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Theorem evls1fval 18920
Description: Value of the univariate polynomial evaluation map function. (Contributed by AV, 7-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1fval.q  |-  Q  =  ( S evalSub1  R )
evls1fval.e  |-  E  =  ( 1o evalSub  S )
evls1fval.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
evls1fval  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  ~P B
)  ->  Q  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `
 R ) ) )
Distinct variable group:    x, B, y
Allowed substitution hints:    Q( x, y)    R( x, y)    S( x, y)    E( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem evls1fval
Dummy variables  b 
r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1fval.q . 2  |-  Q  =  ( S evalSub1  R )
2 elex 3056 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
32adantr 467 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  ~P B
)  ->  S  e.  _V )
4 simpr 463 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  ~P B
)  ->  R  e.  ~P B )
5 ovex 6323 . . . . . 6  |-  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  e.  _V
65mptex 6141 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  e.  _V
7 fvex 5880 . . . . 5  |-  ( E `
 R )  e. 
_V
86, 7coex 6750 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `  R
) )  e.  _V
98a1i 11 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  ~P B
)  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `  R
) )  e.  _V )
10 fveq2 5870 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  ( Base `  S
) )
1110adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( Base `  s
)  =  ( Base `  S ) )
12 evls1fval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  S
)
1311, 12syl6eqr 2505 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( Base `  s
)  =  B )
1413csbeq1d 3372 . . . . 5  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ ( ( x  e.  ( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  |->  ( x  o.  ( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (
( 1o evalSub  s ) `  r ) )  = 
[_ B  /  b ]_ ( ( x  e.  ( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  |->  ( x  o.  ( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (
( 1o evalSub  s ) `  r ) ) )
15 fvex 5880 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  S )  e.  _V
1612, 15eqeltri 2527 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  B  e.  _V )
18 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  b  =  B )
19 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
b  ^m  1o )  =  ( B  ^m  1o ) )
2018, 19oveq12d 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
b  ^m  ( b  ^m  1o ) )  =  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) )
21 mpteq1 4486 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) )
2221coeq2d 5000 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
x  o.  ( y  e.  b  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) )  =  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
2320, 22mpteq12dv 4484 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
x  e.  ( b  ^m  ( b  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) ) )
2423coeq1d 4999 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
( x  e.  ( b  ^m  ( b  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( ( 1o evalSub  s ) `  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( ( 1o evalSub  s ) `  r ) ) )
2524adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  /\  b  =  B )  ->  (
( x  e.  ( b  ^m  ( b  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( ( 1o evalSub  s ) `  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( ( 1o evalSub  s ) `  r ) ) )
2617, 25csbied 3392 . . . . 5  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  [_ B  /  b ]_ ( ( x  e.  ( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  |->  ( x  o.  ( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (
( 1o evalSub  s ) `  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( ( 1o evalSub  s ) `  r ) ) )
27 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( 1o evalSub  s )  =  ( 1o evalSub  S ) )
28 evls1fval.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( 1o evalSub  S )
2927, 28syl6eqr 2505 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( 1o evalSub  s )  =  E )
3029adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( 1o evalSub  s )  =  E )
31 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  r  =  R )
3230, 31fveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( ( 1o evalSub  s ) `
 r )  =  ( E `  R
) )
3332coeq2d 5000 . . . . 5  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( ( 1o evalSub  s ) `  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `
 R ) ) )
3414, 26, 333eqtrd 2491 . . . 4  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ ( ( x  e.  ( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  |->  ( x  o.  ( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (
( 1o evalSub  s ) `  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `
 R ) ) )
3510, 12syl6eqr 2505 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  B )
3635pweqd 3958 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ~P ( Base `  s )  =  ~P B )
37 df-evls1 18916 . . . 4  |- evalSub1  =  ( s  e.  _V ,  r  e. 
~P ( Base `  s
)  |->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ ( ( x  e.  ( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  |->  ( x  o.  ( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (
( 1o evalSub  s ) `  r ) ) )
3834, 36, 37ovmpt2x 6430 . . 3  |-  ( ( S  e.  _V  /\  R  e.  ~P B  /\  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `
 R ) )  e.  _V )  -> 
( S evalSub1  R )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `
 R ) ) )
393, 4, 9, 38syl3anc 1269 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  ~P B
)  ->  ( S evalSub1  R
)  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `  R
) ) )
401, 39syl5eq 2499 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  ~P B
)  ->  Q  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `
 R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   _Vcvv 3047   [_csb 3365   ~Pcpw 3953   {csn 3970    |-> cmpt 4464    X. cxp 4835    o. ccom 4841   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   1oc1o 7180    ^m cmap 7477   Basecbs 15133   evalSub ces 18739   evalSub1 ces1 18914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-evls1 18916
This theorem is referenced by:  evls1val  18921  evls1rhm  18923  evls1sca  18924  evl1fval1lem  18930
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