Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1gsummul Structured version   Unicode version

Theorem evls1gsummul 18849
 Description: Univariate polynomial evaluation maps (multiplicative) group sums to group sums. (Contributed by AV, 14-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1gsummul.q evalSub1
evls1gsummul.k
evls1gsummul.w Poly1
evls1gsummul.g mulGrp
evls1gsummul.1
evls1gsummul.u s
evls1gsummul.p s
evls1gsummul.h mulGrp
evls1gsummul.b
evls1gsummul.s
evls1gsummul.r SubRing
evls1gsummul.y
evls1gsummul.n
evls1gsummul.f finSupp
Assertion
Ref Expression
evls1gsummul g g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem evls1gsummul
StepHypRef Expression
1 evls1gsummul.g . . . 4 mulGrp
2 evls1gsummul.b . . . 4
31, 2mgpbas 17664 . . 3
4 evls1gsummul.1 . . . 4
51, 4ringidval 17672 . . 3
6 evls1gsummul.s . . . . 5
7 evls1gsummul.r . . . . 5 SubRing
8 evls1gsummul.u . . . . . 6 s
98subrgcrng 17947 . . . . 5 SubRing
106, 7, 9syl2anc 665 . . . 4
11 evls1gsummul.w . . . . 5 Poly1
1211ply1crng 18726 . . . 4
131crngmgp 17723 . . . 4 CMnd
1410, 12, 133syl 18 . . 3 CMnd
15 crngring 17726 . . . . . 6
166, 15syl 17 . . . . 5
17 evls1gsummul.k . . . . . 6
18 fvex 5891 . . . . . 6
1917, 18eqeltri 2513 . . . . 5
2016, 19jctir 540 . . . 4
21 evls1gsummul.p . . . . 5 s
2221pwsring 17778 . . . 4
23 evls1gsummul.h . . . . 5 mulGrp
2423ringmgp 17721 . . . 4
2520, 22, 243syl 18 . . 3
26 nn0ex 10875 . . . . 5
2726a1i 11 . . . 4
28 evls1gsummul.n . . . 4
2927, 28ssexd 4572 . . 3
30 evls1gsummul.q . . . . . 6 evalSub1
3130, 17, 21, 8, 11evls1rhm 18846 . . . . 5 SubRing RingHom
326, 7, 31syl2anc 665 . . . 4 RingHom
331, 23rhmmhm 17885 . . . 4 RingHom MndHom
3432, 33syl 17 . . 3 MndHom
35 evls1gsummul.y . . 3
36 evls1gsummul.f . . 3 finSupp
373, 5, 14, 25, 29, 34, 35, 36gsummptmhm 17508 . 2 g g
3837eqcomd 2437 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  cvv 3087   wss 3442   class class class wbr 4426   cmpt 4484  cfv 5601  (class class class)co 6305   finSupp cfsupp 7889  cn0 10869  cbs 15084   ↾s cress 15085   g cgsu 15298   s cpws 15304  cmnd 16486   MndHom cmhm 16531  CMndccmn 17365  mulGrpcmgp 17658  cur 17670  crg 17715  ccrg 17716   RingHom crh 17875  SubRingcsubrg 17939  Poly1cpl1 18705   evalSub1 ces1 18837 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-prds 15305  df-pws 15307  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-srg 17675  df-ring 17717  df-cring 17718  df-rnghom 17878  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-lsp 18130  df-assa 18471  df-asp 18472  df-ascl 18473  df-psr 18515  df-mvr 18516  df-mpl 18517  df-opsr 18519  df-evls 18664  df-psr1 18708  df-ply1 18710  df-evls1 18839 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator