MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1vsd Structured version   Unicode version

Theorem evl1vsd 17904
Description: Polynomial evaluation builder for scalar multiplication of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1addd.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1addd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1addd.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
evl1addd.1  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
evl1addd.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
evl1addd.3  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
evl1vsd.4  |-  ( ph  ->  N  e.  B )
evl1vsd.s  |-  .xb  =  ( .s `  P )
evl1vsd.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
evl1vsd  |-  ( ph  ->  ( ( N  .xb  M )  e.  U  /\  ( ( O `  ( N  .xb  M ) ) `  Y )  =  ( N  .x.  V ) ) )

Proof of Theorem evl1vsd
StepHypRef Expression
1 evl1addd.q . . 3  |-  O  =  (eval1 `  R )
2 evl1addd.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 evl1addd.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 evl1addd.u . . 3  |-  U  =  ( Base `  P
)
5 evl1addd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
6 evl1addd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
7 eqid 2454 . . . 4  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
8 evl1vsd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  B )
91, 2, 3, 7, 4, 5, 8, 6evl1scad 17895 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (algSc `  P ) `  N
)  e.  U  /\  ( ( O `  ( (algSc `  P ) `  N ) ) `  Y )  =  N ) )
10 evl1addd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  e.  U  /\  ( ( O `  M ) `  Y
)  =  V ) )
11 eqid 2454 . . 3  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
12 evl1vsd.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12evl1muld 17903 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( (algSc `  P ) `  N
) ( .r `  P ) M )  e.  U  /\  (
( O `  (
( (algSc `  P
) `  N )
( .r `  P
) M ) ) `
 Y )  =  ( N  .x.  V
) ) )
142ply1assa 17780 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e. AssAlg )
155, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e. AssAlg )
162ply1sca 17832 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
175, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
1817fveq2d 5804 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  R
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
193, 18syl5eq 2507 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
208, 19eleqtrd 2544 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
2110simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  U )
22 eqid 2454 . . . . . 6  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
23 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
24 evl1vsd.s . . . . . 6  |-  .xb  =  ( .s `  P )
257, 22, 23, 4, 11, 24asclmul1 17534 . . . . 5  |-  ( ( P  e. AssAlg  /\  N  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) )  /\  M  e.  U )  ->  ( ( (algSc `  P ) `  N
) ( .r `  P ) M )  =  ( N  .xb  M ) )
2615, 20, 21, 25syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (algSc `  P ) `  N
) ( .r `  P ) M )  =  ( N  .xb  M ) )
2726eleq1d 2523 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( (algSc `  P ) `  N
) ( .r `  P ) M )  e.  U  <->  ( N  .xb 
M )  e.  U
) )
2826fveq2d 5804 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  (
( (algSc `  P
) `  N )
( .r `  P
) M ) )  =  ( O `  ( N  .xb  M ) ) )
2928fveq1d 5802 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( ( (algSc `  P ) `  N
) ( .r `  P ) M ) ) `  Y )  =  ( ( O `
 ( N  .xb  M ) ) `  Y ) )
3029eqeq1d 2456 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( O `
 ( ( (algSc `  P ) `  N
) ( .r `  P ) M ) ) `  Y )  =  ( N  .x.  V )  <->  ( ( O `  ( N  .xb 
M ) ) `  Y )  =  ( N  .x.  V ) ) )
3127, 30anbi12d 710 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( (algSc `  P ) `  N ) ( .r
`  P ) M )  e.  U  /\  ( ( O `  ( ( (algSc `  P ) `  N
) ( .r `  P ) M ) ) `  Y )  =  ( N  .x.  V ) )  <->  ( ( N  .xb  M )  e.  U  /\  ( ( O `  ( N 
.xb  M ) ) `
 Y )  =  ( N  .x.  V
) ) ) )
3213, 31mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( ( N  .xb  M )  e.  U  /\  ( ( O `  ( N  .xb  M ) ) `  Y )  =  ( N  .x.  V ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   .rcmulr 14359  Scalarcsca 14361   .scvsca 14362   CRingccrg 16770  AssAlgcasa 17505  algSccascl 17507  Poly1cpl1 17758  eval1ce1 17875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-ofr 6432  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-hash 12222  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-hom 14382  df-cco 14383  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-prds 14506  df-pws 14508  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-mhm 15584  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-mulg 15668  df-subg 15798  df-ghm 15865  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-srg 16731  df-rng 16771  df-cring 16772  df-rnghom 16930  df-subrg 16987  df-lmod 17074  df-lss 17138  df-lsp 17177  df-assa 17508  df-asp 17509  df-ascl 17510  df-psr 17547  df-mvr 17548  df-mpl 17549  df-opsr 17551  df-evls 17713  df-evl 17714  df-psr1 17761  df-ply1 17763  df-evl1 17877
This theorem is referenced by:  evl1scvarpwval  17924  fta1blem  21774  plypf1  21814
  Copyright terms: Public domain W3C validator