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Theorem evls1fval 18483
Description: Value of the univariate polynomial evaluation map function. (Contributed by AV, 7-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1fval.q  |-  Q  =  ( S evalSub1  R )
evls1fval.e  |-  E  =  ( 1o evalSub  S )
evls1fval.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
evls1fval  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  ~P B
)  ->  Q  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `
 R ) ) )
Distinct variable group:    x, B, y
Allowed substitution hints:    Q( x, y)    R( x, y)    S( x, y)    E( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem evls1fval
Dummy variables  b 
r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1fval.q . 2  |-  Q  =  ( S evalSub1  R )
2 elex 3118 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
32adantr 465 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  ~P B
)  ->  S  e.  _V )
4 simpr 461 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  ~P B
)  ->  R  e.  ~P B )
5 ovex 6324 . . . . . 6  |-  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  e.  _V
65mptex 6144 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  e.  _V
7 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( E `
 R )  e. 
_V
86, 7coex 6751 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `  R
) )  e.  _V
98a1i 11 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  ~P B
)  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `  R
) )  e.  _V )
10 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  ( Base `  S
) )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( Base `  s
)  =  ( Base `  S ) )
12 evls1fval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  S
)
1311, 12syl6eqr 2516 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( Base `  s
)  =  B )
1413csbeq1d 3437 . . . . 5  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ ( ( x  e.  ( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  |->  ( x  o.  ( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (
( 1o evalSub  s ) `  r ) )  = 
[_ B  /  b ]_ ( ( x  e.  ( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  |->  ( x  o.  ( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (
( 1o evalSub  s ) `  r ) ) )
15 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  S )  e.  _V
1612, 15eqeltri 2541 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  B  e.  _V )
18 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  b  =  B )
19 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
b  ^m  1o )  =  ( B  ^m  1o ) )
2018, 19oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
b  ^m  ( b  ^m  1o ) )  =  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) )
21 mpteq1 4537 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) )
2221coeq2d 5175 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
x  o.  ( y  e.  b  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) )  =  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )
2320, 22mpteq12dv 4535 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
x  e.  ( b  ^m  ( b  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) ) )
2423coeq1d 5174 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
( x  e.  ( b  ^m  ( b  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( ( 1o evalSub  s ) `  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( ( 1o evalSub  s ) `  r ) ) )
2524adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  /\  b  =  B )  ->  (
( x  e.  ( b  ^m  ( b  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  b  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( ( 1o evalSub  s ) `  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( ( 1o evalSub  s ) `  r ) ) )
2617, 25csbied 3457 . . . . 5  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  [_ B  /  b ]_ ( ( x  e.  ( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  |->  ( x  o.  ( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (
( 1o evalSub  s ) `  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( ( 1o evalSub  s ) `  r ) ) )
27 oveq2 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( 1o evalSub  s )  =  ( 1o evalSub  S ) )
28 evls1fval.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( 1o evalSub  S )
2927, 28syl6eqr 2516 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( 1o evalSub  s )  =  E )
3029adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( 1o evalSub  s )  =  E )
31 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  r  =  R )
3230, 31fveq12d 5878 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( ( 1o evalSub  s ) `
 r )  =  ( E `  R
) )
3332coeq2d 5175 . . . . 5  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( ( 1o evalSub  s ) `  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `
 R ) ) )
3414, 26, 333eqtrd 2502 . . . 4  |-  ( ( s  =  S  /\  r  =  R )  ->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ ( ( x  e.  ( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  |->  ( x  o.  ( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (
( 1o evalSub  s ) `  r ) )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `
 R ) ) )
3510, 12syl6eqr 2516 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( Base `  s )  =  B )
3635pweqd 4020 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ~P ( Base `  s )  =  ~P B )
37 df-evls1 18479 . . . 4  |- evalSub1  =  ( s  e.  _V ,  r  e. 
~P ( Base `  s
)  |->  [_ ( Base `  s
)  /  b ]_ ( ( x  e.  ( b  ^m  (
b  ^m  1o )
)  |->  ( x  o.  ( y  e.  b 
|->  ( 1o  X.  {
y } ) ) ) )  o.  (
( 1o evalSub  s ) `  r ) ) )
3834, 36, 37ovmpt2x 6430 . . 3  |-  ( ( S  e.  _V  /\  R  e.  ~P B  /\  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `
 R ) )  e.  _V )  -> 
( S evalSub1  R )  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `
 R ) ) )
393, 4, 9, 38syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  ~P B
)  ->  ( S evalSub1  R
)  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) )  |->  ( x  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `  R
) ) )
401, 39syl5eq 2510 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  R  e.  ~P B
)  ->  Q  =  ( ( x  e.  ( B  ^m  ( B  ^m  1o ) ) 
|->  ( x  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) ) )  o.  ( E `
 R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   [_csb 3430   ~Pcpw 4015   {csn 4032    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006    o. ccom 5012   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1oc1o 7141    ^m cmap 7438   Basecbs 14644   evalSub ces 18296   evalSub1 ces1 18477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-evls1 18479
This theorem is referenced by:  evls1val  18484  evls1rhm  18486  evls1sca  18487  evl1fval1lem  18493
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