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Theorem evls1fval 17766
Description: Value of the univariate polynomial evaluation map function. (Contributed by AV, 7-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1fval.q  |-  Q  =  ( S evalSub1  R )
evls1fval.e  |-  E  =  ( 1o evalSub  S )
evls1fval.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
evls1fval  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  ~P B
)  ->  Q  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `
 R ) ) )
Distinct variable group:    x, B, y
Allowed substitution hints:    Q( x, y)    R( x, y)    S( x, y)    E( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem evls1fval
Dummy variables  b 
r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1fval.q . 2  |-  Q  =  ( S evalSub1  R )
2 elex 2993 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
32adantr 465 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  ~P B
)  ->  S  e.  _V )
4 simpr 461 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  ~P B
)  ->  R  e.  ~P B )
5 ovex 6128 . . . . . 6  |-  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  e.  _V
6 mptexg 5959 . . . . . 6  |-  ( ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  e.  _V  ->  (
x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  e. 
_V )
75, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  e.  _V
8 fvex 5713 . . . . 5  |-  ( E `
 R )  e. 
_V
97, 8coex 6541 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `  R
) )  e.  _V
109a1i 11 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  ~P B
)  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `  R
) )  e.  _V )
11 fveq2 5703 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  ( Base `  S
) )
1211adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( Base `  s
)  =  ( Base `  S ) )
13 evls1fval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  S
)
1412, 13syl6eqr 2493 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( Base `  s
)  =  B )
1514csbeq1d 3307 . . . . 5  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ ( ( x  e.  ( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  |->  ( x  o.  ( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (
( 1o evalSub  s ) `  r ) )  = 
[_ B  /  b ]_ ( ( x  e.  ( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  |->  ( x  o.  ( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (
( 1o evalSub  s ) `  r ) ) )
16 fvex 5713 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  S )  e.  _V
1713, 16eqeltri 2513 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  B  e.  _V )
19 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  b  =  B )
20 oveq1 6110 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
b  ^m  1o )  =  ( B  ^m  1o ) )
2119, 20oveq12d 6121 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
b  ^m  ( b  ^m  1o ) )  =  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) )
2219mpteq1d 4385 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) )
2322coeq2d 5014 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
x  o.  ( y  e.  b  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) )  =  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
2421, 23mpteq12dv 4382 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
x  e.  ( b  ^m  ( b  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) ) )
2524coeq1d 5013 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
( x  e.  ( b  ^m  ( b  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( ( 1o evalSub  s ) `  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( ( 1o evalSub  s ) `  r ) ) )
2625adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  /\  b  =  B )  ->  (
( x  e.  ( b  ^m  ( b  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( ( 1o evalSub  s ) `  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( ( 1o evalSub  s ) `  r ) ) )
2718, 26csbied 3326 . . . . 5  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  [_ B  /  b ]_ ( ( x  e.  ( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  |->  ( x  o.  ( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (
( 1o evalSub  s ) `  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( ( 1o evalSub  s ) `  r ) ) )
28 oveq2 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( 1o evalSub  s )  =  ( 1o evalSub  S ) )
29 evls1fval.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( 1o evalSub  S )
3028, 29syl6eqr 2493 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( 1o evalSub  s )  =  E )
3130adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( 1o evalSub  s )  =  E )
32 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  r  =  R )
3331, 32fveq12d 5709 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( ( 1o evalSub  s ) `
 r )  =  ( E `  R
) )
3433coeq2d 5014 . . . . 5  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( ( 1o evalSub  s ) `  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `
 R ) ) )
3515, 27, 343eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ ( ( x  e.  ( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  |->  ( x  o.  ( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (
( 1o evalSub  s ) `  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `
 R ) ) )
3611, 13syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  B )
3736pweqd 3877 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ~P ( Base `  s )  =  ~P B )
38 df-evls1 17762 . . . 4  |- evalSub1  =  ( s  e.  _V ,  r  e. 
~P ( Base `  s
)  |->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ ( ( x  e.  ( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  |->  ( x  o.  ( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (
( 1o evalSub  s ) `  r ) ) )
3935, 37, 38ovmpt2x 6231 . . 3  |-  ( ( S  e.  _V  /\  R  e.  ~P B  /\  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `
 R ) )  e.  _V )  -> 
( S evalSub1  R )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `
 R ) ) )
403, 4, 10, 39syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  ~P B
)  ->  ( S evalSub1  R
)  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `  R
) ) )
411, 40syl5eq 2487 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  ~P B
)  ->  Q  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `
 R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2984   [_csb 3300   ~Pcpw 3872   {csn 3889    e. cmpt 4362    X. cxp 4850    o. ccom 4856   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   1oc1o 6925    ^m cmap 7226   Basecbs 14186   evalSub ces 17598   evalSub1 ces1 17760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-evls1 17762
This theorem is referenced by:  evls1val  17767  evls1rhm  17769  evls1sca  17770  evl1fval1lem  17776
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