRing evalSub RingHom s
41 rhmco 17977 . . 3 s RingHom evalSub RingHom s evalSub RingHom
4214, 40, 41syl2anc 667 . 2 SubRing evalSub RingHom
4310, 42eqeltrd 2531 1 SubRing RingHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1446   wcel 1889   wss 3406  cpw 3953  csn 3970   cmpt 4464   cxp 4835   ccom 4841  con0 5426  cfv 5585  (class class class)co 6295  c1o 7180   cmap 7477  cbs 15133   ↾s cress 15134   cplusg 15202  cmulr 15203   s cpws 15357  ccrg 17793   RingHom crh 17952  SubRingcsubrg 18016   mPoly cmpl 18589   evalSub ces 18739  PwSer1cps1 18780  Poly1cpl1 18782   evalSub1 ces1 18914 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-sup 7961  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-hom 15226  df-cco 15227  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-prds 15358  df-pws 15360  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-mhm 16594  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-mulg 16688  df-subg 16826  df-ghm 16893  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-srg 17752  df-ring 17794  df-cring 17795  df-rnghom 17955  df-subrg 18018  df-lmod 18105  df-lss 18168  df-lsp 18207  df-assa 18548  df-asp 18549  df-ascl 18550  df-psr 18592  df-mvr 18593  df-mpl 18594  df-opsr 18596  df-evls 18741  df-psr1 18785  df-ply1 18787  df-evls1 18916 This theorem is referenced by:  evls1gsumadd  18925  evls1gsummul  18926  evls1varpw  18927
 Copyright terms: Public domain W3C validator